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圆中的最值问题
【考题展示】
题1 (2012年武汉中考)在坐标系中， 点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内
一点，且AC=2．设tan ∠BOC=m，则m的取值范围是_________．

题2 (2013年武汉元调)如 图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作
AB
上 的一个动点⊙O，C为半圆弧
»
（不与A、B两点重合），射线AC交⊙O于点E，BC=a
，AC=
b
，求
ab
的最大值.（有修改）

题3 (2013年武汉四调)如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P 为圆O上一动点，以P
为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段 DE长度的最大值为_________．

题4 (2013年武汉五模)在△ABC中，
A120
，
BC6
．若△ABC的内切圆半径为r，则r的最大值为
_________．（有修改）

题5 (2013年武汉中考)如图，E，F是 正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，
连接BE交AG于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是_________．

题1图 题2 图 题3 图


题4图 题5图
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【典题讲练】
类型1（相关题：题5）
1.1 如图，边长为a的等边△ABC的顶点A，B分别在x轴正 半轴和y轴正半轴上运动，则动点C到原点O
的距离的最大值是_________．



1.2 在直角坐标系中，△ABC满足，∠C=90°，AC=8，BC= 6，点A，B分别在x轴、y轴上，当A点从原点
开始在正x轴上运动时，点B随着在正y轴上运动（下 图），求原点O到点C的距离OC的最大值，并确定此
时图形应满足什么条件．




1.3 如图，在平面直角坐标系中，已知等腰直角三角形ABC，∠C=90° ，AC=BC=2，点A、C分别在x轴、y
轴上，当点A从原点开始在x轴的正半轴上运动时，点C在 y轴正半轴上运动．
（1）当A在原点时，求点B的坐标；
（2）当OA=OC时，求原点O到点B的距离OB；
（3）在运动的过程中，求原点O到点B的距离OB的最大值，并说明理由．




1.4 边长为2的等边△ABC的顶点A在x轴的正半轴上移动，顶点B在射线 OD上移动，∠AOD=45°，则顶
点C到原点O的最大距离为_________．
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AB
向B点运动1.5 如图，⊙O 的直径为4，C为⊙O上一个定点，∠ABC=30°，动点P从A点出发沿半圆弧
»
（点P与点C在直径AB的异侧)，当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB 的延
长线于D点．
（1）在点P的运动过程中，线段CD长度的取值范围为_________；
（2）在点P的运动过程中，线段AD长度的最大值为_________．
D
C
A
O
P
B

1.6 如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP
⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，则PM长度的最大值是_________．





1.7 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，A C=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，M为BD的中点，
在D点运动过程中，线段 CM长度的取值范围是_________．
A
D
M
CB



类型2（相关题：题4）
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2.1 如图，已知AB是⊙O的弦，C是⊙O上的一个动点，连接AC、BC，∠C= 60°，⊙O的半径为2，则△ABC
面积的最大值是_________．



2.2 如图，已知直线MN经过⊙O上的点A，点B在MN上，连OB交⊙O于C点，且点 C是OB的中点，AC=OB，
若点P是⊙O上的一个动点，当AB=时，△APC的面积的最大值为_ ________．


2.3 如图，半圆O的半径为1，AC⊥AB，BD⊥A B，且AC=1，BD=3，P是半圆上任意一点，则封闭图形ABDPC面
积的最大值是______ ___．



2.4 已知Rt△ABC中，斜边AB=5，则斜边上的高的最大值为_________．





2.5 如图，若Rt△ABC的斜边AB=2，内切圆的半径为r，则r的最大值为_________．
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2.6 如图，在△ABC中，A B=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点
E，F，则 线段EF长度的最小值是_________．




2.7 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（﹣4，0）、B（0，4），⊙O的半 径为1（O为坐标原点），
点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ 的最小值为_________．



2.8 如图所示，在直角坐 标系中，A点坐标为（﹣3，﹣2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于
点Q，则当P Q最小时，P点的坐标为_________．



类型3（相关题：题3）

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3.1 如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2
别交AB，AC于E，F，连接EF．
，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分
（1）探究线段EF长度为最小值时，点D的位置，请画出图形；
（2）求出该最小值．


3.2 如图，在△ABC中，已知AB=5，BC=8，AC=7，动点P、Q分别在边A B、AC上，使△APQ的外接圆与BC相
切，则线段PQ的最小值等于_________．




类型4（相关题: 题2）
4.1 如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD⊥AB于P，设AP=a，PB=b．
（1）求弦CD的长 ；（2）如果a+b=10，求ab的最大值，并求出此时a，b的值．(参考2.4、2.5）


4.2 如图，半径为2的⊙O有两条互相垂直的弦AB和CD，其交点E到圆心O的距离为 1，则
AB
2
+CD
2
=_________．


4.3 如图，⊙O的半径为2，点P是⊙O内一点，且OP=
ABCD面积的最大值为_________．
，过P作互相垂直的两条弦AC、BD，则四边形
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4.4 如图，以O为圆心，1为半径的圆内有一定点A，过A引互相垂直的弦PQ，RS．求PQ+RS取值范围．


4.5 如图，线段AB=4，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为 边作等边△ACD和等边△BCE，⊙O外接于△CDE，
则⊙O半径的最小值为 .
E
D
O
ACB


4.6 在平面直角坐标 系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过
点P作⊙O的 切线与
x
轴相交于点A，与
y
轴相交于点B，线段AB长度的最小值是 .








类型5（相关题：题1）

5.1 如图，已知A、B两点的坐标分别为(-2，0 )、(0，1)，⊙C的圆心坐标为(0，-1)，半径为1，D是⊙C上
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的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是_________ ．


5.2 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4， 以AC上的一点O为圆心OA为半径作⊙O，若⊙O与边
BC始终有交点（包括B、C两点），则线段A O的取值范围是 .






5.3 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D为AB边上一点，过点D作 CD的垂线交直线BC于点E，
则线段CE长度的最小值是 .





C



5.4 在 坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B是y轴右侧一点，且AB=2，点C上直线y=x+1上一动点，且C B
⊥AB于点B，则
tanACBm
，则
m
的取值范围是 .

B

y


P


O

Ax



5.5 如图，A点的坐标为（- 2，1），以A为圆心的⊙A切x轴于点B，P
(a，b)
为⊙A上的一个动点，请分别探索：①
ba
的最大值；②
ba
的最小值；③
ba
的最大值；④
ba
的最大值；

A
O
C
BA
D
O
EB
y
P
A
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yy
P
A
P
A

【拓展延伸】：①
b2a
的范围；②
b2a
的范围；




类型6
6.1 如图，CD是⊙O的直径，点A是半圆上的 三等分点，B是弧AD的中点，P点为直线CD上的一个动点，
当CD=4时，
求：（1）AP+BP的最小值．
（2）AP﹣BP的最大值．


6.2 如图，已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80°，弧BD的度数为20°， 点P为直径AB
上任一点，则PC+PD的最小值为_________．


6.3 如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN 于点E，CD⊥MN于
点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为_________．

6.4 如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60° ．若动点E以2cms的速度从A
点出发沿着A→B方向运动，设运动时间为t（s），连接EF、CE ，当t为_________秒时，CE+EF最小，其最
小值是_________．
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6.5 四边形ABCD内接于圆，已知∠ADC=90°，CD=4，AC=8，AB=BC．设O是AC的中点．
（1）设P是AB上的动点，求OP+PC的最小值；
（2）设Q，R分别是AB，AD上的动点，求△CQR的周长的最小值．


补充练习（与例题类型不完全对应）
1. 如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥ l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延
长线交直线l于点C， 若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，则⊙O的半径r的取值范
围为____ _____．








2．已知：如图，RtΔABC中，∠B=90º，∠A=30º，BC=6cm，点O从A点出发，沿AB以 每秒
3
cm的速度向B
点方向运动，当点O运动了t秒(t＞0)时，以O点为圆心的 圆与边AC相切于点D，与边AB相交于E、F两
点，过E作EG⊥DE交射线BC于G.
（1）若点G在线段BC上，则t的取值范围是_________．

（2）若点G在线段BC的延长线上，则t的取值范围是_________．



C
C

D

G

A

BE
F
A
B
O

3．如图，⊙M，⊙N的半径分别 为2cm，4cm，圆心距MN=10cm．P为⊙M上的任意一点，Q为⊙N上的任意一点，
直线PQ 与连心线
l
所夹的锐角度数为

，当P、Q在两圆上任意运动时，
t an

的最大值为_________．

Q
P
M
N
l
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4．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O 为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径 作⊙D，P为⊙D上的一
个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为_________．

P

A
D


O


B
C

5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6， 经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、
Q，则线段PQ长度的最小值是____ _____．

C

P

Q


DB

A

6．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC =BC=4，D是AB的中点，点E在AB边上运动（点E不与点A重合），
过A、D、E三点作⊙O， ⊙O交AC于另一点F，在此运动变化的过程中，
线段EF长度的最小值为
_________．

F


E
O

B

DC



7．如图，A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C的圆心的坐标为(-1，0)，半径为1，若 D是⊙C上的
一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是_________．








8．如图，等 腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C的半径为1，点P在斜边AB上，PQ切⊙O于点 Q，则
切线长PQ长度的最小值为_________．

A
A
P
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Q

9．在直角坐标系中，点A的坐标为 （3，0），点P（
m，n
）是第一象限内一点，且AB=2，则
mn
的范 围为
_________．

y

P



O
Ax


10．在平面直角坐标系中，M（3，4）， P是以M为圆心，2为半径的⊙M上一动点，A（-1，0）、B（1，0），连
22
接PA、 PB，则PA+PB最大值是_________．









11. 如图所示，AC⊥AB，AB=6，AC=4，点 D是以AB为直径的半圆O上一动点，DE⊥CD交直线AB于点E，设∠
DAB=

，（0°＜

＜90°）．若要使点E在线段OA上（包括O、A两点），则
tan< br>
的取值范围为_________．





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