等积变形的策略
浙江省艺术职业学院-端午节的来历
等积变形的策略
Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998
等积变形的策略
作者：山东省莱州市实验中学 张延芳
在中考数学中我们经常会遇到求阴影部分的面积的题目
，它们的形状多数
不规则，这时就会用到等积变形下面是等积变形的几种的常用策略
一、平移
例：从大半圆中剪去一个小半圆（小半圆的直径在大半圆的直径MN上）
点O为大半圆的圆心，
AB是大半圆的弦，且与小半圆相切，AB‖ MN。已知
AB=24cm，求阴影部分的面积。
?
?
分析：由于只知道了弦AB的长，所以就不可能直接求出阴影部分的面积，
此时因为AB‖ M
N，两条平行线间的距离保持不变，所以可以通过平移小半
圆，使小半圆的圆心与大半圆的圆心重合，然
后作OC⊥ AB，垂足为点C，连
接OB，利用Rt △OCB就很容易得出正确答案。具体过程为：
?
解：设大半圆与小半圆的半径分别为R、r
，平移小半圆，使小半圆的圆心
与大半圆的圆心重合，作OC⊥ AB，垂足为点C，则
AC=BC =12cm .连接OB，在Rt
△OCB中，R
2
-r
2
=12
2.
所以S阴影
=п（R
2
-r
2
）2=72п（cm
2
）
?
例2:：如图，AB是以点O为圆心的半圆的直径，C，D是弧A
B的三等分
点，点E是线段AB上的任意一点，已知圆O的半径为1，求图中阴影部分的
面积.
?
?
分析：这个题目中的阴影部分的面积也是不规则的，但是因为C，
D是弧
AB的三等分点，连结CD、OC、OD后，很容易得到AB‖CD，在弓形面积不
变的
情况下点E在向点O平移的过程中△ECD形状改变，但面积不变，所以阴
影部分的面积就等于半圆面积
减掉60度扇形的面积即等于120度扇形的面积。
二、旋转
例：矩形ABCD中，BC=
2，DC=4，以AB为直径的半圆O与DC相切于
点E，求阴影部分的面积
?
?
分析：见切点连圆心，连接OE交DB于点F，△DEF与△ DBF全等，△
D
EF以点F为旋转中心顺时针或逆时针旋转可使两个三角形重合，阴影部分的
面积等于四分之一的圆的面
积
三、对称
?
例：在每个小格边长为1的
方格纸上利用圆规作出如图所示的图形，图中
的阴影部分的面积是多少
?
分析：左侧的阴影部分与右侧的空白部分相对应，所以阴影部分可以通过
折叠组合成两个半圆环和一个
半圆，结果不难得出。
?
四、拆分与组合
?
例：如图，两个半径为1，圆心角是90度 的扇形OAB和扇形O`A`B`叠放
在一起，点
O`在弧AB上，四边形OPO`Q是正方形，则阴影部分的面积等于
多少
?
分析：如图拼凑，阴影部分的面积实际等于半圆的面积减去两个正方形的
面积
?
例：2008年奥运会将在北京举行，你们知道吗国际奥委会会旗
上的图案是
由代表五大洲的五个圆环组成，每个圆环的内外圆直径分别是8和10，图中两
两相
交成的小曲边形（闪烁部分）的面积相等，已知五个圆环覆盖的面积是平
方单位，请你计算出每个小曲边
形的面积（п取）
?
?
分析：只要明确出“五个圆环覆盖的面积”与
独立的五个圆环所占面积之间的
区别，就会得到每一个小曲边形的面积实际是独立的五个圆环所占的面积
减去
“五个圆环覆盖的面积”后结果的八分之一
?
中考的题目千变万化但是在求阴
影部分的面积的题目中万变不离其中只要
同学们注意观察抓住要素，运用相应的策略，图形就会变得规则
，题目就会变
得简单。