武汉理工大学华夏学院-教师们

《二次函数最值问题》教学设计
一、教材分析
本节课是在学习了二次函 数的概念、图像及性质后，对二次
函数性质的应用课。主要内容包括：运用二次函数的最大值
解 决最大面积的问题，让学生体会抛物线的顶点就是二次函
数图象的最高点(最低点)，因此，可利用顶点 坐标求实际问
题中的最大值(或最小值).在最大利润这个问题中，应用顶
点坐标求最大利润， 是较难的实际问题。
本节课的设计是从生活实例入手，让学生体会在解决问题的
过程中获取知 识的快乐，使学生成为课堂的主人。
按照新课程理念，结合本节课的具体内容，本节课的教学目
标确定为相互关联的三个层次：
1、知识与技能
通过实际问题与二次函数关系的探究，让学生掌握利用顶点
坐标解决 最大值(或最小值)问题的方法。
2、过程与方法
通过对实际问题的研究，体会数学知识的 现实意义。进一步
认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题。渗透转化
及分类的数学思想 方法。
3、情感态度价值观
(1)通过巧妙的教学设计，激发学生的学习兴趣，让学生感
受数学的美感。
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(2)在知识教学中体会数学知识的应用价值。
本节课的教学重点是 探 究利用二次函数的最大值(或最小
值)解决实际问题的方法，教学难点是如何将实际问题转化
为 二次函数的问题。
二、学情分析
在解决函数的实际问题时，要善于从实际问题的情境中抽象
出数学模型，使实际问题转化为数学问题。通过数学方法解
决问题。学生刚刚学习了二次函数的 概念、图象及性质，因
此，只要教师能为学生搭建一个有梯次的研究型学习的平
台，学生完全有 可能由对具体事例的自主分析，建立数学模
型，如再经教师巧妙引领，势必会激发学生对学习的兴趣，< br>从而体会学习的快乐。
三、实验研究：
作为一线教师，应该灵活地处理和使用教材。 充分发挥教师
自己的智慧，把学生置于教学的出发点和核心地位，应学生
而动，应情境而变，课 堂才能焕发勃勃生机，课堂上才能显
现真正的活力。因此我对教材进行了重新开发，从学生熟悉
的生活情境出发，与学生生活背景有密切相关的学习素材来
构建学生学习的内容体系。把握好以下两方面 内容：
(一)、利用二次函数解决实际问题的易错点：
①题意不清，信息处理不当。
②选用哪种函数模型解题，判断不清。
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③忽视取值范围的确定，忽视图象的正确画法。
④将实际问题转化为数学问题，对学生要求较高，一般学生
不易达到。
(二)、解决问题的突破点：
①反复读题，理解清楚题意，对模糊的信息要反复比较。
②加强对实际问题的分析，加强对几何关系的探求，提高自
己的分析能力。
③注意实际问题对自变量 取值范围的影响，进而对函数图
象的影响。
④注意检验，养成良好的解题习惯。
因此我由课本的一个问题转化为两个实际问题入手通过创
设情境，层层设问，启发学生自主学习。
四、教学过程
问题与情境
师生活动
设计意图
一、创设情境引入课题
问题1：用60米长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔,怎
样围可使小兔的活动范围较大?
教师提出问题，教师引导学生先考虑：(1)若矩形的长为10
米，它的面积为多少?(2)若 矩形的长分别为15米、20米、
30米时，它的面积分别为多少?(3)从上两问同学们发现了什第 3 页

么?
关注学生是否发现两个变量， 是否发现矩形的长的取值范
围。
学生积极思考，回答问题。
通过矩形面积的探究，激发学生学习兴趣。
二、分析问题解决问题
问题2你能找到篱笆围成的矩形的最大面积吗?
教师引导学生分析与矩形面积有关的量，参与学生讨论。
学生思考后回答。
解：设矩形的长为x 米，则宽为(30-x)米，如果将面积记为
y平方米，那么变量y与x之间的函数关系式为：
y=-x2+30x (0
画出此函数的图象如图
当x=-302(-1)=15时，
Y有最大值：-3024(-1)=225
答：当矩形的边长都是15米时，小兔的活动范围最大是225
平方米。
通过运用函 数模型让学生体会数学的实际价值。二次函数在
几何方面的应用特别广泛，要注意自变的取值范围的确定 同
时所画的函数图象只能是抛物线的一部分。让学生在合作学
习中共同解决问题，培养学生的合 作精神。
三、归纳总结
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问题3 由矩形面积问题，你有什么收获?
反思：实际问题中，二次函数的最大值(或最小值)一定在抛
物线的顶点取得吗?
师 生共同归纳：可利用顶点坐标求实际问题中的最大值(或
最小值)。利用函数的极值，解决实际问题，本 节课所用的
方法是配方法、图象法.
所用的思想方法：从特殊到一般的思想方法.
引导学生反思，得出答案：不一定.要注意自变量的取值范
围.
养成良好的学习习惯。
四、运用新知拓展练习
问题4: 青岛2019中考题 < br>某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元.市场调查发现，
在一段时间内，销售量w(千克)随 销售单价x(元千克)的变
化而变化，具体关系式为：w=-2x+240.设这种绿茶在这段时
间内的销售利润为y(元)，解答下列问题：
(1)求y与x的关系式;
(2)当x取何值时，y的值最大?
(3)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于9 0元
千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销
售单价应定为多少元?
教师展示问题，学生分组讨论，如何利用函数模型解决问题。
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师生板书解：⑴ y=(x-50) w
=(x-50) (-2x+240)
=-2x2+340x-12019，
y与x的关系式为：y=-2x2+340x-12019.
⑵ y=-2x2+340x-12019
=-2 (x-85) 2+2450，
当x=85时，y的值最大.
⑶ 当y=2250时，可得方程 -2 (x-85 )2 +2450=2250.
解这个方程，得 x1=75，x2=95.
根据题意，x2=95不合题意应舍去.
当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元.
通过层层设问，引导学生不断思考，积极探索。让学生感受
到数学的应用价值。
五、课堂反馈
1、已知直角三角形两直角边的和等于8，两直角边各为多少
时，这个 直角三角形的面积最大，最大面积是多少?
学生自主分析：先求出面积与直角边之间的函数关系，在利
用二次函数的顶点坐标求出面积的最大值.
解：设直角三角形得一直角边为x，则，另一边长为8-x;设
其面积为S.S= x(8-x)(0
配方得 S=- (x2-8x)
=- (x-4)2+8
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此函数的图象如图26-1-11.
当x=4时，S最大=8.
及两直角边长都为4时，此直角三角形的面积最大，最大面
积为8.
教师注意学生图象的画法，学生能结合图象找出最大值.
六、课堂小结布置作业
1、归纳小结
2、作业;习题26.1 第9、10题
教师引导学生谈本节课的收获，学生积极思考，发表自己的
见解。
总结归纳学习内容，培养全面分析问题的好习惯。培养学生
归纳问题的能力。
实验反 思：新课程理念下开放式教学，是根据学生个性发展
的需求而进行的教学，为使课堂充满生趣，充满孜孜 不倦的
探索。要掌握学生课堂参与度的因素：
1、提供学生积极、主动、参与学习活动的机会。
2、使课堂充满求知欲(问题意识)和表现 欲(参与意识)，好
奇求知的欢乐和自我表现的愿望是推动课堂教学发展的永
恒内在动力。

3、营造充满情趣的学习情境，宽松平等民主的人际环境，
创设有利于体验成功、承 受挫折的学习机会，设计富有启发
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性的开放式问题。
在 本节课的教学设计，注重学生能够在自主探究、合作学习
的过程中，掌握利用二次函数的极值解题，使学 生在愉快的
情境中学习这种常用的数学模型，能够注意总结、体会，形
成良好的学习习惯。

教学实践证明，精心创设各种教学情境，能够激发学生的学
习动机和好奇心，培养学 生的求知欲望，调动学生学习的积
极性和主动性，引导学生形成良好的意识倾向，促使学生主
动 地参与。 教学中，在教师的主导下，坚持学生是探究的
主体，根据教材提供的学习材料，伴随知识的发 生、形成、
发展全过程进行探究活动，教师着力引导多思考、多探索，
让学生学会发现问题、提 出问题、分析问题、解决问题以及
亲身参与问题的真实活动之中，只有这样，才能使学生亲身
品 尝到自己发现的乐趣，才能激起他们强烈的求知欲和创造
欲。
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