反思材料-工作总结开头语

初中数学培优系列之代数最值问题
一、配方法
1．多项式5x
2
－4xy+y
2
+6x+25的最小值为 16 ．
解：原式=4x
2
－4xy+y
2
+ x2
+6x+9+16=(2x-y)
2
+(x+3)
2
+16≥ 16
2．设x为实数，则
yxx
解：
yx2x1x
二、换元法
3．设x、y、z满足关系式
x1
2
2
1
3
的最小值为 -1 ．
x
1
1
2
21
=
(x1)
2
(x)1

x
x
y 1z259

，则x
2
＋y
2
＋z
2
的最小值为 ．
23
14
解：设
x1
y1z2k
，则x=k+1，y=2k-1，z=3k+2，x
2
＋y
2＋z
2
=14k
2
+10k+6
23
4．已知x≥1，求
yxx1
的取值范围．
2
解：设
x1t
，则
ytt1
，y的最大值为

33
，
y

44
三、消元法
5．设x≥0，y≥0 ，2x+y=6，则u=4x
2
+3xy+y
2
-6x-3y的最大值为 18 ．
解：由已知得：y=6-2x，代入u=4x
2
+3xy+y
2
-6x-3y，整理得：u=2x
2
-6x+18，
而x≥0，y=6 -2x≥0，则0≤x≤3，由图象得当x=0或x=3时，u取得最大值，u
max
=18
6．已知a、b、c是三个非负数，且满足3a+2b+c=5，2a+b－3c=1，若s=3a+b －7c，则s的
最大值与最小值的和是

62
．
77
解：3a+2b+c=5，2a+b－3c=1，解得a=7c-3，b=7-11c；
37
c

711
51
s=3a+b－7c =3(7c-3)+(7-11c)-7c=3c-2 ∴
3c2

711
∵a≥0、b≥0，∴7c-3≥0，7-11c≥0，∴
四、基本不等式法
7．若xy=1，那么代数式
11

的最小值是 1 ． 44
x4y
解：
111
2
1
2
111
()()2··
==1
4422222
x4yx2yx2y(xy)
9
．
2
五、判别式法
8．实数x、y满足x
2
－2x－4y＝5，记t＝x－2y，则t的最大值为
解法一：t＝x－2y，－4y=2t－2x，代入x
2
－2x－4y＝5，得：x< br>2
－4x+2t－5=0

△≥0，16-4(2t-5) ≥0，t≤
9

2
解法二：消元法x
2
－2x－4y＝5可 转化为
y
1
2
15
xx
，代入t＝x－2y中
424
115159
tx2(x
2
x)x
2
2x
，最大值为
424222
x
2
2x2
9．
2
的最小值为 -3 ．
x2x1
x
2
2x2
解：设
y
2
，则(y-1)x
2
+(2y+2)x+y+2=0，△=4y+12≥0 ，y≥-3
x2x1
六、构造法
10．函数
y
解：
y
x
2
2x2x
2
6x13
的最小值为 5 ．
(x1)
2
(01)
2
(x3)
2
(02)
2
，转化为在x轴上求一点C(x，0)，
使它到两点A（-1 ，1）和B（3，2）的距离和CA+CB最小
七、图像法
11．二次函数y=x
2
+2ax+a在－1≤x≤2上有最小值－4，则a的值为 5或
117
．
2
解：分三种情况：
（1）当-a<-1即 a>1时，二次函数y=x
2
+2ax+a在－1≤x≤2上为增函数，
所以当x= -1时，y有最小值为-4，把（-1，-4）代入y=x
2
+2ax+a中解得：a=5；
（2）当-a>2即a<-2时，二次函数y=x
2
+2ax+a在－1≤x≤2上为 减函数，
所以当x=2时，y有最小值为-4，把（2，-4）代入y=x
2
+2a x+a中解得：a=

（3）当-1≤-a≤2即-2≤a≤1时，此时抛物线的顶点为最低点 ，
8
>-2，舍去；
5
4a4a
2
117
117
4
，解得：
a
1
舍去． 所以顶点的纵坐标为，
a
4
2
2

8．某同学在做一个面积为3600cm
2
，对角线相互垂直的四边形风筝时，求得用来做对 角线
用的竹条至少需要准备xcm． 则x的值是
1202
．

五、对称法
9．已知矩形ABCD的AB=12，AD=3，E、F分别是AB、DC上的点 ，则折线AFEC长的最
小值为 15 ．

F
D
C


A

B
E