四年级奥数讲义：三角形的等积变形
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四年级奥数讲义:三角形的等积变形
我们已经掌握了三角形面积的计算公式:
三角形面积=底×高÷2
这个公式告诉我
们:三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不
变，高越大（小），三角形面积
也就越大（小）．同样若三角形的高不变，底越大（小），三角
形面积也就越大（小）．这说明；当三角
形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生
变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三
角形的面积不一定变化．比如当高变为原
来
角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘
积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告
诉我们:一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多
个不同的形状．本讲即研究面积相
同的三角形的各种形状以及它们之间的关系．
为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论:
①等底等高的两个三角形面积相等．
②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，
这
两个三角形面积相等．
③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个
三角形的几
倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．
，它们所对的顶点同为A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相
等．
同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍．
例如在右图中，
△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），它所对的两个顶点A、
D在与底BC平行的直线上
，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相
等．
例如右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），△ABC的高是△DBC高<
br>的2倍（D是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE），则△ABC的面积是△DBC面积的2
倍．
上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据．
例1
用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．
方法2:如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与
△ADC等积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以而得到四个等积三角形，即△
A
DF、△BDF、△DCE、△ADE等积．
例2
用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1∶3∶
4．
方法 1:如下左图，将BC边八等分，取1∶3∶4的分点D、E，连结AD、AE，从而得到
△AB
D、△ADE、△AEC的面积比为1∶3∶4．
DE，从而得到三个三角形:△ADE、△BDE、△ACD．其面积比为1∶3∶4．
当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决．
例3
如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证:△AOB与△COD面积
相等．
证明:∵△ABC与△DBC等底等高，
∴S△ABC=S△DBC
又∵ S△AOB=S△ABC—S△BOC
S△DOC=S△DBC—S△BOC
∴S△AOB=S△COD．
例4
如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．
分析
本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面
积相等．我们可以利用
三角形等积变形的方法，如右图，
把顶点A移到CB的
延长线上的A′处，△A′BD与△ABD面积相等，从而△A′DC
面积与原四边形ABCD面积也相
等．这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形△A′DC．问
题是A′位置的选择是依据三角形等积
变形原则．过A作一条和DB平行的直线与CB的延长
线交于A′点．
解:①连结BD；
②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A′．
③连结A′D，则△A′CD与四边形ABCD等积．
例5 如右图，已知在△ABC中，BE=3A
E，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三
角形ABC的面积．
解法1:连结BD，在△ABD中
∵ BE=3AE，
∴
S△ABD=4S△ADE=4（平方厘米）．
在△ABC中，∵CD=2AD，
∴ S△ABC=3S△ABD=3×4=12（平方厘米）．
解法2:连结CE，如右图所示，在△ACE中，
∵ CD=2AD，
∴ S△ACE=3S△ADE=3（平方厘米）．
在△ABC中，∵BE=3AE
∴ S△ABC=4S△ACE
=4×3=12（平方厘米）．
例6
如下页图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=
解:连结BG，在△ABG中，
∴ S△ADG+S△BDE+S△CFG
例7 如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，
如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角
形CDF的面积．
解:连结AF、C
E，∴S△ADE=S△ACE；S△CDF=S△ACF；又∵AC与EF平行，∴S△
ACE=S△
ACF；
∴ S△ADE=S△CDF=4（平方厘米）．
例8 如右图，四边形AB
CD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH
的面积．
解:连结BD，将四边形ABCD分成两个部分S1与S2．连结FD，有S△FBD=S△DBC=S1
所以S△CGF=S△DFC=2S1．
同理 S△AEH=2S2，
因此S△AEH+S△CGF=2S1+2S2=2（S1+S2）=2×1=2．
同理，连结A
C之后，可求出S△HGD+S△EBF=2所以四边形EFGH的面积为2+2+1=5
（平方单位）
．
例9 如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S△ADE
=1，
求△BEF的面积．
解:连结AC，∵ABCD，∴S△ADE=S△ACE
又∵ADBC，∴S△ACF=S△ABF
而
S△ACF=S△ACE+S△AEF∶S△ABF=S△BEF+S△AEF
∴
S△ACE=S△BEF ∴S△BEF=S△ADE=1．
习题十三
一、选择题（有且只有一个正确答案）:
1．如下左图，在△ABC
中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE，那么与
△ABE等积的三角形一共有______
个．
（A）0个 （B）1个
（C）2个 （D）3个
2．如上右图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么
与△BEC等积的三角形一共有______个．
（A）0个 （B）1个
（C）2个 （D）3个
3．如下左图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有______
对．
（A）0对 （B）1对
（C）2对 （D）3对
4．如上右图，是一个长方形花坛，阴影部分是草地，空地是四块同样的菱形，那么
草地与
空地面积之比是______．
（A）1∶1 （B）1∶1.1
（C）1∶1.2 （D）1∶1.4
5．如右图，长方形AEGK四周上共有12个点，相邻两
点的距离都是1厘米，以这
些点为顶点构成的三角形面积是3平方厘米的共有______个．
（A） 24个 （B）
25个
（C） 26个 （D） 27个
二、填空题:
1．如下左图，A、B两点是长方形长和宽的中点，那么阴影部分面积占长方形面积
的______．
2．如上右图，平行四边形ABCD的面积是40平方厘米，图中阴影部分的面积是______．
3．如下左图，正方形ABCD的面积为1平方厘米，S△BEG∶S△CEG=2∶1，S△
CFG∶
S△DFG=1∶1，那么这四个小三角形面积之和______．
4．如上右图，在△ABC中，EF平行BC，AB=3AE，那么三角形甲、乙、丙面积的
连比是__
____．
三、解答题:
1．如下左图，D、E、F分别是BC、AD、BE的三等分
点，已知S△ABC=27平方
厘米，求S△DEF．
2．如下左图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AC、BC的三等分点，且SABCD=5
4
平方厘米，求S△BEF．
3．如上页右图，将四边形ABCD各边都延长一倍至
A'、B'、C'、D'．连接这些点得
到一个新的四边形 A' B' C'
D'．如果四边形ABCD的面积是1，求四边形A'B'C'D'的面积．
4．如右图，在四边
形ABCD中，对角线AC、BD交于E，且AF=CE，BG=DE，如
果四边形ABCD的面积是1
，求△EFG的面积？