8.如图，三角形
ABC
的面积是
1
，
E
是
AC
的中点，点
D
在
BC
上，且
BD:DC1:2
，
AD
与
BE
交于点
F
．则四边形
DFEC
的面积等于 ．
A
E
B
D
F
C



9.如图，长方形
ABCD
的面积是
2
平方厘米，
EC2 DE
，
F
是
DG
的中点．阴影部分的面
积是多少平方厘米?
A
F
B
G
D
E
C
A
x
F
y
x
y
G
D
E
C

10.四边形
ABCD
的对角线
AC
与
BD
交于点
O
( 如图所示)．如果三角形
ABD
的面积等于三
1
角形
BCD
的面积的，且
AO2
，
DO3
，那么
CO
的长度是DO
的长度的_________倍．
3

B
A
O
B
D


C

C
11.如图，平行四边形
ABCD
的对角 线交于
O
点，
△CEF
、
△OEF
、
△ODF、
△BOE
的面
积依次是2、4、4和6．求：⑴求
△OCF
的 面积；⑵求
△GCE
的面积．
A
O
G
B
E
C
D
F

1 2.如图，长方形
ABCD
中，
BE:EC2:3
，
DF:FC 1:2
，三角形
DFG
的面积为
2
平方
厘米，求长方形ABCD
的面积．

A
G
D
F
C

A
G
D
F
C

B
E
B
E

13.如图，正方形
A BCD
面积为
3
平方厘米，
M
是
AD
边上的中点． 求图中阴影部分的面积．
B
C
G
A
D

M

14.在下图的正方形
ABCD
中，
E
是BC
边的中点，
AE
与
BD
相交于
F
点，三角 形
BEF
的
面积为1平方厘米，那么正方形
ABCD
面积是 平方厘米．
A
D
F
B
E
C

15.已知
ABCD
是平行四边形，
BC:CE3:2
，三角形
ODE
的面积为6平方厘米．则阴影
部分的面积是 平方厘米．
A
O
D
A
O
D
B

C
E
B
C
E


1.右图中
AB CD
是梯形，
ABED
是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，
阴影部分的面积是 平方厘米．
A
9
21
4
B

D
A
9
21
O
4
C

D
E
B
E
C

2.右图中
ABCD
是梯形，
ABED
是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米 )，
阴影部分的面积是 平方厘米．
A
8
16
2< br>B
E
D
A
8
16
C
B
O
2
E
D
C


3.如图，长方形
ABCD
被
CE
、
DF
分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘
米，那么余下的四边形
OFBC
的面积为___________平方厘米．
AE< br>2
5
O
8
D
F
?
BAE
2
5
O
8
F
?
B
C

D
C


4.如图，
ABC
是等腰直角三角形，
DEFG
是正方形，线段
AB
与
CD
相交于
K点．已知正
方形
DEFG
的面积48，
AK:KB1:3
，则
BKD
的面积是多少？
D
K
B
E
A
G
D
K
A
G
F
C
B
E
M
F
C


5.下图中，四边形
ABCD
都是边长为1的正方形 ，
E
、
F
、
G
、
H
分别是
AB< br>，
BC
，
CD
，
m
DA
的中点，如果左图中 阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数，那么，
n
(mn)
的值等于 ．
A
H
D
A
H
D
E
G
E
G
B
F
C

B
F
C

1.用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．

2.用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1∶3∶4．

3.如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与△CO D面积相等．



4.如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．


5.如右图， 已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC
的 面积．


6.如下页图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=E F=FC=
面积的几分之几？
1
BC，求阴影部分面积占三角形ABC
3


7.如右图 ，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF
的面积．

8.如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=B F，DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积．


9.如右图，在平行 四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S△ADE=1，求
△BEF的面积．

第三讲 等积变形







1.等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
如图
S
1
:S
2
a:b


③夹在一组平行线之间的等积变形，如图
S
△ACD

S
△BCD
；
反之，如果
S
△ACD
S△BCD
，则可知直线
AB
平行于
CD
．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比 等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于
它们的高之比．
2.鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
如图在
△A BC
中，
D,E
分别是
AB,AC
上的点如图 ⑴(或
D< br>在
BA
的延长线上，
E
在
AC
上)，

则
S
△ABC
:S
△ADE
(ABAC):(ADA E)


3.蝶形定理
任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：
①
S
1
:S
2
S
4
:S
3
或者
S
1
S
3
S
2
S
4
②
AO:OC

S
1
S
2

:

S
4
S
3< br>

蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一 方面可
以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对
应的对角线的比例关系．
D
A
S
2
B
S
1O
S
3

梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：
①
S
1
:S
3
a
2
:b
2

②< br>S
1
:S
3
:S
2
:S
4
a2
:b
2
:ab:ab
；
③
S
的对应份数为

ab

．
2
S
4
C

4.相似模型
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型

A
E
A
F
D
D
B
①
F
G
E
C

BG
C

ADAEDEAF
；

ABACB CAG
22
②
S
△ADE
：S
△ABC
AF:A G
．
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎 样
改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．
在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．
5.共边定理（燕尾模型和风筝模型）
共边定理：若直线AO和BC相交于D（有四种情形） ，则有
S
ABO
:S
ACO
BD:DC



在三角形
ABC
中，
AD< br>，
BE
，
CF
相交于同一点
O
，那么
SABO
:S
ACO
BD:DC
．
上述定理给出了一个新 的转化面积比与线段比的手段，因为
ABO
和
ACO
的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的
特殊性在 于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提
供互相联系的途径.
A
E
O
B

F
D
C

1.了解三角形的底、高与面积的关系，会通过分析以上关系解题。
2.能在解题中发现题目中所涉及的几何模型。



例1：如图 ，正方形
ABCD
的边长为6，
AE
1.5，
CF
2． 长方形
EFGH
的面积为 ．

分析：连 接
DE，DF，
则长方形
EFGH
的面积是三角形
DEF
面 积的二倍．
三角形
DEF
的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，
S
△DEF
661.5622624.54216.5
,
所以长方形
EFGH
面积为33．



例2：长方形
ABCD
的面积为36
cm
2< br>，
E
、
F
、
G
为各边中点，
H
为< br>AD
边上任意一点，
问阴影部分面积是多少？
A
HD
E
G

分析：解法一：寻找可利用的条件，连接
BH
、
HC
，如下图： < br>F
B
C

A
HD
E
G
B
可得：
S
EHB

11
1
S
AHB
、
S
FHB
S
CHB
、
S
DHG
S
DHC
，
22
2
11
(S
AHB
S
CHB
S
CHD
)3618
；
22

F
C

而
S
AB CD
S
AHB
S
CHB
S
CHD
3 6

即
S
EHB
S
BHF
S
DHG


而
S
EHB
S
BHF
S
DHG
S
阴影
S
EBF
，

S
EBF

11111
BEBF(AB)(BC)364.5
．
22228
所以阴影部分的面积是：
S
阴影
18S
EBF
184.5 13.5

解法二：特殊点法．找
H
的特殊点，把
H
点与
D
点重合，
那么图形就可变成右图：
A
D
(H)
E
G

这样阴影部分的面积就是
DEF
的面积，根据鸟头定理，则有：
B
F
C
S
阴影
S
ABCD
S
AED
S
CFD

1111111
36363636

2222222
13.5



例3：如图所示，长方形
ABCD
内的阴影部分的面积之和为70，
AB8
，
AD15< br>，四边形
EFGO
的面积为 ．
A
D
O
E
B
F
G
C

分 析：利用图形中的包含关系可以先求出三角形
AOE
、
DOG
和四边形
EFGO
的面积之和，
以及三角形
AOE
和
DOG
的面积 之和，进而求出四边形
EFGO
的面积．
1
由于长方形
ABCD< br>的面积为
158120
，所以三角形
BOC
的面积为
12 030
，所以三角
4
3
形
AOE
和
DOG的面积之和为
1207020
；
4


1 1

又三角形
AOE
、
DOG
和四边形
EFGO< br>的面积之和为
120



30
，所以四边形< br>EFGO

24

的面积为
302010
． < br>另解：从整体上来看，四边形
EFGO
的面积

三角形
AFC
面积

三角形
BFD
面积

白色部
分的面 积，而三角形
AFC
面积

三角形
BFD
面积为长方形面积 的一半，即60，白色部分的
面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即
12070
，所以四边形的面积为
50
．
605010

例4：已知
ABC
为等边三角形，面积为400，
D
、
E
、
F
分别为三边的中点，已知甲、乙、
丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC
)
A
甲
乙
I
J
M
B
N
H
丙
E
D
F

分析：因为
D
、
E
、
F
分别为三边的中点，所以
DE
、
DF
、
EF
是三角形
ABC
的中位线，
也就与对应的边平行，根据面积 比例模型，三角形
ABN
和三角形
AMC
的面积都等于三角形
ABC
的一半，即为200．
根据图形的容斥关系，有
S
ABC
CS
丙
S
ABN
S
AMC
S
AMH N
，
S
AMHN
． 即
400S
丙
 20 0200S
AMHN
，所以
S
丙
又
S
阴影S
ADF
S
甲
S
乙
S
AMHN，所以
1
S
阴影
S
甲
S
乙
S< br>丙
S
ADF
14340043
．
4

例5：如图，已知
CD5
，
DE7
，
EF15
，
FG6
，线段
AB
将图形分成两部分，左边
部分面积是38， 右边部分面积是65，那么三角形
ADG
的面积是 ．
A
A
C
D
B
E
F
G
C
D
B
E F
G

分析：连接
AF
，
BD
． < br>根据题意可知，
CF571527
；
DG715628
；

15
S
CBF
，
S
BEC

12
S
CBF
，
S
AEG

21S
ADG
，
S
AED

7
S
A DG
，
27
272828
712
2115
SS
CBF
38
；
SS65
于是：；
ADG
AD GCBF
2827
2827
可得
S
ADG
40
．故三角形
ADG
的面积是40．
所以，
S
BEF


例6：如图在
△ABC中，
D,E
分别是
AB,AC
上的点，且
AD:AB2:5< br>，
AE:AC4:7
，
S
△ADE
16
平方厘米 ，求
△ABC
的面积．

A
A
D
E
D
E
BC
B
分析：连接
BE
，
S
△ADE
:S
△ABE

AD:AB2:5(24):(54)
，
DE△
C
< br>S
△ABE
:S
△ABC
AE:AC4:7(45):(7 5)
，所以
S
△A
:S
ABC
(24):(
，设
S
△ADE
8
份，则
S
△ABC
35份，
S
△ADE
16
平方厘米，所以
1
份是
2
平方厘米，
35
份就是
70
平方厘米，
△ABC
的面积是
70
平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角
三角形的面积 比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．

例7：如图在
△ABC< br>中，
D
在
BA
的延长线上，
E
在
AC
上，且
AB:AD5:2
，
AE:EC3:2
，
S
△ADE
12
平方厘米，求
△ABC
的面积．
D
DA
A
E
B
C
E
分析：连接
BE
，S
△ADE
:S
△ABE

AD:AB2:5(23):(53)

B
C
S
△ABE
:S
△ABC
AE:AC3: (32)(35):

(32)5

，
所以
S
△ADE
:S
△ABC
(32):

5(32)< br>
6:25
，设
S
△AD
则
S
△ABC< br>25
份，
S
△ADE
12
E
6
份，< br>平方厘米，所以
1
份是
2
平方厘米，
25
份就是50
平方厘米，由
△ABC
的面积是
50
平方厘米．
此 我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)
两夹边的乘积 之比

例8：如图，平行四边形
ABCD
，
BEAB
，
CF2CB
，
GD3DC
，
HA4AD
，平行四边形
ABCD
的面积是
2
， 求平行四边形
ABCD
与四边形
EFGH
的面积比．
H
H
A
G
D
F
B
C
E
A
G
D
F
B
C
E

分析：连接
AC
、
BD
．根据共角定理
∵在
△A BC
和
△BFE
中，
ABC
与
FBE
互补，
S
ABBC111

． ∴
△ABC

S< br>△FBE
BEBF133
又
S
△ABC
1
，所 以
S
△FBE
3
．
同理可得
S
△GCF
8
，
S
△DHG
15
，
S
△AEH
8
．

所以
S
EFGH
S
△ AEH
S
△CFG
S
△DHG
S
△BEF
 S
ABCD
8815+3+236
．
S
21
所以
ABCD

．
S
EFGH
3618

例9：
如图所示的四边形的面积等于多少？
C
13
12
O
13
12
13
D
13

分析：题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.
我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：
把三角形
OAB
绕顶点
O
逆时针旋转，使长为
13
的两条边重合，此时三角形
OAB
将旋转 到三
角形
OCD
的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为
1 2
的正方形，且这个正
方形的面积就是原来四边形的面积.
因此，原来四边形的面积为
1212144
.(也可以用勾股定理)

例10：如图所示，
ABC
中，
ABC90
，
AB 3
，
BC5
，以
AC
为一边向
ABC
外作< br>正方形
ACDE
，中心为
O
，求
OBC
的面积．
E
E
12
12
A
B
O
A
3
B
5
C
D
O
A
3
B
5
C
D

分析：如图，将
OAB
沿着
O
点顺时针旋 转
90
，到达
OCF
的位置．
由于
ABC90
，
AOC90
，所以
OABOCB180
．而OCFOAB
，
所以
OCFOCB180
，那么B
、
C
、
F
三点在一条直线上．
由于
OB OF
，所以
BOF
是等腰直角三角形，且斜边
BF
为
5 38
，
BOFAOC90
，
1
所以它的面积为
8
2
16
．
4
5
根据面积比例模型，
OB C
的面积为
1610
．
8
F

A
1.如图所示，正方形
ABCD
的边长为
8
厘米，长方形
EBGF< br>的长
BG
为
10
厘米，那么长方形的
宽为几厘米？

_

E
_

A
_

F
_

D
_

G
_

C
_

B
_

F
_

A
_

E
_

B
_

D
_

C
_

G
答案；本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以
看作特殊 的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．
证明：连接
AG< br>．(我们通过
△ABG
把这两个长方形和正方形联系在一起)．
∵在正方形< br>ABCD
中，
S
△ABG

∴
S
△ABG< br>
1
ABAB
边上的高，
2
1
S
2< br>ABCD
(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)
同理，
S
△ABG

1
S
EFGB
．
2
∴正方形
ABCD
与长方形
EFGB
面积相等． 长方形的宽
88106.4
(厘米)．

2.在边长为6厘米的正 方形
ABCD
内任取一点
P
，将正方形的一组对边二等分，另一组对
边三等分，分别与
P
点连接,求阴影部分面积．
A
D
A
(P)D
A
D
PP

答案；（法1）特殊点法．由于
P
是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P
点与
A
点
1
重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个 阴影三角形的面积分别占正方形面积的
4
1
11
和，所以阴影部分的面积为< br>6
2
()15
平方厘米．
6
46
（法2）连接
PA
、
PC
．
由于
PAD
与
PBC
的面积之和等于正方形
ABCD
面积的 一半，所以上、下两个阴影三角形
的面积之和等于正方形
ABCD
面积的
正方 形
ABCD
面积的
B
C
B
C
B
C
1
，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于
4
1
11
，所以 阴影部分的面积为
6
2
()15
平方厘米．
6
46

3.如图，长方形
ABCD
的面积是36，
E
是
AD
的三等分点，
AE2ED
，则阴影部分的面积
为 ．
A
O
B
答案；如图，连接
OE
．
E
D
A
M
O
B
E
N
D
C

C

根据蝶形定理，
ON:ND S
COE
:S
CDE

1
1
S
CA E
:S
CDE
1:1
，所以
S
OEN
S< br>OED
；
2
2
1
1
OM:MAS
B OE
:S
BAE
S
BDE
:S
BAE
1 :4
，所以
S
OEM
S
OEA
．
5
2
11
又
S
OED
S
矩形ABCD
3< br>，
S
OEA
2S
OED
6
，所以阴影部分面 积为：
34
11
362.7
．
25

4 .如图，三角形
ABC
中，
AB
是
AD
的5倍，
A C
是
AE
的3倍，如果三角形
ADE
的面积等
于1，那么三 角形
ABC
的面积是多少？
A
A
D
D
E
E
C

B
B
C

答案；连接
BE
．
∵
EC3AE

∴
S
ABC
3S
ABE

又∵
AB5AD

∴
S
ADE
S
AB E
5S
ABC
15
，∴
S
ABC
15S< br>ADE
15
．

5.如图，三角形
ABC
被分成 了甲(阴影部分)、乙两部分，
BDDC4
，
BE3
，
AE 6
，
乙部分面积是甲部分面积的几倍？
A
A
E
B
甲
D
E
乙
C

B
甲
D
乙
C

答案；连接
AD
．
∵
BE3
，
AE6

∴
AB3BE
，
S
ABD
3S
BDE

又∵
BDDC4
，
∴
S
ABC
2S
ABD
，∴
S
ABC
6S
BDE
，
S
乙
5S
甲
．
B
6.如图，以正方形的边
AB
为斜边在正方形内作直角三角形
ABE
，
AEB90
，
AC< br>、
BD
交于
O
．已知
AE
、
BE
的 长分别为
3cm
、
5cm
，求三角形
OBE
的面积． CB
CB
O
E
DA
D
O
E
A
F

答案；如图，连接
DE
，以
A
点为 中心，将
ADE
顺时针旋转
90
到
ABF
的位置．
那么
EAFEABBAFEABDAE90
，而
A EB
也是
90
，所以四边形
AFBE

是直角梯形， 且
AFAE3
，
所以梯形
AFBE
的面积为：
1< br>
35

312
(
cm
2
)． < br>2
又因为
ABE
是直角三角形，根据勾股定理，
AB
2AE
2
BE
2
3
2
5
2
3 4
，所以
S
ABD

1
AB
2
17< br>(
cm
2
)．
2
那么
S
BDE
S
ABD


S
ABE
S
ADE

S
ABD
S
AFBE
17125
(
cm
2
)，
1
SS
BDE
2.5
(
cm
2
)． 所以
OBE
2
7.如下图，六边形
ABCDEF
中，
AB ED
，
AFCD
，
BCEF
，且有
AB
平行 于
ED
，
AF
平行于
CD
，
BC
平行于< br>EF
，对角线
FD
垂直于
BD
，已知
FD24厘米，
BD18
厘米，请
问六边形
ABCDEF
的面积是多少 平方厘米？
B
A
C
G
A
B
C
F
E
D
F
E
D

答案；如图，我们将
BC D
平移使得
CD
与
AF
重合，将
DEF
平移使得
ED
与
AB
重合，这
样
EF
、
BC
都重合到图中的
AG
了．这样就组成了一个长方形
BGFD
，它的面积与原 六边
形的面积相等，显然长方形
BGFD
的面积为
2418432
平方厘米，所以六边形
ABCDEF
的
面积为
432
平方厘米．

8.如图，三角形
ABC
的面积是
1
，
E
是
AC
的中点，点
D
在
BC
上，且
BD:DC 1:2
，
AD
与
BE
交于点
F
．则四边形
DFEC
的面积等于 ．
A
E
B
D
F
C

A
A
B
3
3
E
F
3
12
C
D
E
F
B
D
C
答案；方法一：连接
CF
，根据燕 尾定理，
设
S
△BDF
标
S
△ABF
BD1S
△ABF
AE
1
,

，
S
△ACF
DC2
S
△CBF
EC

1
份，则< br>S
△DCF
2
份，
S
△ABF
3
份，< br>S
△AEF
S
△EFC
3
份，如图所

所以
S
DCEF

55
S
△ABC


1212
方法二：连接
DE
，由题目条件可得到
S
△ABD

11
S
△ABC

，
33
1121
BF
S
△ABD
1

，
S
△ADE
S
△ADC
S
△ABC

，所以
FES
△ADE
1
2233
1111111
S△DEF
S
△DEB
S
△BEC
S
△ABC

，
22323212
而
S
△CDE

211
S
△ABC

．所以则四边形
DFEC
的面积等于
5
．
323
12

9.如图，长方形
ABCD
的面积是
2
平方厘米，
EC2DE
，
F
是
DG
的中点．阴影部分的面
积是多少平方厘米?
A
F
B
G
D
E
C
B
B
A
A
3
F
3
G
1
D
D
EF
x
2
y
3
y
x
C
E
G

C
答案；设
S< br>△DEF
1
份，则根据燕尾定理其他面积如图所示
S
阴影

55
S
△BCD

平方
1212
厘米.

10.四边形
ABCD
的对角线
AC
与
BD
交于点
O
(如图所示)．如果三角形
ABD
的面积等于三
1
角形< br>BCD
的面积的，且
AO2
，
DO3
，那么
CO
的长度是
DO
的长度的_________倍．
3
A
O< br>D
A
H
O
D
G
CC
BB

答案；在本题中，四边形
ABCD
为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两 种处理
方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边
形．看到题目中给出条件
S
ABD
:S
BCD
1:3
， 这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一
种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为 边的关系，可以得到第二种解
法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作
AH
垂直
BD
于
H
，
CG
垂直
B D
于
G
，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底
边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上
愿意掌握并 使用蝶形定理解决问题．
解法一：∵
AO:OCS
ABD
:S
BDC
1:3
，∴
OC236
，∴
OC:OD6:3 2:1
．
解法二：作
AHBD
于
H
，
CGB D
于
G
．
1
1
1
SS
DOC
，
SS
∵ABDBCD
，∴
AHCG
，∴
AOD
3
3< br>3
1
∴
AOCO
，∴
OC236
，∴
OC:OD6:32:1
．
3

C
11. 如图，平行四边形
ABCD
的对角线交于
O
点，
△CEF
、
△OEF
、
△ODF
、
△BOE
的面
积依次是2、 4、4和6．求：⑴求
△OCF
的面积；⑵求
△GCE
的面积．
A
O
G
D
F
C

答案；⑴根据题意可知，
△BCD
的面积为
244616
，那么
△BCO
和
CDO
的面积都
是
1628
，所以
△OCF
的面积为
844
；
⑵由于
△BCO
的面积为8，
△B OE
的面积为6，所以
△OCE
的面积为
862
，
B
E
EG:FGS
COE
:S
COF
2:41:2
，根据蝶形定理，所以
S
GCE
:S
GCF
EG:F G1:2
，
那么
S
GCE

112
S
CEF
2
．
1233
12.如图，长方形
ABCD< br>中，
BE:EC2:3
，
DF:FC1:2
，三角形
DF G
的面积为
2
平方
厘米，求长方形
ABCD
的面积．
A
G
D
F
C

A
G
D
F
C

B
E
B
E
答案；连接
AE
，
FE
．
因为
BE:EC2:3
，
DF:FC1:2
，
3111
()SS
．
DEF
532
长方形ABC D
10
长方形ABCD
1
11
因为
S
AED
S
长方形ABCD
，
AG:GF:5:1
，
2
2 10
所以
S
AGD
5S
GDF
10
平方厘米，
1
所以
S
AFD
12
平方厘米．因为
S
AFD
S
长方形ABCD
，
6
所以
S
所以长方 形
ABCD
的面积是
72
平方厘米．

13.如图，正方 形
ABCD
面积为
3
平方厘米，
M
是
AD
边上的中点．求图中阴影部分的面积．
B
C
G
A
答案；因为
M
是
AD
边上的中点，
M
D

所以
AM:BC1:2
，根据梯形蝶形定理可以知道
S< br>△AMG
:S
△ABG
:S
△MCG
:S
△BCG< br>1
2
（:12）（:12）:2
2
1:2:2:4
，
设
S
△AGM
1
份，则
S
△MCD
1 23
份，
所以正方形的面积为
1224312
份，
S
阴影
224
份，
所以
S
阴影
:S
正方形
1:3
，
所以
S
阴影
1
平方厘米．

14.在下图的正 方形
ABCD
中，
E
是
BC
边的中点，
AE
与
BD
相交于
F
点，三角形
BEF
的
面积为1平 方厘米，那么正方形
ABCD
面积是 平方厘米．
A
D< br>F
B
根据蝶形定理得
S
梯形
E
C

答案；连接
DE
，根据题意可知
BE:AD1:2
，
2
（12）9
(平方厘米)，
ABCD
S
△ECD
3
(平方厘米)，那么
S12
(平方厘米)．

15.已知
ABCD
是平行四边形，
BC:CE3:2
，三角形
O DE
的面积为6平方厘米．则阴影
部分的面积是 平方厘米．
AO
D
A
O
D
B
C
E
B
CE
答案；连接
AC
．
由于
ABCD
是平行四边形，< br>BC:CE3:2
，所以
CE:AD2:3
，
根据梯形蝶形定理，
S
所以
S
AOC
COE
:S
AOC
:S
DOE
:S
AOD
2
2:23:23:3
2
4:6:6:9

6
(平方厘米)，
S
AOD
9
(平方厘米)，
6915
(平方厘米)，
阴影部分面积为
61521
(平方厘米)．
ABCACD
SS


1.右图中
ABCD
是梯 形，
ABED
是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，

< br>阴影部分的面积是 平方厘米．
A
9
21
4
B
E
D
A
9
21
C
B
O
4

D
E
C

答案：连接
AE
．由于< br>AD
与
BC
是平行的，所以
AECD
也是梯形，那么
S
OCD
根据蝶形定理，
S
OCD
S
OAE
S
OCE
S
OAD
4936
，故
S
OCD
2
S
OAE
．
36
，
所以
S
OCD
6
(平方厘米)．

2.右图 中
ABCD
是梯形，
ABED
是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位 ：平方厘米)，
阴影部分的面积是 平方厘米．
A
8
16< br>2
B
E
D
A
8
16
C
B
O
2
E
D
C

答案：连接
AE
．由于
AD
与
BC
是平行的，所以
AECD
也是梯形，那么
S< br>OCD
S
OAE
．
根据蝶形定理，
S
OC D
S
OAE
S
OCE
S
OAD
2 816
，故
S
OCD
2
16
，所
1
S
2
1


168

12
(平方厘 米)，
2
以
S
OCD
4
(平方厘米)．
另 解：在平行四边形
ABED
中，
S
ADE

ABED所以
S
AOE
S
ADE
S
AOD
 1284
(平方厘米)，
根据蝶形定理，阴影部分的面积为
8244
(平方厘米)．

3.如图，长方形
ABCD
被
CE
、
DF
分成四块，已知 其中3块的面积分别为2、5、8平方厘
米，那么余下的四边形
OFBC
的面积为__ _________平方厘米．
AE
2
5
O
8
D
F
?
BAE
2
5
O
8
F
?
BD

答案：连接
DE
、
CF
．四边形
E DCF
为梯形，所以
S
EOD
S
C

FOC< br>，又根据蝶形定理，
C
S
EOD
S
FOC
S
EOF
S
COD
，所以
S
EOD
SFOC
S
EOF
S
COD
2816
， 所以
S
EOD
4
(平方
厘米)，
S
ECD< br>4812
(平方厘米)．那么长方形
ABCD
的面积为
122 24
平方厘米，四
边形
OFBC
的面积为
245289< br>(平方厘米)．
4.如图，
ABC
是等腰直角三角形，
DEFG< br>是正方形，线段
AB
与
CD
相交于
K
点．已知正方形
DEFG
的面积48，
AK:KB1:3
，则
BKD< br>的面积是多少？

D
K
B
E
A
GD
K
A
G

答案：由于
DEFG
是正方形，所 以
DA
与
BC
平行，那么四边形
ADBC
是梯形．在梯形< br>ADBC
中，
BDK
和
ACK
的面积是相等的．而
AK:KB1:3
，所以
ACK
的面积是
ABC
面积
11
1
的

，那么
BDK
的面积也是
ABC
面积的．
4
134
由于
ABC
是等腰直角三角形，如 果过
A
作
BC
的垂线，
M
为垂足，那么
M
是
BC
的中点，
而且
AMDE
，可见
ABM
和
ACM
的面积都等于正方形
DEFG
面积的一半，所以
ABC< br>的面积与正方形
DEFG
的面积相等，为48．
1
那么
BDK
的面积为
4812
．
45.下图中，四边形
ABCD
都是边长为1的正方形，
E
、
F< br>、
G
、
H
分别是
AB
，
BC
，CD
，
m
DA
的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比 是最简分数，那么，
n
(mn)
的值等于 ．
A
H
D
A
H
D
F
C
B
E
M
F
C
E
G
E
G

答案：左、右两个图中的 阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中
的空白部分面积都比较好求，所以可以 先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．
如下图所示，在左图中连接
EG
．设
AG
与
DE
的交点为
M
．
1
左图中AEGD
为长方形，可知
AMD
的面积为长方形
AEGD
面积 的，所以三角形
AMD
的
4
111
面积为
1
2
．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面
248
11
积为
14
．
82
B
F
C
B
F
C
A
H
D
A
H
D
M
E
G
E
N
G
B
F
C
B
F
C
如上图所示，在右图中连接
AC
、
EF
．设
AF
、
EC
的交点为
N
．

可知
EF< br>∥
AC
且
AC2EF
．那么三角形
BEF
的面积为 三角形
ABC
面积的
1
，所以三角形
4
111113
BEF
的面积为
1
2

，梯形
AEFC
的 面积为

．
248288
在梯形
AEFC
中，由于EF:AC1:2
，根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为：
311
，那么四 边形
1
2
:12:12:2
2
1:2:2:4
，所以 三角形
EFN
的面积为

8122424
111
B ENF
的面积为

．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部< br>8246
11
分的面积为
14
．
63
11< br>m3
那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为
:3:2
，即
，
n2
23
那么
mn325
．






1.用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．
答案：
方法1：如图，将BC边四等分（BD=DE=EF=FC=
△AEF、△AFC等积。

1
BC）,连结AD、AE、AF，则△ABD、△ADE、
4

方法2：如图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC等积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以而得到四个等积三角形，即△ADF、△
BDF、△DCE、△ADE等积．

方法3：如图，先将BC四等分，即BD=

11
BC，连结AD，再将AD 三等分，即AE=EF=FD=AD，
43
连结CE、CF，从而得到四个等级的三角形，即△ ABD、△CDF、△CEF、△ACE等积。

答案：

2.用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1∶3∶4．
方法 1：如图，将BC边八等分，取1∶3∶4的分点D、E，连结AD、AE，从而得到△ABD、
△ADE、△AEC的面积比为1∶3∶4．

方法2：如图，先取BC的中点D， 再取AB的四等分点E，连结AD、DE，从而得到三个三角
形：△ADE、△BDE、△ACD．其面 积比为1∶3∶4．

方法3：如图，先取AB的中点D，连结CD，再取CD的四等分点E ，连结AE，从而得到三个
三角形：△ACE、△ADE、△BCD．其面积比为1∶3∶4．

3.如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与△C OD面积相等．

答案：
证明：∵△ABC与△DBC等底等高，
∴S
△ABC
=S
△DBC

又∵ S
△AOB
=S
△ABC
—S
△BOC

S
△DOC
=S
△DBC
—S
△BOC

∴S
△AOB
=S
△COD
．
4.如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．

答案：本题有两点要求， 一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积
相等．我们可以利用三角形等积变形的 方法，如右图，

把顶点A移到CB的延长线上的A′处，△A′BD与△ABD面积相 等，从而△A′DC面积
与原四边形ABCD面积也相等．这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形 △A′DC．问题是
A′位置的选择是依据三角形等积变形原则．过A作一条和DB平行的直线与CB的 延长线交
于A′点．
解：①连结BD；
②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A′．
③连结A′D，则△A′CD与四边形ABCD等积．
5.如右图，已知在△ABC中，BE=3AE ，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC
的面积．

答案：
解法1：连结BD，在△ABD中
∵ BE=3AE，
∴ S
△ABD
=4S
△ADE
=4（平方厘米）．
在△ABC中，∵CD=2AD，
∴ S
△ABC
=3S
△ABD
=3×4=12（平方厘米）．
解法2：连结CE，如右图所示，在△ACE中，

∵ CD=2AD，
∴ S
△ACE
=3S
△ADE
=3（平方厘米）．
在△ABC中，∵BE=3AE
∴ S
△ABC
=4S
△ACE
=4×3=12（平方厘米）．
6.如 下页图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=
面积的几分之几？
1
BC，求阴影部分面积占三角形ABC
3

答案：连结BG，在△ABG中，


∴ S△ADG+S△BDE+S△CFG


7.如右图，ABCD为平行四边形， EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF
的面积．

答案 ：连结AF、CE，∴S
△ADE
=S
△ACE
；S
△CDF
=S
△ACF
；又∵AC与EF平行，∴S
△ACE
=S
△ACF
；
∴ S
△ADE
=S
△CDF
=4（平方厘米）．
8.如右图，四边形 ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积．

答案：连结BD，将四边形ABCD分成两个部分S
1
与S
2
．连结FD，有S
△FBD
=S
△DBC
=S
1

所以S
△CGF
=S
△DFC
=2S
1
．
同理 S
△AEH
=2S
2
，
因此S
△ AEH
+S
△CGF
=2S
1
+2S
2
=2（S< br>1
+S
2
）=2×1=2．
同理，连结AC之后，可求出S△HGD
+S
△EBF
=2所以四边形EFGH的面积为2+2+1=5（平方单
位）．
9.如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若 S△ADE=1，求
△BEF的面积．

答案：连结AC，∵ABCD，∴S
△ADE
=S
△ACE

又∵ADBC，∴S
△ACF
=S
△ABF
而 S
△ACF
=S
△ACE
+S
△AEF
=S
△ABF
=S
△BEF
+S
△AEF

∴ S
△ACE
=S
△BEF
∴S
△BEF
=S
△ADE
=1．




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