狐假虎威的续写-致运动员词

导数的综合应用



导数与不等式
■复 _____________________________
1能够构造函数利用导数证明一些简单的不等式和解某些不等式.
2 .会将恒成立问题及存在性问题转化为最值问题进行求解.
.课前预习 ___________________________________
®知识梳理
1.
数
“最小值”“最大值”“极小值”或“极大值”
值范围为
如果不等式f(x)》g(x), x€ [a, b]恒成立，则转化为函
《x) = f(x)— g(x)在x€ [a, b]内的 最小值 >0.(填
)
(
x
o
, b) , f(x)<0 的 x 的取 2. 若 f' (x)>0 , x€ [a , b]，且 x
°
€ (a, b)有 f(x
°
) = o,则 f(x)>0 的 x的取值范围为
(
a, X
o
).
3. 若f(x)>m在x€ [a, b]上恒成立，则函数 f(x)在x€ [a, b]的 最小值 >m.(填“最小值”“最大值” “极小 值”或
“极大值”
)
若f(x)U
函数f(x)在 x€ [a, b]的 最大值
或“极大值”
)
4.
x€ [a, b]的 最大值
“极大值”
)
热身练习
1对于
？
x€ [0,+^ )，贝
U
e
x
与1 + x的大小关系为(A)
A . e
x
> 1 + x B. e
x
C. e
x
= 1 + x D. e
x
与1 + x大小关系不确定
EE3 令 f(x) = e
x
— (1 + x)，因为 f' (x) = e
x
— 1,
所以对
？
x€ [0,+
a
), f' (x)>0,
故 f(x)在[0，+
a
)上递增，故 f(x) > f(0) = 0,
即 e
x
> 1 + x.
2. 对于R上可导的任意函数 f(x),若满足(x— 1)f' (x)>0，则必有(B)
A
.
f(0)
+
f(2)
v
2f(1)
B. f(0) + f(2)>2f(1)
C. f(0) + f(2) = 2f(1)
D . f(0) + f(2)与2f(1)的大小不确定
■解析.
依题意，当x>1时，f' (x)>0 , f(x)在(1 , +
a
)上是增函数;
当x
V
1时，f' (x)<0 , f(x)在(—
a
, 1)上是减函数，
故当x= 1时，f(x)取最小值，
所以 f(0)>f(1), f(2)>f(1)，所以 f(0) + f(2)>2f(1).
3. 已知定义在 R上函数f(x)满足f(— x)=— f(x),且x>0时，f' (x)<0，贝U f(x)>0的解集为(A) A
.
(
— a,
0) B
.
(0
,+a
)
C
.
(
— a, —
1) D
.
(1
,+a
)
S3因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)
=
0
,
又x>0时，f
'
(x)<0，所以f(x)在
(
—a,+a
)上单调递 减，
所以f(x)>0的解集为(—
a
, 0).
k k
4.
增函数，则实数 k的取值范围是
x 3
因为h' (x) = 2 +宥，且h(x)在[1 , +
a
)上单调递增,

若f(x)>m在x€ [a, b]有解，则函数f(x)在
>m.(填“最小值”“最大值”“极小值” 或
若函数h(x)
=
2x
—
_
+
3在[1
,+a
)上是
[
—
2
,+ a
)

x

•

&


(

》
0
x

J
>
s

0
0
+
6

0
+
0
o
(
-
L
O
二
-
-
L
L
o
一
x
)
e
+
x
cxl
—
—
z
x

i(x)6

——

(x=H(x)±L)
》
x

J
>
§

一

r
o

懸
uflm
)
6
A
(
X
)
o
wx
o
代

U
J
(
X
E
-L
X
o
)
6
x

)
—< br>e
o
±
—
+
A
x
CXI

e
cxl
)
(
e
—
s

X
—
o
•
)

A
(
4
< br>e
0
H
—
+
0
e
+
(—
X
0
(
H
X

)
§


二

6
-


L

+
o


》


x

i


(
J

x
>
(


=
怒
L

)

r

o
・

(
懸
X
uflm

・

H
i

、
、
M
0
>
」
X
(
X
)
6
A
)
6
二

-
m
L

代
一
)
H
£
H
o
)
Z
I
H
X
e
E
_
(
x
E
^

•
(
&+ei(L)zl< br>(
X
)
4
・
-
L
O
^
X< br>J
>
一
」》
X
)
6
A
x
o
A
x
e
w
_
(
x
lr
.

M
0
>
o
A
e

書
■
二

L
o
•
(
0
0
+
0
一

x
、
、

(X)

9

「■[高频 _________________________________ ■
厂心*1 利用导数解不等式
OD若f(x)的定义域为
R
, f' (x)>2恒成立，f( — 1) = 2,则f(x)>2x+ 4的解集为
A . (— 1,1) B . (— 1,+^ )
C
.
(
—8, —
1) D
.
(
— m,+m
)
令 g(x) = f(x)— 2x — 4,因为 g' (x)= f' (x) — 2>0 ,
所以g(x)在
(
—8,+8
)上是增函数，
又 g(
—
1)
=
f(
—
1)
—
2
X
(
—
1)
—
4
=
0
,
所以 f(x)>2x+ 4? g(x)>g( — H x>— 1.
所以f(x)>2x+ 4的解集为
(
一1,+
8
).
利用导数解不等式的基本方法：
(1) 构造函数，利用导数研究其单调性；
(2) 寻找一个特殊的函数值；
)得到不等式的解集.
(3) 根据函数的性质
(
主要是单调性，结合图象
1. (2018遂宁模拟
)
已知f(x)为定义在( —
8,
0)上的可导函数，2f(x) + xf' (x)>x
2
恒成立, 则不等式
(x + 2018)
2
f(x+ 2018) — 4f(— 2)>0 的解集为(B)
A
.
(
—
2020,0) B
.
(
— 8,—
2020)
C
.
(
—
2016,0) D
.
(
— 8,—
2016)
构造函数 F (x)= x
2
f(x), x<0 ,
当 x<0 时，F ' (x)= 2xf(x) + x
2
f' (x)
=x[2f(x) + xf 'x)],
因为 2f(x) + xf' (x)>x
2
> 0,
所以F
'
(x
)
w
0，贝U F(x)在(
—8,
0)上递减.
又(x+ 2018) f(x+ 2018) — 4f(— 2)>0 可转化为(x+ 2018) f(x+ 2018)>( — 2) f( — 2),
即 F(x+ 2018)>F(— 2)，所以 x+ 2018< — 2,
所以 x< — 2020.
即原不等式的解集为
(
一
8,—
2020)
.
E0已知函数 f(x)= (1 + x)e
2x
.当 x€ [0,1]时，求证：f(x
)
w
1
I
x
-
—
2x
1
,
1
I
x
要证 x€ [0,1]时，(1 + x)e
w
-
只需证明 e
x
> x+ 1.记 k(x)= e
x
— x — 1，则 k' (x) = e
x
— 1, 当 x € (0,1)时，k' (x)>0,
因此，k(x)在[0,1]上是增函数，故 k(x)> k(0) = 0,
所以 f(x), x€ [0,1].
(1)证明f(x)>g(x)的步骤:
① 构造函数 F (x) = f(x)— g(x);

② 研究F(x)的单调性或最值；
③ 证明 F(X
)
min
>0.
⑵注意：其中构造函数是将不等式问题转化为函数问题•为了利用导数研究函数的性 质，常用分析
法.将要证明的不等式进行适当变形或化简，然后构造相应的函数.
1
2. (2018全国卷
I
节选
)
已知函数f(x)= ae
x
—In x — 1.证明：当a时，f(x)>0.
1
E3Z)当 a> 时，f(x)>
e
x
e
x

e
— In x— 1.
x
设 g(x) =
e

— In x— 1,则 g' (x) =
e

—
1

e
当 01 时，g' (x)>0.
所以x= 1是g(x)的最小值点.
故当 x>0 时，g(x)> g(1) = 0.
1
因此，当a > -时，f(x) > 0.
e
至匚 已知不等式恒成立求参数的范围
e x
翹财已知两个函数 f(x)= 7x
2
— 28x— c,g(x) = 2x
3
+ 4x
2
— 40x.若
？
x€ [— 3,3]，都有
f(x)2 3 2 3 2
f(x)< g(x) ? 7x — 28x— c< 2x + 4x — 40x? c> — 2x + 3x + 12x,
所以原命题等价于 c> — 2x
3
+ 3x
2
+ 12x在x€ [ — 3,3]上恒成立.
令 h(x) = — 2x
3
+ 3x
2
+ 12x, x€ [— 3,3]，则 c>h(x)
max
.
因为 h' (x) = — 6x
2
+ 6x+ 12=— 6(x— 2)(x+ 1),
当x变化时，h ' (x)和h(x)在[—3,3]上的变化情况如下表：
X
h' (x)

—3 (—3, — 1)
一
单调递
减
—1
0
极 小 值
—7
(—1,2)
+
单调递
增
2
0
极 大 值
20
(2,3)
一
单调递
减

3
h(x) 45 9
易得 h(x)
max
= h( — 3) = 45,故 c> 45.
(1)已知不等式恒成立，求参数 a的范围，例如f(x)>g(x)在x€ D上恒成立，其主
要方法是：
① 构造函数法：将不等式变形为
F (X
)
min
>0.
② 分离参数法：将不等式变为 a>h(x)或a或 amin
.
(2)注意：①恒成立问题常转化为最值问题，要突出转化思想的运用；
②“ f(x)
max
< g(x)
min
”是“ f(X
)
W
g(X
)
”的一个充分不必要条件，分析不等式恒成立时， 要注
a>h(x)
max
f(x) — g(x)>0，构造函数 F(x) = f(x) — g(x)，转化为

1 是直接构造F(x),还是适当变形化简后构造

F(x),对解题的繁简有影响；

意不等号两边的式子中是否是有关联的变量，再采取相应的策略.
1.已知两个函数 f(x)= 7x
2
— 28x— c, g(x)= 2x
3
+ 4x
2
— 40x.若? X
1
€ [ — 3,3], [ — 3,3]
都有
f(x
1
)< g(x
2
)成立，求实数c的取值范围.
GEJ此题与例3不同，例3中不等式两边的式子中均有相同的变化的未知量 x,故可
先移项，直接进行转化；而此题中不等式两边的式子中的 X
i
, X
2
相互独立，则等价于
f(X
i
)
m ax
W
g(X
2
)
min
.
£33 由
？
x
i
€ [—3,3], [ — 3,3],
都有 f(X
i
)
W
g(X
2
)
成立，得 f(x
i
)
max
< g(X
2
)
min
.
因为 f(x) = 7x
2 1 3
— 28x— c= 7(x— 2)
2
— 28 — c,
当 X
i
€ [ — 3,3]时，f(X
i
)
max
= f( — 3) = 147 — c；
g(x)= 2x +
3
4x —
2
40x,
2
g' (x) = 6x + 8x— 40= 2(3x+ 10)(x— 2),
当x变化时，g ' (x)和g(x)在[—3,3]上的变化情况如下表：
X
—3 (-3,2)
2 (2,3) 3

一

g' (x)
0
+
极小值
单调递
g(x) 102
单调递减
—48
增
—30
易得 g(x)
min
= g
(2)

=
—
48

, 故 147— C
W
— 48,即卩 c> 195.
「■I课时小结

1 •利用导数证明不等式 f(x)>g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数 F(x)= f(x)
—g(x)，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明 F(x)>0.
其中要特别关注如下两点：
3 找到F(x)在什么地方可以等于零，往往是解决问题的一个突破口.
2•利用导数解不等式的基本方法是构造函数，寻找一个函数的特殊值，通过研究函数 的单调性，从
而得出不等式的解集.
3•处理已知不等式恒成立求参数范围的问题，要突出转化的思想，将其转化为函数的 最值问题.
已知f(x)>g(x)在x€ D上恒成立，求其中参数 a的范围，其主要方法是：
① 构造函数法：将不等式变形为 f(x) — g(x)>0，构造函数 F(x) = f(x) — g(x)，转化为
F (x)
min
>0・
② 分离参数法：将不等式变为 a>h(x)或
ah(x)
max
或 amin
.