工程项目经理-河北省会计考试题库

第三讲多边形的面积（等积变形）

知识概述

三角形面积的 公式是底×高÷2，两个三角形只要是底和高分别相等，它们的面积就相
等，而这两个三角形的形状不一 定完全相同，例如，下面的两个三角形面积就是相等的。

在解答一些平面图形的面积时，我们 可以2等底等高两个三角形面积相等的方法来解
答。

例题精学

例1 四边形ABCD中，M为AB的中点，N为CD的中点，如果四边形ABCD的面积时80平方< br>厘米，求阴影部分的面积时多少平方厘米。

思路点拨图中阴影部分BNDM是一个不规 则的四边形，不能直
它的面积。如果用一条对角线BD将四边形ABCD分成两个三
（如右图所 示）。在△ABD和△BDC中，由于M，N分别是AB，
接求出
角形。
CD的中点，根据等底等高三角形面积相等的道理， 可知 S
△AMD
=S
△MBD，Ｓ
△ＤＮＢ
＝Ｓ
△ＣＮＢ
。所以阴
影部分的面积与空白部分的 两个三角形的面积之和相等。

同步精练

１. 如图，六边形ＡＢＣＤＥＦ 的面积时１６平方厘米，
Ｐ，Ｑ分别是ＡＢ，ＣＤ，ＤＥ，ＡＦ，的中点，求
影部分的面积。< br>
Ｍ，Ｎ，
图中阴

２. 如图，平行四边形的面积为５０平方厘米，Ｐ是期中任意
一点，求阴影面积

３. 如 图，正方形的边长是６厘米，Ｅ，H是所在边的二等分点，F，G，
L，M是所在边的三等分点，求阴影 部分的面积和。

例2 如下图，三角形ABC为等边三角形，D为AB边上的中点。
已知三角形BDF的面积为5平方厘米。求等边三角形ABC
的面积。

思路点拨我们 在三角形ABC的AC边上取中点F，BC边上取中点
G，然后连接DF，FG，GD（如右图）。
我们看到，三角形ADF，BDG，FGC，GFD为四个完全一样的
等边三角形。因为 DE为△DBG底BG上的高，所以S
△DBE
=Ｓ
△ＤＧＥ
。由此，
我们可以想到三角形ＡＢＣ的面积是三角形ＤＢＥ面积的８倍

同步精练

１. 如图，平行四边形ＡＢＣＤ中，ＡＥ＝ＥＦ＝ＦＢ，Ａ
Ｇ＝２ＣＧ，三角形ＧＥＦ的面积 是６平方厘米，平行
四边形的面积时多少平方厘米？

２. 如图，已知长方形ＡＢＣ Ｄ，三角形ＡＢＧ的面积为２
０平方厘米，三角形ＣＤＱ的面积为３５平方厘米，求
阴影部分的 面积时多少平方厘米？

３. 如图，在一个等边三角形中任意取一点Ｐ，连接 ＰＡ，ＰＢ，ＰＣ，
过Ｐ点作三角形三边的垂线，Ｅ，Ｆ，Ｇ分别为垂足。三角形ＡＢＣ
被分成 ６个三角形。已知三角形ＡＢＣ的面积为４０平方厘米，求图
中阴影部分的面积。

例３ 下图中正方形ＡＢＣＤ的边长是４厘米，长方形ＤＥＦＧ
的长ＤＧ＝５厘米，问长方形的 宽ＤＥ为多少厘米？

思路点拨 因为长方形面积＝长×宽，现在已知长方形ＤＥＦＧ
的长 ＤＧ是５厘米，要求宽ＤＥ的长度，就要求出 长方形ＤＥ
ＦＧ的面积。而正方形的面积可以求出，长方形的面积与正方形
的面积有什么关系呢 ？

观察长方形和正方形的重叠部分可以发现，如果连接ＡＧ，则三角形
ＡＧＤ的面积 既是正方形面积的一半，也是长方形面积的一半，这样就
可以说明正方形的面积和长方形的面积相等。< br>
同步精练

１. 如图，两个相同的直角三角形叠放在一起，求阴影部
分的面积。（单位：分米）

２. 如图，ＡＢＣＤ为长方形，ＡＢ＝１０厘米，ＢＣ＝
６厘米，Ｅ，Ｆ分别为ＡＢ，ＡＤ的中点，且ＦＧ＝ ２
ＧＥ。求阴影部分的面积。

３. 如图，ＡＢＣＤ是直角梯形，其 中ＡＤ＝１２厘米，
ＡＢ＝８厘米，ＢＣ＝１５厘米，且三角形ＡＤＥ、四
边形DEBF及三角 形CDF的面积相等，三角形EBF（阴
影部分）的面积是多少平方厘米？

例3 下图是两个正方形拼成的图形，其中小正方形的边长是
4厘米，求阴影部分的面积。

思路点拨在上一讲我们曾经做过已知大、小两个正方形的边长再求图中
阴影部分面积的题目。而现在只知 道小正方形的边长，又该如何求阴影
部分的面积呢？

如上图，我们可以连接AC，S
△AGC
=GC×AB÷2，S
△
ACE
=CE×AD÷2，GC和 CE都是小正方形的边长，AB和AD都是
大正方形的边长，所以S
△AGC
=S△ACE
。而这两个三角形分别去掉
它们的共同部分（△ACH），则它们剩下的部分也应 相等，即S
△AGH
=S
△CEH
。
这样原图中阴影部分就可以转化 为△GCE的面积，而S
△GCE
等于小正方形
面积的一半。

同步精练

１. 如果下图中大正方形的边长是6分米，求阴影部分的面
积。

２. 如 图，AD=2AB，CF=3AC，BE=4BC，已知△ABC的面积为5
平方厘米，求△DEF的面 积。

1
３. 如图，AE=ED，AF=
2
FC，已知△ABC的 面积为90平方厘
米，求阴影部分的面积。

练习卷

1.如图，在 平行四边形ABCD中，EF与AC平行，如果三
角形BFC的面积是35平方厘米，那么三角形AEB 的面积
能不能确定？如果能，它的面积是多少？

2.在三角形ABC中，AD垂直于 BC，CE垂直于AB，AD=8
厘米，CE=7厘米，AB+BC=21厘米，求三角形ABC的面积 。

3.如图，AB=6厘米，BC=4厘米，AC=2CD，BE=BD，求三
角形 ADE的面积。

4.如图，三角形ABC的面积是30平方厘米，D是BC的
中点， AE的长是ED的2倍，求三角形CDE的面积。

5.三角形ABC的面积是180平方厘米 ，D是BC的中点，
AD的长是AE长的3倍，EF的长是BF的3倍，求三角形
AEF的面积 。

6.下图中，正方形ABCD的边长是12厘米，P是AB边上任意
一点，M,N,I,H分别是BC，AD的三等分点，E,F,G是CD的
四等分点，求图中阴影部分 的面积。

7.正三角形ABC的边长为12厘米，BD，DE，EF，FG四条线
段 把它的面积5等分，求AF，FD，DC，AG，GE，EB的长。

8.下图中，BD=2D C，AE=BE，已知三角形ABC的面积
是18平方厘米，求四边形AEDC的面积等于多少平方厘米。