“胡不归”最值问题
清明的由来-初中数学教学心得
课题：利用三角函数解决最值问题
一、教学内容分析：
本节课以数学史中的一个经典故事——“胡不归问题”为载体开
展对“最短路径问题”的研究，让学生经
历将实际问题抽象为数学的
线段和最小问题，再利用正弦函数将线段和最小问题转化为“直线外
一点到直线垂线段最短”的问题.
二、教学目标：
1.能利用垂线段最短解决最短路径问题；
2.在解题过程能总结出解题方法，能进行一定的延伸；
3.体会“正弦函数”的桥梁作用，感悟转化的数学思想.
三、教学重点难点：
重点：利用正弦函数将PA+k·PB问题转化为“直线外一点到直线垂
线段最短”问题.
难点：如何找到合理的角将k·PB转化为另一线段.
四、教学过程：
1.【温故知新】
问题：AB、AC有什么数量关系？若∠B不变，移动点C位置，关
系改变吗？
设计意图：通过三个图形分析，让学生意识到角固定，它的正弦
值就固定，对边和斜边关系就是固定，为后面学习做好准备.
2.【数学问题】
如图，点A是∠MON外部定点，点P是OM上动点，过P作PB
⊥ON
,如何确定点P位置使得 PA＋PB 最小？
分析：直线外一点到直线所有连线垂线段最短.（作法如下图）
变式
1：如图，点A在∠MON外部，点P是OM上动点，∠MON=30°,
如何确定点P位置使得PA＋
12OP 最小？
分析：过P作PQ⊥ON ,则
PQ=12OP，那么PA＋12OP
=PA＋PQ.
利用30°正弦将12OP转化为PQ，再利用垂线段最短确定点P.
变式2：点P是射线AC上一动点，点B是射线AC外一点，如何
确定P点位置，使得
PB＋12PA最小？
分析：构造30°角，再利用30°正弦将
12PA转化为PQ，再
利用垂线段最短确定点P.（如下图）
变式3：点P是射线AC上一动点，点B是射线AC外一点，如何
确定P点位置，使得
2PA＋4PB最小？
点拨：转化为
2PA＋4PB＝4（PB＋12PA），变成前一问题.
变式4.：点P是射线AC上一动点，点B是射线AC外一点，如
何确定P点位置，使得
14PA＋12PB 最小？
点拨：14PA＋12PB=12（PB＋12PA）,转化为前一问题.
【反思】确定P位置的关键是什么？利用正弦构造12PA线段.
一般地：先将问题转
化为PB+k·PA,在PB另一侧构造角∂，使
得sin∂=k.化折为直，利用垂线段最短.
设计意图：通过一组变式训练，体会这一类问题处理策略，发现
总结规律.
三、【模型由来】
历史故事:一个身在他乡的小伙子得知父亲病危后
日夜赶路回家。
然而当他气喘吁吁地来到父亲面前时，老人刚刚咽气了.人们告诉他，
在临终之
际，老人还在不断的念叨：“胡不归？胡不归？……”
早期的科学家曾为这则古老的传说中的小
伙子设想了一条路线
（如下图）A是出发地,B是目的地，BC是一条驿道，而驿道靠目的
地的
一侧全是砂土地带.为了急切回家，小伙子选择了直线段AB.
他忽略了在驿道上行走要比在砂土行走快的这一因素.
如果能选合适的路线（这条路
线长一些，但速度可以加快），是
可以提前抵达家门的.那么这应该是哪条路线呢？
这就是风靡千百年的“胡不归问题”
数学语言表达就是：“已知在驿道和砂地上行走的速度分别为
V1 、V2,且V1
=2V2,在BC上求点D，使得A→D→B的行走时间最
短.”于是问题在于如何去找出D点.
设计意图：通过历史典故，激发兴趣，体会数学在生活中应用和
将实际问题转化为数学问题的分析能力.
四、【模型运用】
如图已知A、B分别坐标轴上定点，且
AB=2，∠BAO=15°，P为
y轴上动点。则 PB＋12PA最小值=
.
变式：PB＋√22PA最小值=
.
提示：
设计意图：习题设置让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本
策略和基本方法.
五、【拓展思维】
已知，正方形ABCD边长为2，P是对角线BD上动点，则PA+PB+PC
最小值=
.
思路1：旋转利用两点之间线段最短；
思路2：利用胡不归模型，点线垂线段最短解决问题.
设计意图：发散思维，培养学生一题多解的能力和模型识别能力.
六、【课堂小结】
1.本节课学了将实际问题抽象成数学模型，用数学知识解决实际问题；
2.利用正弦函数将PB+k·PA转化为两条线段，利用垂线段最短解决
问题；
3.转化思想；新问题转化为旧问题，复杂问题转化为简单问题.
七、【作业布置】
八、【板书设计】
角固定，它的正弦值就固定.
直线外一点到直线所有连线垂线段最短.
九、【教后反思】