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2021年中考数学核心考点强化突破：几何、代数最值问题
类型1 利用对称、线段公理求最小值
k
1．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝(x＞0) 的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分
x
别相交于M，N两点，△OMN的面 积为10.若动点P在x轴上，则PM＋PN的最小值是( C )

A
．62
B
．10
C
．226
D
．229
kkk k1k1k
解：由已知得M(6，)，N(，6)，∴BN＝6－，BM＝6－，∵△OMN的面积为： 6×6－×6×－×6×
66662626
1k
2
－×(6－)＝10，∴k ＝24，∴M(6，4)，N(4，6)，作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，
26< br>则NM′的长＝PM＋PN的最小值，∵AM＝AM′＝4，∴BM′＝10，BN＝2，∴NM′＝BM ′＋BN＝10＋2＝
226.
2
2．如图，直线y＝x＋4与x轴、y轴分别交于 点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA
3
上一动点，PC＋PD值最 小时点P的坐标为( C )
2222

A
．(－3，0)
B
．(－6，0)
C
．(－，0)
D
．(－，0)
解：(方法一)作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC＋PD值最小，如图 1所
示．可求点B(0，4)；A(－6，0)．
3
2
5
2
5

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∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，∴点C(－3，2)，点D(0，2) ．∵点D′和点D关于x轴对称，
∴点D′的坐标为(0，－2)．设直线CD′的解析式为y＝kx＋ b，∵直线CD′过点C(－3，2)，D′(0，－
44433
2)，可求CD′的解析式为 y＝－x－2.令y＝－x－2中y＝0，则0＝－x－2，解得：x＝－，∴点P(－，
33322< br>0)．(方法二)连接CD，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC＋PD值 最小，如图
2所示．

3．如图，在
Rt
△ABC中，∠ACB＝ 90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P
是A′B′的中点，连 接PM.若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是( B )

A
．4
B
．3
C
．2
D
．1
解：如图连接
PC
.在Rt△
ABC
中，∵∠
A
＝ 30°，
BC
＝2，∴
AB
＝4，根据旋转不变性可知，
A
′
B
′＝
AB
1
＝4，∴
A
′
P
＝
PB
′，∴
PC
＝
A
′
B
′＝2，∵< br>CM
＝
BM
＝1，又∵
PM
≤
PC
＋
CM
，即
PM
≤3，∴
PM
的最大值为3(此
2
时
P
、
C
、
M
共线)．
4．如图，矩形ABOC 的顶点A的坐标为(－4，5)，D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小
时，点E 的坐标是( B )

A
．(0，)
B
．(0，)
C
．(0，2)
D
．(0，)
解：作
A
关于
y
轴的对称点
A
′，连接
A
′
D
交
y
轴于
E
，则此时，△
ADE
的周长最小，∵四边形
AB OC
5
4
3
5
3
10
3

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是矩形，∴< br>AC
∥
OB
，
AC
＝
OB
，∵
A< br>的坐标为(－4，5)，∴
A
′(4，5)，
B
(－4，0)，∵D
是
OB
的中点，∴
D
(－
555
2，0)， 设直线
DA
′的解析式为
y
＝
kx
＋
b
， 可求直线
DA
′的解析式为
y
＝
x
＋，当
x
＝0时，
y
＝，∴
E
(0，
633
5
)．
3

5．如图所示，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的一点，且BE＝1， P是对角线AC上的一动点，连接
PB、PE，当点P在AC上运动时，△PBE周长的最小值是__6 __．

解：连接DE于AC交于点P′，连接BP′，则此时△BP′E的周长就是△PB E周长的最小值，∵BE＝1，
BC＝CD＝4，∴CE＝3，DE＝5，∴BP′＋P′E＝DE＝5 ，∴△PBE周长的最小值是5＋1＝6.
6．如图，将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序进 行两次折叠，展平后，得折痕AD，BE(如图1)，点
O为其交点．
(1)探求AO与OD的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，若P，N分别为BE，BC上的动点．
①当PN＋PD的长度取得最小值时，求BP的长度；
②如图3，若点Q在线段BO上，BQ＝1，则QN＋NP＋PD的最小值＝__10__．

解：(1)AO＝2OD，理由：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAO＝∠ABO＝∠OBD＝30° ，∴AO＝OB，∵BD＝
CD，∴AD⊥BC，∴∠BDO＝90°，∴OB＝2OD，∴OA＝2O D；
(2)如图2，作点D关于BE的对称点D′，过D′作D′N⊥BC于N交BE于P，则此时P N＋PD的长度取
13
得最小值，∵BE垂直平分DD′，∴BD＝BD′，∵∠ABC＝60 °，∴△BDD′是等边三角形，∴BN＝BD＝，
22
5

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BN3
∵∠PBN＝30°，∴＝，∴PB＝3；
PB2

(3) 如图3，作Q关于BC的对称点Q′，作D关于BE的对称点D′，连接Q′D′，则D′Q′的长度即
为QN＋NP＋PD的最小值．
在
Rt
△D′BQ′中，D′Q′＝3＋1＝10. ∴QN＋NP＋PD的最小值＝10.
类型2 利用函数性质求最值
7．已知函数y＝mx－(2m－5)x＋m－2的图象与x轴有两个公共点．
(1)求m的取值范围，并写出当m取范围内最大整数时函数的解析式；
(2)题(1)中求得的函数记为C
1
，
①当n≤x≤－1时，y的取值范围是1≤y≤－3n，求n的值；
②函数C
2：y＝m(x－h)＋k的图象由函数C
1
的图象平移得到，其顶点P落在以原点为圆心， 半径为5
的圆内或圆上，设函数C
1
的图象顶点为M，求点P与点M距离最大时函数C
2
的解析式．
25
2
解：(1)∵函数图象与x轴有两个交点，∴ m≠0且[－(2m－5)]－4m(m－2)＞0，解得：m＜且m≠0.∵m
12
为符合条 件的最大整数，∴m＝2.∴函数的解析式为y＝2x＋x.
(2)抛物线的对称轴为x＝－
b11
＝－.∵n≤x≤－1＜－，a＝2＞0，∴当n≤x≤－1时，y随x的增大
2a44
2
2
2
2
22
而减小．∴当x＝n时，y＝－3n.∴2n ＋n＝－3n，解得n＝－2或n＝0(舍去)．∴n的值为－2.
1
2
1112
(3)∵y＝2x＋x＝2(x＋)－，∴M(－，－)．如图所示：
4848

当点P在OM与⊙O的交点处时，PM有最大值．设直线OM的解析式为y ＝kx，将点M的坐标代入解得：
111
k＝.∴OM的解析式为y＝x.设点P的坐标为(x ，x)．由两点间的距离公式可知：OP＝
222
解得：x＝2或x＝－2(舍去)．
∴点P的坐标为(2，1)．∴当点P与点M距离最大时函数C
2
的解析式为y＝2(x－2 )＋1.
5
2
1
22
x＋（x）＝5，
2