3第三讲 多边形的面积(等积变形)
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第三讲 多边形的面积(等积变形)
【知识概述】
三角
形面积的公式是底×高÷2,两个三角形只要是底和高分别相等,它们的面积
就相等,而这两个三角形的
形状不一定完全相同,例如,下面的两个三角形面积就
是相等的。
在解答一些平面图形的面积时,我们可以巧用等底等高两个三角形面积相等
的方法来解答。
例题精学
例1 四边形 ABCD中,M为AB
的中点,N为CD 的中点,如果四边形ABCD 的面
积是 80 平方厘米,求阴影部分 BNDM
的面积是多少平方厘米。
【思路点拨】图中阴影部分 BNDM
是一个不规则的四边
形,不能直接求出它的面积。如果用一条对角线BD 将四
边形 ABCD
分成两个三角形。(如右图所示)。在△ABD
和△BDC中,由于 M,N 分别是 AB,CD 的
中点,根据等底
等高三角形面积相等的道理,可知S△AMD=S△MBD,S△
DNB=SΔ
cNB。所以阴影部分的面积与空白部分的两个三
角形的面积之和相等。
同步精练
1. 如图,六边形 ABCDEF 的面积是 16 平方厘米,M,N,P,Q
分别是 AB,CD,DE,AF
的中点。求图中阴影部分的面积。
2.
如图,平行四边形的面积为 50 平方厘米.P 是其中任意一点,求阴影部分面积
3. 如图,正方形的边长是6 厘米,E,H
是所在边的二等分点,F,G，L,M 是所在边的
三等分点,求阴影部分的面积和。
例2 如下图,三角形 ABC 为等边三角形,D为AB 边上的
中点。已知三角形
BDE 的面积为5 平方厘米。求等边三
角形 ABC 的面积。
【思路点拨】我们在三角形 ABC的AC 边上取中点F,BC 边
上取中点G,然后连接
DF,FG,GD(如右图)。我们看到,三角形
ADF,BDG,FGC,GFD 为四个完全一样
的等边三角形。因为DE
为△DBG底BG上的高,所以S△DBE=S△DGE。由此,我们可
以想到三角形 ABC 的面积是三角形 DBE 面积的8倍。
同步精练
1. 如图,平行四边形 ABCD中,AE=EF=FB,AG=2CG,三角形GEF 的面积是6
平方厘
米,平行四边形的面积是多少平方厘米?
2.如图,已知长方形 ABCD,三角形 ABG 的面积为 20 平方厘米,三角形 CDQ
的
面积为 35 平方厘米,求阴影部分的面积是多少平方厘米。
3.如图,在一个等边三角形中任意取一点P,连接 PA,PB,PC,过P
点作三角形三边的
垂线,E,F,G 分别为垂足。三角形 ABC 被分成6个三角形。已知三角形
ABC 的面
积为 40 平方厘米,求图中阴影部分的面积。
例3 下图中正方形 ABCD 的边长是4 厘米,长方形 DEFG
的长 DG=5厘米,问
长方形的宽DE 为多少厘米?
【思路点拨】因为长方形面积=长×宽,现在已知长方形
DEFG 的长DG是5
厘米,要求宽DE 的长度,就要求出
长方形 DEFG
的面积。而正方形的面积可以求出,长方
形的面积与正方形的面积有什么关系呢?
观察长方形和正方形的重叠部分可以发现,如果连
接 AG,则三角形AGD 的面积既是正方
形面积的一半,
也是长方形面积的一半,这样就可以说明正方形的面积和长方形的面积相等。
同步精练
1.
如图,两个相同的直角三角形叠放在一起,求阴影部分的面(单位:分米)
2.如图,ABCD 为长方形,AB=10 厘米,BC=6 厘米,E,F 分别为AB,AD
的中点,且
FG=2GE。求阴影部分的面积。
3.如图,ABCD
是直角梯形,其中 AD=12 厘米,AB=8 厘米,BC=15 厘米,且三角形
ADE、四边形 DEBF 及三角形 CDF 的面积相等,三角形
EBF(阴影部分)的面积是
多少平方厘米?
例4. 下图是两个正方形拼成的图形,其中小正方形的边长是4
厘米,求阴影部分
的面积。
【思路点拨】在上一讲我们曾经做过已知大、小两个正
方形的边长再求图中阴影
部分面积的题目。而现在只知道小正方形的边长,又该如何求阴影部分的面积呢
?
如上图,我们可以连接 AC,S△AGC= GC XAB÷2,S△ACE=
CEXAD÷2,GC和CE
都是小正方形的边长,AB和AD 都是大正方形的边长,所以S△AG
C=S△ACE。而这
两个三角形分别去掉它们的共同部分(△ACH),则它们剩下的部分也应相等,
即S△
ACH=S△cEH。这样原图中阴影部分就可以转化为△GCE 的面积,而S△GCE
等于
小正方形面积的一半。
同步精练
1.
如果下图中大正方形的边长是6 分米,求阴影部分的面积。
2.如图,AD=2AB,CF=3AC,BE=4BC,已知△ABC
的面积为5平方厘米,求△DEF 的面积。
1
3.如图,AE=ED,AF=FC,已知△ABC 的面积为90
平方厘米,求阴影部分的面积。
2
练习卷
1. 如图,在平行四边形 ABCD中,EF与AC 平行,如果三角形
BFC的面积是 35 平
方厘米,那么三角形 AEB
的面积能不能确定?如果能,它的面积是多少?
2. 在三角形 ABC中,AD 垂直于
BC,CE 垂直于 AB,AD=8 厘米CE=7 厘
米,AB+BC=21 厘米,求三角形
ABC 的面积
3. 如图,AB=6 厘米,BC=4
厘米,AC=2CD,BE=BD,求三角形ADE 的面积。
4. 如图,三角形
ABC 的面积是 30 平方厘米,D是BC 的中点,AE的长是ED的2
倍,求三角形 CDE
的面积。
5.三角形 ABC 的面积是 180 平方厘米,D是BC 的中点,AD
的长是AE 长的3
倍,EF 的长是BF的3 倍求三角形 AEF 的面积。
6.下图中,正方形 ABCD 的边长是 12
厘米,P是AB 边上任意点,M,N,I,H 分别是
BC,AD 的三等分点,E,F,G是CD
的四等分点,求图中阴影部分的面积。
7.正三角形 ABC
的边长为12 厘米,BD,DE,EF,FG 四条线段把它的面积5 等分,求
AF,FD,DC,AG,GE,EB 的长。
8.下图中,BD=2DC,AE=BE,已知三角形 ABC 的面积是 18平方厘米,求四边形
AEDC 的面积等于多少平方厘米。