英语等级考试查询-中秋诗会

专题一 ：二次函数之最值问题

线段最值问题
例题
1
：如图
1
，抛物线的顶点
A
的坐标为（
1
，
4
），抛物线与
x
轴相交于
B
、
C
两点，与y
轴交于点
E
（
0
，
3
）．


（
1
）求抛物线的表达式；

（
2< br>）已知点
F
（
0
，﹣
3
），在抛物线的对称轴上是否 存在一点
G
，使得
EG+FG
最小，如果存在，求出点
G
的 坐标；如果不存在，请说明理由．

（
3
）如图
2
，连接
AB
，若点
P
是线段
OE
上的一动点，过点
P
作线段
AB
的垂线，
分别与线段
AB
、抛物线相交于点< br>M
、
N
（点
M
、
N
都在抛物线对称轴的右侧 ），
当
MN
最大时，求△
PON
的面积．



1

练习
1.
如图，抛物线

y=ax
2
−
3
x+2

与
x
轴 交于点
A
和点
B
，与
y
轴交于点
C
，已知 点
B
的坐标为（
3
，
0
）．

1

（
1
）求
a
的值和抛物线的顶点坐标；

（
2
）设
N
是抛物线对称轴上的一个动点，
d=|AN
﹣< br>CN|
．探究：是否存在一点
N
，
使
d
的值最大？若 存在，请直接写出点
N
的坐标和
d
的最大值；若不存在，请
简单说明 理由．













2

练习
2.
如图，直线
y=k x+b
（
k
、
b
为常数）分别 与
x
轴、
y
轴交于点
A
（﹣
4
，
0
）、
B
（
0
，
3
），抛物线
y=
﹣
x
2
+2x+1
与
y
轴交于点
C
．< br>
（Ⅰ）求直线
y=k x+b
的函数解析式；

（Ⅱ）若点
P
（
x
，
y
）是抛物线
y=
﹣
x
2
+2x+1
上的任意一点，设点
P
到直线
AB
的
距离为
d
，求
d
关于
x
的函数解析式，并求
d
取最小值时点
P
的坐标；

（Ⅲ）若点
E
在抛 物线
y=
﹣
x
2
+2x+1
的对称轴上移动，点
F
在直线
AB
上移动，
求
CE+EF
的最小值．












3


周长最值问题
例题
1
：如图，过点
A
（
5
，）的抛物线
y
＝
a
x
2
+bx
的对称轴是
x
＝
2
，点
B是
抛物线与
x
轴的一个交点，点
C
在
y
轴上， 点
D
是抛物线的顶点．

（
1
）求
a
、
b
的值；

（2
）当△
BCD
是直角三角形时，求△
OBC
的面积；

（
3
）设点
P
在直线
OA
下方且在抛物线
y
＝
a
x
2
+bx
上，点
M
、
N
在抛物线的对
称轴上（点
M
在点
N
的上方），且
M N
＝
2
，过点
P
作
y
轴的平行线交直线
O A
于点
Q
，当
PQ
最大时，请直接写出四边形
BQMN的周长最小时点
Q
、
M
、
N
的
坐标．









4

练习
1 .
已知抛物线
y=
﹣
mx
2
+4x+2m
与
x
轴交于点
A
（α，
0
），
B
（β，
0
），
且
α
+
β
=
﹣
2
11

（
1
）求抛物线的解析式
;
（
2
）抛物 线的对称轴为
l
，与
y
轴的交点为
C
，顶点为
D< br>，点
C
关于
l
的对称点
为
E
，是否存在x
轴上的点
M
，
y
轴上的点
N
，使四边形DNME
的周长最小？若
存在，并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．













5

1
，
0
）
练习
2 .
如图（
1
），抛物线

y=ax
2
+bx+c

与
x
轴交于
A< br>（−、
B
（
t
，
0
）
3
），若抛物 线的对称轴为直线
x=1
，

（
t >0
）两点，与
y
轴交于点
C
（
0
，−

（
1
）求抛物线的函数解析式；

（
2
） 若点
D
是抛物线
BC
段上的动点，且点
D
到直线
B C
的距离为

√
2

，求点
D
的坐标

1
），点
P
是 直（
3
）如图（
2
），若直线
y=m x+n
经过点
A
，交
y
轴于点
E
（
0
，−
线
AE
下方抛物线上一点，过点
P
作
x
轴的垂线交直线
AE< br>于点
M
，点
N
在线段
AM
延长线上，且
PM =PN
，是否存在点
P
，使△
PMN
的周长有最大值？若存在，求出点
P
的坐标及△
PMN
的周长的最大值；若不存在，请说明理由．< br>








6


三角形面积最值
例题
1
：如图，已知二次函数
y=ax
2
+bx+c
（
a
≠
0
）的图象 经过
A
（﹣
1
，
0
）、
B
（
4< br>，
0
）、
C
（
0
，
2
）三点．

（
1
）求该二次函数的解析式；

（2
）点
D
是该二次函数图象上的一点，且满足∠
DBA=
∠CAO
，求点
D
的坐标；

（
3
）点
P
是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接
PA
分别交
BC
，
y
轴与点
E
、
F
，若△
PEB
、△
CEF
的面积分别为
S
1
、
S
2

，

求
S
1
﹣
S
2
的最大值．










7

323
练习
1 .
如图，抛物线
y=
√
x
2
﹣

√
x+c
与
y
轴交于点
A
（
0
，﹣

√
3

），与
x
33
轴交于
B
、
C
两点，其对称轴与
x
轴交于点
D
，直线
l
∥
AB
且过点
D
．


（
1
）求
AB
所在直线的函数表达式；

（
2
）请你判断△
ABD
的形状并证明你的结论；

（
3
）点
E
在线段
AD
上运动且与点
A
、
D
不重合

，点
F
在直线
l
上运动

，
∠
B EF=60
°，连接
BF
，求出△
BEF
面积的最小值．












8
且

练习
2 .
如图，在平面直角坐标系中，平行四边形
ABOC
如图放置，将此平行四
< br>抛物线
y=
−x
2
+2x+
边形绕点
O
顺时 针旋转
90
°得到平行四边形
A
′
B
′
OC
′，
3

经过点
A
、
C
、
A
′三点．


（1
）求
A
、
A
′、
C
三点的坐标。

（
2
）求平行四边形
ABOC
和平行四边形
A
′< br>B
′
OC
′重叠部分△
C
′
OD
的面积.
（
3
）点
M
是第一象限内抛物线上的一动点，问点
M
在何处时，△
AMA
′的面
积最大？最大面积是多少？并写出此时
M
的坐标．










9


四边形面积最值
例题
1
：如图，抛物线
y=ax
2
+bx+c
与
x
轴交于点
A
和点
B
（
1
，
0
）， 与
y
轴交于
点
C
（
0
，
3
），其 对称轴
l
为
x=
﹣
1
．


（
1
）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；

（
2
）若动点
P
在第二象限内的抛物线上，动点
N
在对称轴
l
上．

①当
PA
⊥
NA
，且
PA=NA< br>时，求此时点
P
的坐标；

②当四边形
PABC
的面 积最大时，求四边形
PABC
面积最大值及此时点
P
的坐
标．












10

练习
1 .
在平面直角坐标系 中，
O
为原点，直线
y=
﹣
2x
﹣
1
与< br>y
轴交于点
A
，与
直线
y=
﹣
x
交 于点
B
，点
B
关于原点的对称点为点
C
．

（Ⅰ）求过
B
，
C
两点的抛物线
y=ax
2
+b x
﹣
1
解析式；

（Ⅱ）
P
为抛物线上一点，它关于原点的对称点为
Q
．

①当四边形
PBQC
为菱形时，求点
P
的坐标；

②若点
P
的横坐标为
t
（﹣
1
＜
t
＜1
），当
t
为何值时，四边形
最大值是多少？并说明理由．













11
PBQC
面积最大？

练习
2 .
如图，抛物线
y=
2
x
2
+n x
﹣
2< br>与
x
轴交于
A
、
B
两点，与
y
轴交 于点
C
，抛
物线的对称轴交
x
轴于点
D
，已知A
（﹣
1
，
0
）．

1

（
1
）求抛物线的表达式；

（
2
）在抛 物线的对称轴上是否存在点
P
，使△
PCD
是直角三角形？如果存在，
请直接写出点
P
的坐标，如果不存在，请说明理由；

（
3
）点
M
是线段
BC
上的一个动点，过点
M
作x
轴的垂线，与抛物线相交于点
N
，当点
M
移动到什么位置时， 四边形
CDBN
的面积最大？求出四边形
CDBN
的
最大面积及此时
M
点的坐标．










12


三角形最值综合
例题
1
：如图，在直角坐标系中，抛物线经过点
A
（
0
，
4
），
B
（
1
，
0
），
C
（
5
，
0
），其对称轴与
x轴相交于点
M
．


（
1
）求抛物线的解析式和对称轴；

（
2
）在抛物线的对称轴上是否存在一点
P
，使△
PAB
的周长最小？若存在， 请
求出点
P
的坐标；若不存在，请说明理由；

（
3
）连接
AC
，在直线
AC
的下方的抛物线上，是否存在一点
N
，使△
NAC
的面
积最大？若存在，请求出点
N
的坐标 ；若不存在，请说明理由．







13

练习
1 .
如图，抛物线

y=x
2
−ax−3

经过点

A(4

，

5)

，与

x

轴正半轴交
于

B

点，与

y

轴交于

C

点
.

（
1
）求直线

AC

的解析式；

（
2
）设点

P

为直线

AC

下方抛物线上一点，连接

PC

、

PA

，当

△
PAC
面积
最大时，求点

P

的坐标；

（
3
）在
(2)
的条件下，直线

y=x+b

过直线

AC

与

x

轴的交点

D
.
设

BC

的
中点为

F

，

H

是直线

y=x+b

上一点，

E

是直线

PC

上一点，求

△
EHF
周长的最小值
.








14

练习
2 .
如图，已知抛物线
y=ax
2
+bx+c
经过
A
（﹣
3
，
0
），
B
（
1
，
0< br>），
C
（
0
，
3
）
三点，其顶点为
D
，对称轴是直线
l
，
l
与
x
轴交于点
H
．


（
1
）求该抛物线的解析式；
< br>（
2
）若点
P
是该抛物线对称轴
l
上的一个动点，求 △
PBC
周长的最小值；

（
3
）如图（
2
），若
E
是线段
AD
上的一个动点（
E
与A
．
D
不重合），过
E
点
作平行于
y
轴的直线交抛物线于点
F
，交
x
轴于点
G
，设点
E
的横坐标为
m
，△
ADF
的面积为
S
．①求
S
与
m
的函数关系式；

②
S
是否存在最大值？ 若存在，求出最大值及此时点
E
的坐标；

若不存在，请
说明理由．









15


四边形及其他最值综合
例题
1
：如图
1
，抛物线
C
1
：
y=x
2
+ax
与
C
2
：
y=
﹣
x
2
+bx
相交于点
O
、
C
，
C
1
与
C
2
分别交
x
轴于点
B
，
A
，且
B
为线段
AO
的中点．


（
1
）求

b

的值；

（
2
）若
OC
⊥
AC
，求△
OAC
的面 积；

（
3
）抛物线
C
2
的对称轴为l
，顶点为
M
，在（
2
）的条件下：

①点< br>P
为抛物线
C
2
对称轴
l
上一动点，当△
P AC
的周长最小时，求点
P
的坐标；

②如图
2
， 点
E
在抛物线
C
2
上点
O
与点
M
之间运动，四边形
OBCE
的面积是否
存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点< br>E
的坐标；若不存在，请说明理
由．









16
a

练习
1 .
如图，抛物线
y=ax
2< br>﹣
5ax
﹣
4
交
x
轴于
A
，
B
两点（点
A
位于点
B
的左侧），
交
y
轴于点
C
，过点
C
作
CD
∥
AB
，交抛物 线于点
D
，连接
AC
、
AD
，
AD
交y
轴于
点
E
，且
AC=CD
，过点
A
作射线
AF
交
y
轴于点
F
，
AB
平分∠< br>EAF
．


（
1
）此抛物线的对称轴是
______
；解析式是

；

（
2
）若点
P
是抛物线位于第四象限 图象上一动点，求△
APF
面积
S
△
APF
的最大值，以及此时点
P
的坐标；

（
3
）点
M
是线段
AB
上一点（不与点
A
，
B
重合），点N
是线段
AD
上一点（不
与点
A
，
D
重合），则两线段长度之和：
MN+MD
的最小值是
______
．










17

练习
2 .
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y
＝
ax2+bx+c
与
x
轴交于点
A
（﹣< br>2
，
0
），点
B
（
4
，
0
），与
y
轴交于点
C
（
0
，
2
），连接< br>BC
，位于
y
轴右侧且垂
直于
x
轴的动直线
l
，沿
x
轴正方向从
O
运动到
B
（不含
O
点和
B
点），且分别
交抛物线、线段
BC
以及
x< br>轴于点
P
，
D
，
E
，连接
AC
，< br>BC
，
PA
，
PB
，
PC
．

（
1
）求抛物线的表达式；

（
2
）如图
1
，当直线
l
运动时，求使得△
PEA
和△
AOC
相似的点
P
点的横坐标；

（
3
）如图
1
，当直线
1
运动时，求△
PCB
面积的最大值；

（
4
）如图
2
，抛物线的对称轴交
x
轴于点
Q
，过 点
B
作
BG
∥
AC
交
y
轴于点
G
．点
H
、
K
分别在对称轴和
y
轴上运动，连接PH
、
HK
，当△
PCB
的面积最大时，请直
接写出< br>PH+HK+KG
的最小值．




18