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利用导数研究函数的极值和最值问题
１．利用导数研究函数的极值的一般步骤：
（１）确定函数的定义域．
（２）求
f

(x)
．
（３）①若求极值，则先求方程
f

(x)0
的全部实根，再检 验
f

(x)
在方程根的左右两侧
值的符号，求出极值．（当根中有 参数时，要注意讨论根是否在定义域内）
②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程
f

(x)0
的根的大小或存在情况，
从而求解．
２．求连续函数
yf(x)
在

a,b

上的最大值与最小值的步骤：
（１）求函数
yf(x)
在

a,b

内的极值；
（２）将函数
yf(x)
的各极值与端点处的函数值
f(a)
，
f(b)
比较，其中最大的一个
是最大值，最小的一个是最小值.
例1.( 2018北京,18,13分)设函数
f(x)ax

4a1

x4a3e
.
2x

(1)若曲线
yf(x)
在点

1,f

1

处的切线与
x
轴平 行,求
a
;
(2)若
f(x)
在
x2
处取得极 小值,求
a
的取值范围.
解析 (1)因为
f(x)ax
< br>4a1

x4a3e
,
2x

所以
f

(x)ax

2a1

x2e
，< br>f

(1)

1a

e
.
2x

由题设知f '(1)=0,即

1a

e0
,解得
a1
.
此时
f(1)3e0
.所以
a
的值为1.

(2)由(1)得
f

(x)ax

2a1
< br>x2e

ax1

x2

e
.
2xx

若
a
1

1

,则 当
x

,2

时
f

(x)0
;
2

a

当
x

2,

时,
f

(x)0
.所以
f(x)
在
x2
处取得极小值.
若
a
11
,则
x

0,2

时,
x20
,
ax1x10
,所以
f

(x)0
,
22
所以2不是
f(x)
的极小值点.


。 综上可知,
a
的取值范围是

，

1

2


方法总结：函数极值问题的常见类型及解题策略
(1)已知导函数图象 判断函数极值的情况.先找导数为0的点,再判断导数为0的点的左、
右两侧导数的符号.
(2)已知函数求极值.求f '(x)→求方程f '(x)=0的根→列表检验f '(x)在f '(x)=0的
根的附近两侧的符号→下结论.
(3)已知极值求参数.若函数f(x)在点(x0,y0)处取得极值,则f '(x0)=0,且在该点左、右
两侧导数值的符号相反.
例2.(2017北京,19,13分)已知函数
f(x)ecosxx
. (1)求曲线
yf(x)
在点

0,f(0)

处的 切线方程;
x
(2)求函数
f(x)
在区间

0,



上的最大值和最小值.

2

解析 本题考查导数的几何意义,考查利用导数研究函数的单调性、最值.
(1)因为
f(x)ecosxx
,
所以
f

(x)e

cosxsinx

1
,
f

(0)0
.
x
x

又因为
f(0)1< br>,所以曲线
yf(x)
在点

0,f(0)

处的 切线方程为
y1
.
(2)设
h(x)e

cosx sinx

1
,
x
则
h

(x)e

cosxsinxsinxcosx

2esinx
.
xx
当
x

0,



< br>


时,
h

(x)0
,所以
h(x)
在区间

0,

上单调递减.
2
< br>2



所以对任意
x

0,


2


有
h(x)h(0)0
,即
f

(x)0
.
所以函数f(x)在区间

0,



上单调递减.


2

因此< br>f(x)
在区间

0,






f
上的最大值为,最小值为.
f(0)1


222

解题思路：
(1)先求导,再利用导数的几何意义求出切线的斜率,最后利用点斜式求出切线方程。
(2 )设
h(x)e

cosxsinx

1
,对
h(x)
求导,进而确定
h(x)
的单调性,最后求出最值.
x
方法总结
1. 求切线方程问题:
(1)根据导数的几何意义求出指定点处的导数值,即切线的斜率;
(2)求出指定点处的函数值;(3)求出切线方程.
2.利用导数研究函数的单调性:
(1)求出函数
f(x)
的定义域;
(2)求出函数
f(x)
的导函数
f

(x)
;
(3)令
f

(x)0
得到
f(x)
在定义域内 的单调递增区间；令
f

(x)0
得到
f(x)
在定义域

内的单调递减区间.
例3.(2014北京,18,13分,已知函数
f(x)xcosxsinx
,
x

0,


.

2

(1)求证:
f(x)0
;
(2)若
a
sinx



b
，对< br>x

0,

恒成立,求
a
的最大值与
b< br>的最小值.
x

2

解析 (1)由
f(x)x cosxsinx
得
f

(x)cosxxsinxcosxx sinx
.
因为在区间

0,






上
f

(x)xsinx0
,所以< br>f(x)
在区间

0,

上单调递减.

2

2

从而
f(x)f(0)0
.
(2 )当
x0
时,“
sinxsinx
a
”等价于“
sin xax0
”,“
b
”等价于
xx
“
sinxbx 0
”.
令
g(x)sinxcx
,则
g

( x)cosxc
.
当
c0
时,
g(x)0
对任意
x

0,





恒成立.
2

当
c1
时,因为对任意
x

0,





,
g

(x)co sxc0
,
2


所以
g(x)
在区间
0，

上单调递减.从而
g(x)g(0)0
对任意x

0,

恒成

2

2

立.





当
0c1时,存在唯一的
x
0


0,




使得
g

(x
0
)cosx
0
c0
.

2




g(x)
与
g

(x)
在区间

0,

上的情况如下:

2




x
0
,


2

-
x


0,x
0


+
x
0

g

(x)

g(x)



0
↗ ↘
因为
g(x)
在区间

0,x
0

上是增函数,所以
g(x
0
)g(0)0
.
进一 步,“
g(x)0
对任意
x

0,





2



当且仅当
g
 
1c0
,即
0c
.

恒成立”
2< br>
2


2



综上所述,当且 仅当
0
2

时,
g(x)0
对任意
x

0,



恒成立;当且仅当
c1
2

时,
g(x)0
对任意
x

0,





恒成立.
2

所以,若
a
sinx2



b
对任意
x
0,

恒成立,则
a
的最大值为,
b
的最小值为
1
.
x


2


思路分析：
(1) 利用导数研究函数的单调性,求出函数的最大值,从而证明不等式成立.
(2)把不等式进行恒等变形,然后把恒成立问题转化成最值问题.
解后反思：
不等式恒成立问题的解决步骤:一般先对不等式的特征进行分析,可以分离参变量,
或者将不等式等价变形,然后转化为最值问题.

总结？？？？？？？