返乡证-仓库年终总结

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三角形的等积变形（一）
李允
林卉 二校 张琦锋 审核 张舒


这节课，我们一起来学习三角形的等积变形，它是几何问题中在求直线型面积时，很重
要的一个部分，下面我们就来研究一下三角形的面积与它的底和高三者之间的关系。


三角形面积的计算公式：
S＝底×高÷2
三角形面积、底和高之间的关系：
从公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。
如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；
如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；
①当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化。
②当三角形的底和高同时 发生变化时，三角形的面积不一定变化。一个三角形的面积变
化与否取决于它的底和高的乘积，而不仅仅 取决于底或高的变化。
③一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状。
重要结论：
①等底等高的两个三角形面积相等。
②若两个三角形的高相等，其中一 个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角
形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
③若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角
形的面积也是另一 个三角形面积的几倍。


例1 如图，在△ABC中，D是BC边上一点，BD＝12厘米，DC＝4厘米。
（1）求△ABC的面积是△ABD面积的多少倍；
（2）求△ABD的面积是△ADC面积的多少倍。

分析与解：因为△ABD、△ABC和△ADC分别以BD、BC和DC为底时，它们的高都


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是过A点向BC边上 所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。因为，12＋4＝16，16÷12
＝
444，所以△ABC的底是△ABD的底的倍，所以，△ABC的面积是△ABD面积的倍；
333同理，因为12÷4＝3，所以△ABD的面积是△ADC面积的3倍。
巩固理解结论：两个三角形等高时，面积的倍数＝底边长的倍数。


例2 如图，E在AD上，AD垂直于BC， AD＝12厘米，DE＝3厘米。求△ABC的面
积是△EBC面积的几倍。

分析 与解：因为AD垂直于BC，所以当BC为△ABC和△EBC的底时，AD是△ABC
的高，ED是△ EBC的高。于是：
△ABC的面积＝BC×12÷2 ＝ BC×6；
△EBC的面积＝BC×3÷2 ＝ BC×1.5。
所以△ABC的面积是△EBC的面积的4倍。
巩固理解结论：两个三角形等底时， 面积的倍数＝高的倍数。


例3 如图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点为O，求证：△AOB与△COD
面积相等。

分析与解：∵△ABC与△DBC等底等高，
∴
S
△ABC
＝
S
△DBC
。
又∵ < br>S
△AOB
＝
S
△ABC
－
S
△BOC，

S
△DOC
＝
S
△DBC
—S
△BOC
，
∴
S
△AOB
＝
S
△COD
。

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例4 如图，△ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点。求△DEF
的面积。
分析与解：∵D是BC的中点，
∴△ADC的面积是△ABC面积的一半，即24÷2＝12。
∵E是AC的中点，
∴△ADE的面积是△ADC面积的一半，即12÷2＝6。
∵F是AD的中点，
∴△DEF的面积是△ADE面积的一半，即△DEF的面积＝6÷2＝3。


例5 如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF＝2CF，△AFE（图中
阴影部分）的面积为8平方厘米。则平行四边形ABCD的面积是多少平方厘米？

分析与解：连结FB。
因为AF＝2CF，所以△AFB的面积是△CFB的面积的2倍。
又因为E为AB的中点，所以△AFB的面积是△AEF的面积的2倍。
所以△ABC的面积是△AEF的面积的3倍。
又因为平行四边形ABCD的面积是△ABC的面积的2倍，
所以平行四边形ABCD的面积是△AFE的面积的3×2＝6倍。
因此，平行四边形ABCD的面积为8×6＝48（平方厘米）。

（答题时间：30分钟）
1. 用两种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形。
2. 如图，在长方形ABCD中，AD为8厘米，AB为3厘米。请问：阴影部分的面积是多
少平方厘米？

3.
如图，在
△ABC
中，
D
、
E< br>、
F
分别是
BC
、
AD
、
BE
的三 等分点，已知
S
ABC
＝
27
平方
厘米，求
S< br>DEF
。


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4. 如图所示，梯形ABCD的上底AD长为5厘米，下底BC 长为12厘米，腰CD的长为
8厘米，过B点作CD的垂线BE，BE的长为9厘米。那么梯形ABCD 的面积是多少？

5. 如图所示，正方形ABCD的边长为10，三角形BEF的面积为30。那么BF的长度为
多少？





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1. 解：解法一：如图（1），将BC边四等分，连接A与各等 分点，则△ABD、△ADE、△AEF、
△AFC的面积相等。
解法二：如图（2），D是 BC的二等分点，E、F分别是AC、AB的中点，从而得到四
个等积三角形△ADF、△BDF、△D CE、△ADE。
解法三：如图（3），D是BC的四等分点，E、F是AD的三等分点，从而得到△ ABD、
△AEC、△ECF、△FCD的面积相等。

2. 解：可以通过等积变 形把三个阴影三角形变成长方形的一半，所以阴影部分的面积为
8×3÷2＝12（平方厘米）。
3. 解：因为D为BC边的三等分点，所以
S
△ADC

1
S
△ABC
＝9平方厘米。同理
S
△ABE
＝
3
11
S
△ABD
＝6平方厘米，
S
△BDF
＝
S
△BDE
＝4平方厘米，所以
S
△DEF
＝27－9－6－4＝8< br>33
平方厘米。
4. 解：连接BD，作出梯形的一条高DF。三角形BCD以CD为 底、BE为高，面积为8×9÷2
＝36（平方厘米）；也可以看做以BC为底、DF为高，由BC＝1 2厘米可知DF为36×2÷12
＝6（厘米）。在梯形ABCD中，上底为5厘米，下底为12厘米， 高为6厘米，面积为（5
＋12）×6÷2＝51（平方厘米）。
5. 解：三角形ABE中 以AB为底，相应的高与正方形的边长相等，即为10，所以三角形
ABE的面积为10×10÷2＝5 0。三角形ABF的面积为50－30＝20。在三角形ABF中以AB为
底，由面积反求出高BF为2 0×2÷10＝4。


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