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第三讲 等积变形







1.等积模型


2.鸟头定理


3.蝶形定理


4.相似模型


5.共边定理（燕尾模型和风筝模型）



1.了解三角形的底、高与面积的关系，会通过分析以上关系解题。
2.能在解题中发现题目中所涉及的几何模型。


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例1：如图，正方形
ABCD
的边长为6，
AE1.5，
CF
2．长方形
EFGH
的面积为．



例2：长方形
ABCD
的面积为36
cm
2
，< br>E
、
F
、
G
为各边中点，
H
为
AD
边上任意一点，
问阴影部分面积是多少？
A
HD
E
G
B
F
C



例3：如图所示，长方形
ABCD
内的阴影部分的面积之和为70，
AB8
，
AD15
，四边形
EFGO
的面积为．
A
D
O
E
B
F
G
C



例4：已知
ABC
为等边三角形，面积为400，
D
、< br>E
、
F
分别为三边的中点，已知甲、乙、
丙面积和为143，求阴影五 边形的面积．(丙是三角形
HBC
)


例5：如图，已知
CD5
，
DE7
，
EF15
，
FG6
， 线段
AB
将图形分成两部分，左边
部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形
ADG
的面积是．
A
A
C
D
B
E
F
G
C
D
B
EF
G

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例6：如图在
△ABC
中，
D,E
分别是
AB,AC
上的点，且
AD:AB2:5
，
AE:AC4 :7
，
S
△ADE
16
平方厘米，求
△ABC
的 面积．
A
A
D
E
D
E
BC
B
C


例7：如图在
△ABC
中，
D
在
BA
的 延长线上，
E
在
AC
上，且
AB:AD5:2
，
AE:EC3:2
，
S
△ADE
12
平方厘米，求
△ ABC
的面积．
D
D

A
A
E
B
C
E
B
C


例8：如图，平行四边形
ABCD
，
BEAB
，
CF2 CB
，
GD3DC
，
HA4AD
，平行四
边形
ABCD
的面积是
2
， 求平行四边形
ABCD
与四边形
EFGH
的面积比．
H

H
A
G
D
F
B
C
E
A
G
D
F
B
C
E



例9：
如图所示的四边形的面积等于多少？
C
13
12
O
13
12
13
D
13
12
12
A
B

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例10：如图所示，
ABC
中，
ABC90
，
AB 3
，
BC5
，以
AC
为一边向
ABC
外作< br>正方形
ACDE
，中心为
O
，求
OBC
的面积．
E
E
O
A
3
B
5
C
D
O
A
3
B
5
C
D
F




A
1.如图所示，正方形
ABCD
的边长为
8
厘米，长方形
EBGF
的长
BG
为
10
厘米，那么长方形的
宽为几厘米？
_

E
_

A
_

F
_

D
_

G
_

C
_

B
_

F
_

D
_

G
_

C
_

A
_

E
_

B


2 .在边长为6厘米的正方形
ABCD
内任取一点
P
，将正方形的一组对边二等 分，另一组对
边三等分，分别与
P
点连接,求阴影部分面积．
A
D
A
(P)D
A
D
PP
B
C
B
C< br>B
C

3.如图，长方形
ABCD
的面积是36，
E
是
AD
的三等分点，
AE2ED
，则阴影部分的面积
为．

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A
O
B
E
D
A
M
O
B
E
N
D
C
C

4.如图，三角形
ABC
中，
AB
是
AD
的5倍，
AC
是
AE
的3倍，如果三角 形
ADE
的面积等
于1，那么三角形
ABC
的面积是多少？
A
A

D
E
C
D
E
C
B

5.如图，三 角形
ABC
被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，
BDDC4
，
BE3
，
AE6
，
乙部分面积是甲部分面积的几倍？
A
A
E
B
甲
D
E
B

乙
C
B
甲
D
乙
C


B
6.如图，以正方形的边
AB
为斜边在正方形内作直角三角形
ABE
，
AEB90
，
AC
、
BD
交于
O
．已知
AE
、
BE
的长分别为
3cm
、
5cm，求三角形
OBE
的面积．
CB
CB
O
E
D A
D
O
E
A
F

7.如下图，六边形
AB CDEF
中，
ABED
，
AFCD
，
BCEF
，且有
AB
平行于
ED
，
AF
平行于
CD
，
BC
平行于
EF
，对角线
FD
垂直于
BD，已知
FD24
厘米，
BD18
厘米，请
问六边形
ABCDEF
的面积是多少平方厘米？
B
A
C
G
A
B
C
F
E
D
F
E
D

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8.如图，三角形
ABC
的面积是
1
，
E
是
AC< br>的中点，点
D
在
BC
上，且
BD:DC1:2
，< br>AD
与
BE
交于点
F
．则四边形
DFEC
的 面积等于．
A
E
B
D
F
C



9.如图，长方形
ABCD
的面积是
2
平方厘米，
EC2 DE
，
F
是
DG
的中点．阴影部分的面
积是多少平方厘米?
A
F
B
G
D
E
C
A
x
F
y
y
x
G
D
E
C

10.四边形
ABCD
的对角线
AC
与
BD
交于点
O
( 如图所示)．如果三角形
ABD
的面积等于三
1
角形
BCD
的面积的，且
AO2
，
DO3
，那么
CO
的长度是DO
的长度的_________倍．
3

B
A
O
B

D
C

C
11.如图，平行四边形
ABCD
的对角线交于
O
点，
△CEF、
△OEF
、
△ODF
、
△BOE
的面
积依次 是2、4、4和6．求：⑴求
△OCF
的面积；⑵求
△GCE
的面积．
A
O
G
B
E
C
D
F

1 2.如图，长方形
ABCD
中，
BE:EC2:3
，
DF:FC 1:2
，三角形
DFG
的面积为
2
平方
厘米，求长方形ABCD
的面积．

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A
G
D
F
C
A
G
D
F
C

B
E
B
E

13.如图，正方形
ABCD
面积为
3
平方厘米，
M
是
AD
边上的中点．求图中阴影部分 的面积．
B
C
G
A
D

M

1 4.在下图的正方形
ABCD
中，
E
是
BC
边的中点，AE
与
BD
相交于
F
点，三角形
BEF
的面积为1平方厘米，那么正方形
ABCD
面积是平方厘米．
A
D
F
B
E
C


15.已知< br>ABCD
是平行四边形，
BC:CE3:2
，三角形
ODE
的面积为6平方厘米．则阴影
部分的面积是平方厘米．
A
O
D
A
O
D
B

C
E
B
C
E


1.右图中
AB CD
是梯形，
ABED
是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，
阴影部分的面积是平方厘米．
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A
9
21
4
B
E
D
A
9
21C
B
O
4
E
D
C


2.右 图中
ABCD
是梯形，
ABED
是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单 位：平方厘米)，
阴影部分的面积是平方厘米．
A
8
16
2
B
E
D
A
8
16
C
B
O
2E
D
C


3.如图，长方形
ABCD
被CE
、
DF
分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘
米， 那么余下的四边形
OFBC
的面积为___________平方厘米．
AE
2
5
O
8
D
F
?
BAE
2
5< br>O
8
F
?
B
C
D
C

< br>4.如图，
ABC
是等腰直角三角形，
DEFG
是正方形，线段AB
与
CD
相交于
K
点．已知正
方形
DEFG
的面积48，AK:KB1:3，则
BKD
的面积是多少？
D
K
B
E
A
G
D
K
A
G
F
C
B
E
M
F
C


5.下图中，四边形< br>ABCD
都是边长为1的正方形，
E
、
F
、
G
、
H
分别是
AB
，
BC
，
CD
，
m
DA
的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数，那么，
n
(mn)
的值等于．
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A
H
D
A
H
D
E
G
E
G
B
F
C
B
F
C







1.用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．

2.用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1∶3∶4．

3.如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与△CO D面积相等．

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4.如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．


5 .如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC
的面积．
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6.如下页图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=
面积的几分之几？
1
BC，求阴影部分面积占三角形ABC
3


7.如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角形CD F
的面积．


8.如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，B C=BF，DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积．
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9.如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F ，若S△ADE=1，求
△BEF的面积．



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