22、单线段最值问题整合
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单线段最值问题（一）——基本分类
邓晋荣
一、 单动点
若要求最值的线段一端为定点，另一端为动点，则需要研究动点所在轨迹，一般为圆或直线．
1. 点在直线上运动
点 P 是直线l 上一动点， A 是直线外一点，求 AP
的最小
值． 过点 A 作 AP
l ，垂足为 P
，则 AP
AP ．
A
l
P P'
2. 点在圆上运动
点 P 为 O 上一动点， A 是圆外一点，求
AP 的最值．
连接 AO 并延长，交 O 于 PP
2
两点，则
AP
1
、
1
AP AP
2
．
P
2
A
例1. 如图，已知正方形 ABCD ，AB 2 ，E 、F 分别在 BC
、CD 上运动，且 BE CF ，AE 、
BF 交于点G ，则CG 的最小值为 ．
B
是轴 y 上一动点，过点
A
例2.
如图，在平面直角坐标系中，已知点
A
2, 4
，点
P
1, 0
，
作
AB AC
交
x
轴于点
C
， M 是
BC
中点，则
PM 的最小值为 ．
例3. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形
OABC
的顶点 A 在
y
轴上，
OA 3
，
OC 4
，D
是线段
AB
上一动点， 以 CD 为边在与点 B
同侧作正方形 CDEF ，则
OE
的最小值为
A
．
D
B
E
y
F
A
M
P C
x
B
O
C
例 1
x
例 2 例 3
例4. 如图，在边长为
a
的等边
△ABC
中，
AD
BC
，点 E 是直线 AD 上的一个动点，连接
CE
，
把线段
CE
绕点
C
逆时针旋转
60
得到
CF
，连接 DF ，则 DF 的最小值为 ．
例5.
如图，在Rt△ABC 中，ACB 90 ， AC BC 4 ， D 是 BC
边上一动点，连接 AD 交
以CD 为直径的圆于点 E ，则 BE 的最小值为 ．
例6. 如图，在△ABC 中， ACB 90 ， BAC 30 ， BC
2 ， D 是 AB 边上一点，以 AD
为边在△ABC 外侧作等边△ADE ，过点 D 作
DE 的垂线，F 是垂线上一点，G 是 EF 中点，
则CG 的最小值为 ．
A
A
B
F
G
E
B
D
C
C
C
例 6
A
B
F
例 4 例 5
3. 多动点转化为单动点
（1） 双动点转单动点
例7. 如图，在Rt△ABC 中，C 90 ， AC
4 ， BC 3， D 是 AC 上一动点， DE AC ，
DF BC
，则 EF 的最小值为 ．
B
2, 0
、
C
4, 0
两点，
P
是 例8. 如图， A 与
x
轴交于 点 y 轴上一动点，
DP
切 A 于点 D ，
则 DP 的最小值为
A
．
y
A
O
P
B
D
C E
x
C F
B
例 8
例 7
（2）
相对运动转化
例9. 如图，在坐标系中，点 A 、B 分别在
x
、y
轴上运动，且 AB 2 ，在第一象限作等边△ABC ，
则OC 的最大值为 ．
例10. 如图，在坐标系中，点 A 、B 分别在
x
轴、直线 y x
上运动，且 AB 2 ，以 AB 为
边在点O 异侧作等边△ABC ，则OC 的最大值为
y
．
y
B
x
O A
x
C
例 10
例 9
二、 圆中的弦
圆中的弦，由半径与圆心角（圆周角）决定，若圆心角固定，则弦的最值转化为半径的最
值．
半径的最值问题可以转化为单动点问题，也可以由半径与弦的关系求得（ 0 l 2r ）．
例11. 如图，在△ABC 中， AB AC 8 ， BAC 120 ， D
在线段 BC 上且 CD 3BD ，
点 E 、 F 分别在射线 BA 、CA
上，若EDF 60 ，则 EF 的最小值为 ．
例12.
3 9
如图，已知
y x
2
x 6
与
x
轴交于
A
、
B
两点，与
y
轴交于点
C
，
D
是线段
8 4
BC 上一动点， P 是 AD 中点．过点 D
分别作 AB 、AC 的垂线，垂足为 E 、F 两点，则 EF
的最小值为 ．
例13. 如图，在Rt△ABC 中， AC 6 ， BC 8 ， P 、Q 是 AC
、BC 上的动点，△CPQ 的
外接圆，恰好与直线 AB 相切，则 PQ 的最小值为 ．
C
y
A
D
F
B
E A
O E
A
P
B
D
F
x
P
C
Q
B
例 11
例 13
C
例 12
三、 动态折叠
动态折叠的情况更加复杂，可以转化为单动点问题，也可能无法转化．
例14.
如图，在Rt△ABC 中， ACB 90 ， AC 6 ， BC 4 ， D 是
AC 中点， E 在 BC
上运动，沿 DE 折叠，使点C 落在C
处，则
BC
的最小值为 ．
例15. 如图，在Rt△ABC 中， ACB
90 ， AC 6 ， BC 8 ， D 、 E 分别是 AC 、 BC
上的动点，沿 DE 折叠，使点C 落在C
处，则 AC
的最小值为 ．
例16. 如图，已知等边△ABC ，边长为4 ， D 、 E 是
AC 、 AB 上两动点，沿 DE 折叠，
使点 A 恰好落到 BC 上，则CD 的最大值为
．
A A
A
D
D
C'
C'
C E
B
C E
E
D
B
B
A'
C
例 14
例 15
例 16
单线段最值问题（二）——连锁轨迹
邓晋荣
例1. 如图，在
△ABC
中，
AB 2
，
AC 3
，以
BC
作等边
△BCD
，
B
、
D
、
C
三点为逆时
针顺序，则 AD 的最大值为 ．
例2.
如图，在平面直角坐标系中，已知矩形
OABC
的顶点 A 在
y
轴上，
OA 3
，
OC 4
，D 是
线段
AB
上一动点， 以
CD
为边在与点
B
同侧作正方形
CDEF
，则
OE
的最小值为
．
例3. 如图，在边长为
a
的等边
△ABC
中，
AD BC
，点 连接
CE
，
E
是直线
AD
上的一个动点，
把线段
CE
绕点
C
逆时针旋转
60
得到
CF
，连接
DF ，则 DF 的最小值为
A
．
A
C
B
D
x
B
C
例 1 例 2
F
例 3
实际上，例 1
可以修改如下：
例4. 如图， AC 3 ，点 B 在以 A 为圆心，半径为2
的圆上运动，以 BC 为边作等边△BCD ，
B 、C 、 D 三点为逆时针顺序，则 AD
的最大值为
．
思考，我们能否证明点 D 也在某个圆上运动？
如果把例 4
中的等边三角形改为等腰直角三角形呢？
例5. 如图， AC 3 ，点 B 在以 A
为圆心，半径为 2 的圆上运动，以 BC 为斜边作等腰直角
△BCD ， B 、C 、 D
三点为逆时针顺序，则 AD 的最大值为 ．
D
D
B
A
C
C
例 4 例 5
如何准确确定动点所在的轨迹？直线轨迹的位置或者解析式，圆轨迹的圆心和半径。
1.
位似变换
如图， A 是定点，点 P 在直线 BC （或 O ）上运动， M 是 AP 中点
A
（定点）
A
（定点）
M
（从动点）
B'
B
C'
（从动点）
M
（主动点）
P
A
（定点）
O'
O
P
（主动点）
P
（主动点）
C
2. 旋转变换（旋转型全等）
如图， A 是定点，点 P
在直线 BC （或 O ）上运动，作等腰直角△APQ ， PAQ
90
（此处可以看作点 P 绕点 A 逆时针旋转90 ）
A
（定点旋转中心）
（从动点）
P
Q
（主动点）
B
A
（定点旋转中心）
（从动点）
C'
（主动点）
P
A
（定点）
P
Q
（主动点）
O
Q
（从动点）
O'
C
B'
3.
旋转位似变换（旋转型相似）
如图， A 是定点，点 P 在直线 BC （或 O
）上运动，作等腰直角△APQ ， APQ 90
（此处可以看作点 P 绕点
A 逆时针旋转45 后，再以点 A 为位似中心扩大 倍）
A
（定点）
（主动点）
P
Q
（从动点）
A
（定点）
C'
A
（定点）
B
（主动点）
（主动点）
P
O
Q
（从动点）
B'
O'
结论 1：若某动点（称为主动点）在某轨迹上运动，则与其连锁运动的点（称为
从动点）也
在同样的轨迹上运动。主动点在某直线上运动，从动点也在另一直线上运动；主动点在某圆上
运动，从动点也在另一圆上运动。
（此处的“连锁运动”即指主动点经过固定几何变换得到从动点）
结论 2：若主动点圆上运
动，则应该把圆心进行同样的几何变换，得到从动点的圆心；若主动
点在直线上运动，则选择该直线上任
意一点，进行同样的几何变换，变换后的点与从动点
构成从动点所在直线。之后，再通过“手拉手”模型进行推导证明。
结论
3：主动点所在轨迹与从动点所在轨迹的长度之比等于位似比。
例6. 如图，在四边形 ABCD
中，ABC ADC 90 ， AD CD 2 2 ， E 是 BD 中点，则
CE 的最小值为
．
例7. 如图，在坐标系中，点
A
3, 0
，点
B
在直线
y
3x 3
上运动，以 AB 为边作等边
△ABC ， B 、
A 、C 三点为逆时针顺序，则OC 的最小值为 ．
例8. 如图， AB 是 O
的直径，C 是OB 上一点， P 是 O 上一动点，以CP 为底边作等腰直
角△CPD ，P
、C 、D 三点为逆时针顺序，若 AB 6 ，OC 2 ，则 AD 的最小值为 ．
D
y
A
O
C
B
P
B
C
x
例 6
例 8
例 7
例9.
如图，点O 在线段 AB 上， OA 1， OB 2 ，以点O 为圆心， OA 长为半径作
O ，点
P 在 O 上运动，以 BP 为边作△BCP ，使PBC 90 ，
tanBPC 2 ， P 、 B 、C 三点
为逆时针顺序，则 AC 的取值范围是 ．
P
1, 0
，
B
是轴 y
上一动点， 例10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点
A
2,
4
，点
过点 A 作
AB AC
交
x
轴于点
C
， M 是
BC
中点，则 PM 的最小值为
C
y
．
A
B
A
P
O
B
O P
M
C
x
例 10
例 9
单线段最值问题练习
练1.
如图，在 O 中，半径为6 ，C 是 O 上一动点，且ACB 30 ，延长CB 交过点 A
的
切线于点 D ，则 BD 的最小值为 ．
练2. 如图，点
A
是直线
y x
上的动点，点
B
在
x
轴上运动，作矩形
ABCD
，
AB 2
，
AD
1
，
A 、 B 、C 、 D 四点为逆时针顺序，则OD 的最大值为
．
练3. 如图，在等边△ABC 中，AB 3 ，点 D 、E 分别在 BC 、AC
上运动，且 BD CE ，AD
交 BE 于点 F ，则CF 的最小值为 ．
C
y
D
x
B
D
C
A
A
练 1
练 2
练 3
练4. 如图，在菱形 ABCD 中， AC 2 ，BD 4 ，P 是CD
上一动点，分别作点 P 关于 AC 、
AD 的对称点 PP
2
，则
P
1
、
1
P
2
的最小值为
．
练5. 如图，已点
A
3, 0
，
C
0, 4
， C 的半径为2 ，点
P
是 C 上一动点， M 是
AP
中
点，则OM
的最小值为 ．
练6. 如图，已知 O 半径为3 ，A 、B 是 O 上两点，将点 B
绕点 A 逆时针旋转90 得到点C ，
则OC 的最小值为 ．
A
y
B
P
C
D
x
B
O
A
C
练 4
练 6
练 5
练7. 如图，AB 是
O 的直径，C 是 AB 中点，D 是 BC 上一动点，过点C 作CE CD 交 AD
于点 E ，则 BE 的最小值为 ．
练8. 如图，在等边△ABC 中， D 是
BC 上一动点， M 是 AD 中点，将线段 DM 绕点 D 顺时
针旋转60 得到 DN
．当点 D 从点 B 运动到点C 时，点 N 运动的轨迹长为 ．
练9.
如图，已知定点 A 横坐标为 2
，过点 A 且垂直于
x
轴的直线交
x
轴于点 M ，交直线
y x 于点 N ． P
是线段ON 上一动点，作△APB ， BAP 90 ， APB 30 ， A 、 P
、
B 三点为逆时针顺序．当点 P 从点O 运动到点 N 时，点 B 运动的轨迹长为 ．
C A
D
y
A
A
E
O
B
M
N
B
D
C
O
P
N
M
B
x
练 7 练 8
练 9
练10. 如图，AP 3 ，BP 4 ，作正方形 ABCD ，A 、B 、C 、D
四点为逆时针顺序，CP
的最大值为 ．
练11. 如图等边△ABC 中， P 是
AC 边上一动点，作△BDP ， PBD 30 ， PB PD ，
P 、 B
、 D 三点为逆时针顺序，则CD 的最小值为 ．
练12. 如图，△ABC DE 中点，
，BAC DAE 90 ，AB 6 ，AC 8 ，F 是
若点 D 在直线 BC 上运动，连接CF ，则线段CF 的最小值为 ．
A
P
D
A
D
A
E
F
B
D
C
B C
B
C
练 10 练 11 练 12
练13. 如图，已知菱形 ABCD ，AB
8 ，BAD 60 ，P 在线段 BC 上，CP 3，Q 是 AD
上一动点，沿 PQ 折叠四边形 ABPQ ，得到四边形
A
B
PQ ，当 DB
最小时， DQ 的值为
练14.
．
如图，在△ABC 中， C 30 ， AC
3 ，3 BC 6 ，点 D 、E 分别在 AB 、 AC
．
A
Q
D
D
B
B
P
C
A
E
C
上，将△ADE 沿 DE 折叠，使点 A 恰好落在 BC 上，则CE
的最大值为
练 13
A'
练 14