568 最值问题(学生版)
泰坦尼克号台词-陕西省人事厅网
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数学
“最值问题”
授课日期
授课时长
知识定位
在日常生活、工作中，经常会遇到有关最短路线、
最短时间、最大面积、
最大乘积等问题，这就是在一定条件下的最大值或最小值方面的数学问题。这类<
br>问题涉及的知识面广，在生产和生活中有很大的实用价值。这一讲就来讲解这个
问题。
【授课批注】
本讲的最值问题是从多方面入手，方法思路比较开阔！教师要多多鼓励学生思<
br>考，调动课堂气氛！
知识梳理
关于解决最值问题的常用结论：
1.
两个自然数的乘积一定时，两个自然数的差越小，这两个自然数的和也越小.
2. 如果两个整数的和
一定，那么这两个整数的差越小，他们的乘积越大。特别
地，当这两个数相等时，他们的乘积最大.
3.整数分拆的原则：不拆1，少拆2，多拆3
【重点难点解析】
1.
有关数的最值问题
2. 面积与周长的最值问题
3. 整数的分拆
4.
路线与时间的最值问题
【竞赛考点挖掘】
1. 分类思想在最值问题中的应用
2. 一笔画问题与最短路线问题的结合
3.
实际生活问题中的最值问题
例题精讲
【试题来源】
【题目】用铁丝围成一个面积为36平方厘米的长方形，最少要用多少厘米铁丝？
【试题来源】
【题目】用60米长的篱笆围成一个长方形鸡舍，若长方
形借助一个墙角（两面墙的夹角为
90度，如右图），长和宽各为多少时面积最大？最大面积是多少？
【试题来源】
【题目】
用60米长的篱笆围成一个长方形鸡舍，当长和宽各是多少时面积最大？最大面积
是多少？
【试题来源】
【题目】用60米长的篱笆围成一个长方形鸡舍，若长方
形一面靠墙（如右图），长和宽各
为多少时面积最大？最大面积是多少？
【试题来源】
【题目】用60米长的篱笆围成5个面积相等
的长方形鸡舍，若5个鸡舍相连且均有一面靠
墙（如下图），每个鸡舍的长和宽各为多少时面积最大？最大面积是多少？
【试题来源】
【题目】
用1、2、3、4这四个数字组成两个两位数，这两个两位数的乘积最大是多少？最小是多少？
【试题来源】
【题目】用1、2、3、4、5、6、7、8
、9这九个数字（每个数字仅用一次）组成一个四位
数和一个五位数，它们的乘积最大是几？
习题演练
【试题来源】 <
br>【题目】用1～8这八个数字组成四个两位数，并使这四个数的和等于144。这四个数中最
小数
与最大数的乘积最小是多少？
【试题来源】
【题目】把17分成几个自然数的和，怎样分才能使它们的乘积最大？
【试题来源】
【题目】若干个同学排成一列纵队购买电影票
，如果你观察后发现：除了前面的5个同学
外，每个同学都要比从他往前数（不包括他）第5位的同学高
；除了前面的3个同学外，
每个同学都要比从他往前数（不包括他）第3位的同学矮．请问这支队伍最多
有几个人？
【试题来源】
【题目】甲乙两仓库分别存粮20吨和12吨，准备分配到A、B两
个粮店销售，A粮店需要
22吨，B粮店需要10吨，每吨粮食运费如表1，怎样运花费最少？是多少？
（2）甲乙两仓库分别存粮20吨和12吨，准备分配
到A、B两个粮店销售，A粮店需要2
2吨，B粮店需
要10吨，每吨粮食运费如表2，怎样运花费最少？是
多少？
【试题来源】
【题目】在一条公路上，每隔100千米有一座仓库，共有3
座（如下图1），图中数字表示各仓库库存
货物的重量（单
位：吨）。现在要把所有货物集中放在一个仓库里，如果每
吨货物运输1千米需
要运费0.5元，那么集中到哪个仓库运
费最少？需要多少钱？如果共有5座（如下图2），那么集中到哪个仓库运费最少？需要多少钱？
【试题来源】
【题目】如
图，司机开车按顺序到五个车站接学生到学校，每个站都有学
生上车．第一站上了一批学生，以后每站上
车的人数都是前一站上车人数
的一半．车到学校时，车上最少有多少学生?
【试题来源】
A店
A店
甲仓
20元∕吨
乙仓
40元∕吨
28元∕吨 B店 24元∕吨
表1
甲仓
20元∕吨
乙仓
28元∕吨
40元∕吨 B店 24元∕吨
【题目】某公共汽车从起点开往终点站，中途共有15个停车站。如果这辆公
共汽车从起点
站开出，除终点站外，每一站上车的乘客中，正好各有一位乘客从这一站到以后的每一站，
那么为了使每位乘客都有座位，这辆公共汽车至少应有多少个座位？
【试题来源】
【题目】有十个村，座落在从县城出发的一条
公路上（如下图，距离单位是千米）。要安装
水管，从县城送自来水供给各村，可以用粗细两种水管。粗
管足够供应给所有各村用水，
细管只能供一个村用水。粗管每千米要用8000元，细管每千米要用20
00元。把粗管和细
管适当搭配，互相连接，可以降低工程的总费用。按你认为费用最节约的方法来安装
，费
用是多少？
【试题来源】
【题目】某城市的
交通系统由若干个路口（右图中线段的交点）和街道（右图中的线段）
组成，每条街道都连接着两个路口
．所有街道都是双向通行的，且每条街道都有一个长度
值（标在图中相应的线段处）．一名邮递员传送报
纸和信件，要从邮局出发经过他所管辖的
每一条街道最后返回邮局（每条街道可以经过不止一次）．他合
理安排路线，可以使得自己
走过最短的总长度是多少？
【试题来源】
【题目】将1至N（N＞1）这N个自然数恰当的排列在一个圆周上，使得任意两个相邻的数
总包含相同的数码（例如38和86都包含数码8）。求能满足要求的N的最小值。
【试题来源】
【题目】东升乡有八个行政村，如图分布，点 表示村庄，线表示道路．左下图中的数字表
示道路的长，现在这个乡要建立有线广播网，沿道路架设电线 ，问怎样的架线方案能使电
线最省？
7
13
115
10
5
8
8
10
7
11
8
14
【试题来源】
【题目】如图，小 明要从A走到B，每段路上的数字是小王走这段
路所需的分钟数．请问小明最快需几分钟?
【试题来源】
【题目】在10，9，8，7，6，5，4， 3，2，1这10个数的每相邻两个数之间都添上一个加
号或一个减号，组成一个算式。要求：（1）算 式的结果等于37；（2）这个算式中的所有减
数（前面添了减号的数）的乘积尽可能地大。那么，这些 减数的最大乘积是多少？
【试题来源】
【题目】一个矩形的周长为20厘米，它的长和宽各是多少时，它的面积最大？
【试题来源】
【题目】比较下面两个乘积的大小：
a=57128463×87596512，
b=57128460×87596515
【试题来源】
【题目】小王现有一个紧急通知需要传达给小区内的975个人．若用电话联系，每通知1
个人
需1分钟，而见面可一次通知60个人，但需10分钟，问：完成传达任务最少需多少分
钟?(每人均有
电话)
【试题来源】
【题目】有十个村庄，座
落在从县城出发的一条公路上，现要安装水管，从县城供各村自来
水．可以用粗、细两种水管，粗管每千
米7000元，细管每千米2000元．粗管足够供应所有
各村用水，细管只能供应一个村用水，各村与
县城间距离如右图所示（图中单位是千米），
现要求按最节约的方法铺设，总费用是多少？
【试题来源】
【题目】一个布袋中有红、黄、绿
三种颜色的小球各10个，这些小球的大小均相同，
红色小球上标有数字“4”，黄色小球上标有数字“
5”，绿色小球上标有数字“6”。
小明从袋中摸出8个球，它们的数字和是39，其中最多可能有多少
个球是红色的？
【试题来源】
【题目】小明有
一只最多能装10千克物品的大提兜．现有白菜5千克，猪肉2千克，
鱼3．
5千克，一瓶酱油连瓶重1.7千克，白糖l千克，蚕豆5.1千克．请你想想，把
哪几样东西放进大提
兜内，才能充分利用提兜，使它所提东西的重量最重?
【试题来源】
【题目】把1、2、3，…，12填在右图的12个圆圈里，然后将任意两个相
邻的数相加，得
到一些和，要使这些和都不超过整数N，N的最小值是多少？