国际爱耳日-初三语文教学计划

等积变形问题
【例1】要锻造一个直径为 100毫米，高为80毫米的圆柱形毛坯，
应截取直径为160毫米的圆钢多长？
分析： 需要直径为100mm、高为80mm的圆柱，用直径为160mm的
圆钢锻造，在锻造过程中，圆柱的 直径、高都变了，没有变化的是圆柱的
体积．因此本题的相等关系是
锻造前的圆柱体积=锻造后的圆柱体积．
[解]


根据题意，得

80
2
x=50
2
×80
80x=2500
x=31.25
答：应截取的圆钢长为31.25毫米．
[说明]
1．等积类应用题的基本关系式是：
变形前的体积=变形后的体积．
2．有关圆柱、圆锥、球等体积变换问题中，经常给的条 件是直径，
而公式中用的是半径，不注意这一点就会犯错误．
【例2】 有一个底面半径 为5cm的圆柱形储油器，油中浸有钢珠，
若从中捞出546π克钢珠．问液面将下降多少厘米？(1c m
3
钢珠重7.8克)
[分析]

设液面下降xcm，列表：


等量关系：液面下降后减少的体积=钢珠的体积
[解]设液面下降x厘米，依题意得

方程两边同除以π，得
70=25x
x=2.8
答：圆柱形储油器内液面下降2.8cm．
[说明]
当方程两边的每一项中都含有圆周率π时，一般采用在等号两边同除
以π将方程化简的方法，而不用以π的近似数代入计算的苯方法．
【例3】 一圆柱形水桶，它的 高和底面直径都是22厘米，盛满水后
把水倒入底面长、宽分别是30厘米和20厘米的长方体容器．问 这个长方
体容器的高至少要多少厘米？
(π取3.14，结果精确到0.1)．
[分析]本题是等积问题，其等量关系：圆柱的体积=长方体的体积．这
类问题也可用列表 来分析前后变化的体积关系．
[解]设这个长方体容器的高至少要x厘米．
依题意，得

答：这个长方体容器的高至少要13.9厘米．

【例4】 现有一条直径为12cm的圆柱形铅柱，若铸造12只直径为
12cm的铅球，问应截取多长 的铅柱？(损耗不计)
[分析]此类题是等积变形问题．解等积变形的应用题．一般利用几何变形前后的体积相等的等量关系来列出方程．如果设变形前的圆柱形铅柱
长为xcm，则可依据如下 的等量关系列出方程：
变形前的xcm长的圆柱形的体积=变形后12个直径为12cm的球的体
积．
[解]设应截取的圆柱形铅柱长为xcm，由题意列方程：

答：应截取的铅圆柱长为96cm．
[说明]半径为R的球的体积公式是：

【例5】 要铸造一个零件毛坯，其上部是底面直径为6cm，高是2cm
的圆锥体；下部是直径和高度 都是6cm的圆柱体．问需要熔解多长截面
边长为4cm的正方形钢锭？(精确到1cm)

[分析]这个问题涉及到三个几何体，成品中的圆锥体、圆柱体和原料
中的长方体．解题的 关键是正确表示出三个几何体的体积．
等量关系是：组合体的体积=长方体的体积．
[解]设需要该种钢锭xcm，那么

钢锭的体积为：4
2
·x；
由题意可得：

∴ x≈12(cm)
答：需要该种钢锭12cm．

[说明]等体积变形问题往往用到一些体积公式，要注意复习这些公
式．
底圆半径为r，高为h的