哥伦比亚签证-六年级班主任计划

专题25 平面几何的最值问题

阅读与思考
几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、
图形 面积）等的最大值或最小值．
求几何最值问题的基本方法有：
1．特殊位 置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形
下的推证．
2．几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理．
3．数形结合法等：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等．

[来源:]
例题与求解
【例1】在Rt△ABC中，CB=3，CA=4，M为斜边 AB上一动点．过点M作MD⊥AC于点D，过M
作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为 ．（四川省竞赛试题）
解题思路：四边形CDME为矩形，连结CM，则DE= CM，将问题转化为求CM的最小值．

【例2】如图，在矩形ABCD中，AB= 20cm，BC=10cm．若在AC，AB上各取一点M，N，使BM+MN
的值最小，求这个最小值 ．（北京市竞赛试题）

D
M
A
C
N
B
解题思路：作点B关于AC的对称点B′，连结B′M，B′A，则BM= B′M，从而BM+MN= B′M +MN．要
使BM+MN的值最小，只需使B′M十MN的值最小，当B′，M，N三点共线且B′N⊥ AB时，B′M+MN的
值最小．
【例3】如图，已知
□
ABCD，AB= a，BC=b(
ab
)，P为AB边上的一动点，直线DP交CB的延
长线于Q．求 AP+BQ的最小值． （永州市竞赛试题）


D
C
A
P
B
Q

22

解题思路：设AP=
x
，把AP，BQ分别用
x
的代数式表示，运用不等式以
ab2ab
或a+b≥2
ab
（当且仅当a=b时取等号）来求最小值．
【例4】阅读下列材料：
问题 如图1，一圆柱的底面半径为5dm，高AB为5 dm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发
沿圆柱表面爬行到C点的最短路线．

小明设计了两条路线：
B
C
沿AB剪开
摊平
B
C
A
图1
A
图2

路线1：侧面展开图中的线段AC．如图2所示．
设路线l的长度为l
1
，则l
1
2
=AC
2
=AB
2
+BC
2
=25+(5π)
2
=25+25π
2
．
路线2：高线AB十底面直径BC．如图1所示．
设路线l的长度为l
2
，则l
2
2
= (BC+AB)
2
=(5+10)
2
=225．
∵l
1
2
– l
2
2
= 25+25π
2－225=25π
2
－200=25(π
2
－8)，∴l
12
＞l
2
2
，∴ l
1
＞l
2
．
所以，应选择路线2．
(1)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成： “圆柱的底面半径为1分米，高AB为5分米”继
续按前面的路线进行计算．请你帮小明完成下面的计算 ：
路线1：l
1
2
=AC
2
= ；
路线2：l
2
2
=（AB+BC）
2
= ．∵ l
1
2
l
2
2
，∴l
1
l
2
（ 填“＞”或“＜”），
所以应选择路线 （填“1”或“2”）较短．
(2)请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r，高为h时，应如何选择上面的两
条 路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短． （衢州市中考试题）


解题思路：本题考查平面展开一最短路径问题．比较两个数的大小，有时比较两个数 的平方比较简
便．比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减．
【例5】如图，已知边长 为4的正方形钢板，有一个角锈蚀，其中AF=2，BF=1．为了合理利用这
块钢板，将在五边形EA BCD内截取一个矩形块MDNP，使点P在AB上，且要求面积最大，求钢板的
最大利用率． （中学生数学智能通讯赛试题）
E
M
A
P
F
B
D
N
C
解题思路：设DN=x，PN=y，则S=
xy
．建立矩形MD NP的面积S与x的函数关系式，利用二次函
数性质求S的最大值，进而求钢板的最大利用率．
【例6】如图，在四边形ABCD中，AD=DC=1，∠DAB=∠DCB=90°，BC，AD的延长线交 于P，
求AB·S
△PAB
的最小值． （中学生数学智能通讯赛试题）

P
C
1
D
1
A
解题思路：设PD=x(x>1)，根据勾股定理求出PC，证Rt△PCD∽Rt△PAB，得到
A B，根据三角形的面积公式求出y=AB·S
△PAB
，整理后得到y≥4，即可求出答案．

B
ABPA

，求出
CDPC


能力训练
A级
1．如图，将两张长为8、宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一 个菱形．容易知道当两张纸条
垂直时，菱形的周长有最小值，那么菱形周长的最大值是 ． （烟台市中考试题）

2．D是半径为5cm的⊙O内一点，且OD=3cm，则过点O的所有弦中，最短的弦AB= cm．
（广州市中考试题）
3．如图，有一个长方体，它的长BC=4，宽AB=3，高BB
1=5．一只小虫由A处出发，沿长方体表
面爬行到C
1
，这时小虫爬行的最短路径 的长度是 ． （“希望杯”邀请赛试题）
D
1
C< br>1
O
A
1
D
C
B
1
B
E< br>A
A
[来源学&科&网Z&X&X&K]
B
C
F
A< br>
[来源:学科网ZXXK]
第1题图 第3题图 第4题图 第5题图

4．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与 CB，CA分别相
交于点E，F，则线段EF长度的最小值是( ) （兰州市中考试题）
[来源:学科网ZXXK]
A．4
2
B．4.75 C．5 D．4.8

5．如图，圆锥的母线长OA=6，底 面圆的半径为2．一小虫在圆锥底面的点A处绕圆锥侧面一周又
回到点A，则小虫所走的最短距离为( ) （河北省竞赛试题）
A．12 B．4π C．6
2
D．6
3

6．如图，已知∠MON= 40°，P是∠MON内的一定点，点A，B分别在射线OM，ON上移动，当△PAB周长最小时，∠APB的值为( ) （武汉市竞赛试题）
A．80° B．100° C．120° D．140°

⌒
是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周， 7．如图，AD

P为AD上任意一点．若AC=5，
则四边形ACBP周长的最大值是( ) （福州市中考试题）
A．15 B．20 C．15+5
2
D．15+5
5

D
A
M
P
O
B
N
C
A
P
A
M
E
D
B
N
BC


第6题图 第7题图 第8题图
8．如图，在正方 形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合），BE的垂直平
分线交AB于M ，交DC与N．
(1) 设AE=x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式．
(2) 当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？ （山东省中考试题）





9．如图，六边形ABCDEF内接于半径为r的⊙O，其中AD为直径，且AB=CD=DE=FA．
⌒
的长； (1) 当∠BAD=75°时，求BC


(2) 求证：BC∥AD∥FE；
(3) 设AB=
x
，求六边形ABC DEF的周长l关于x的函数关系式，并指出x为何值时，l取得最大值．

10．如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于 A、D）．Q是
BC边上任意一点．连结AQ，DQ，过P作PE∥DQ交于AQ于E，作PFAQ交D Q于F．
(1) 求证：△APE∽△ADQ；
(2) 设AP的长为 x，试求△PEF的面积S
△PEF
关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S
△P EF
取
得最大值？最大值为多少？
(3) 当Q在何处时，△ADQ的周长最小？（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必证明）
（无锡市中考试题）

A
P
D
F
E

11．在等腰△ABC中， AB=AC=5，BC=6．动点M，N分别在两腰AB，AC上(M不与A，B重合，
N不与A，C重 合)，且MN∥BC．将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P．
(1)当MN为何值时，点P恰好落在BC上？
(2)设MN=x，△MNP与等腰△ABC 重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式，当x为何值
时，y的值最大，最大值是多少？ （宁夏省中考试题）

B
Q
C
A
MN
BC
B级

1．已知凸四边形ABCD中，AB+AC+CD= 16，且S
四边彤
ABCD
=32，那么当AC= ，BD=
时，四边形ABCD面积最大，最大值是 ． （“华杯赛”试题）
2．如图，已知△ABC的内切圆半径为r，∠A=60°，BC=2
3
，则r的取值 范围是 ．（江
苏省竞赛试题）
A
F
B
O
r
D
C
E
A
P
O
B
D
B
A
G
E
F
C
B
O
y
C
A
x

第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
⌒
组成一个弓形， 3．如图⊙O的半径为2，⊙O内的一点P到圆心的距离为1，过点P的弦与劣弧AB

则此弓形面积的最小值为 ．
4．如图，△ABC的面积为1，点D，G， E和F分别在边AB，AC，BC上，BD＜DA，DG∥BC，
DE∥AC，GF∥AB，则梯形DE FG面积的最大可能值为 ．（上海市竞赛试题）

5．已知边长为a的正三 角形ABC，两顶点A，B分别在平面直角坐标系的x轴，y轴的正半轴上滑
动，点C在第一象限，连结 OC，则OC的最大值是 ．（潍坊市中考试题）
6．已知直角梯形ABCD中，A D∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+
PD取最小值时，△APD中边AP上的高为( ) （鄂州市中考试题）
A．
2
17

17
B．
4
17

17
C．
8
17

17
D．3

A
D
AD
Q


第6题图 第7题图 第8题图
7．如图，正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC边上不与点B，C重合的任意一 点，连结AP，
过点P作PQ⊥AP交DC于点Q．设BP的长为xcm，CQ的长为ycm．
(1) 求点P在BC上运动的过程中y的最大值；
(2) 当y=
B< br>P
C
B
P
C
1
cm时，求x的值． （河南省中考试题）
4






8．如图，y轴正半轴上有两点A(0，a)，B(0，b)，其中a>b>0．在 x轴上取一点C，使∠ACB最大，
求C点坐标． （河北省竞赛试题）







9．如图，正方形ABCD的边长为1，点M，N分别在BC，CD上，使得△CMN的周长为2．求：
(1) ∠MAN的大小；
(2) △MAN的面积的最小值． （“宇振杯”上海市竞赛试题）







10，如图，四边形ABCD中，AD= CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC于F，DE与AB
相交于点E．
(1) 求证：AB·AF=CB·CD；
(2)已知AB=15cm，BC=9cm，P是 射线DE上的动点，设DP=xcm(x>0)，四边形BCDP的面积为ycm
2
．
①求y关于x的函数关系式；
②当x为何值时，△PBC的周长最小？求出此时y的值．（南通市中考试题）
[来源学科网 Z|X|X|K]
D
N
C
M
D
y
P
FAB
A
x
F
y
B
C
B
l
O< br>B
A
x
E
A

第6题图 第7题图 第8题图 第9题图
E
C
HG

11．如图，已知直线
l
：
ykx24 k
(
k
为实数)．
(1) 求证：不论k为任何实数，直线l都过定点M，并求点M的坐标；
(2) 若直线l与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值．（太原市竞赛试题）








12．如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=x，点F在边AB上，点G，H在边BC上，四边
形 EFGH是一个边长为y的正方形，且AE=AC．
(1) 求y关于x的函数解析式；
(2) 当x为何值时，y取得最大值？求出y的最大值．（上海市竞赛试题）