建筑学考研-大学生就业调查报告

五大模型
变形、
三角型等积
共角模型
(

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杨秀情——六年级秋季——配套练习
【练练1】
如图，长方形
ABCD< br>的面积是
56
平方厘米，点
E
、
F
、
G分别是长方形
ABCD
边
上的中点，
H
为
AD
边上的任意一点，求阴影部分的面积．
A
E
B
H
D
G
F
C






【练练2】
图中的
E、
F
、
G
分别是正方形
ABCD
三条边的三等分点，如 果正方形的边长是
12
，那么阴影部分的面积是______；
A
D
G
E
B
F
C







【练练3】
(2008年”希望杯”二试六年级)
如图，
E
、
F
、< br>G
、
H
分别是四边形
ABCD
各边的中点，
FG与
FH
交于点
O
，
S
1
、
S
2
、
S
3
及
S
4
分
别表示四个小四边形 的面积．试比较
S
1
S
3
与
S
2
S< br>4
的大小．
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2

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D
G
C< br>S
4
S
3
B
F
S
1
H
O< br>S
2
A
E




【练练4】 < br>如图，三角形
ABC
中，
DC2BD
，
CE3AE
，三角形
ADE
的面积是
20
平方厘
米，三角形
ABC< br>的面积是多少？
A
E

B
D
C











【练练5】
（
2008
年第一届“学而思杯”综合素质测评六年级
2
试） 如图，
BC45
，
AC21
，
ABC
被分成9
个面积相等的小三角形，那么
DIFK
．
B
D
E
G
A
H
J
K
C
I
F

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3

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【练练6】
如右图，
ABFE
和
CDEF< br>都是矩形，
AB
的长是
4
厘米，
BC
的长是
3
厘米，那么
图中阴影部分的面积是 平方厘米．
A
E
D
B
F
C








【练练7】
(2009年四中小升初入学测试 题)如图所示，平行四边形的面积是50平方厘
米，则阴影部分的面积是 平方厘米．

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【练练8】
如下图，长方形
AFEB
和长方形
FDCE
拼成了长方形
ABCD
，长方形
ABCD
的长是
20，宽是12，则它
内部阴影部分的面积是 ．
A
B
F
D
E
C








【练练9】

（第三届“华杯赛”初赛 试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形
面积占长方形面积的
15%
，黄 色三角形面积是
21cm
2
．问：长方形的面积是多少
平方厘米？
黄
红
绿
红






5
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【练练10】
如图，正方形ABCD的边长为6 ，
AE
1.5，
CF
2．长方形EFGH的面积
为 ．
H
A
E
D
G
B
FC







【练练11】
如图所示， 四边形
ABCD
与
AEGF
都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．
F
AB
G
D
E
C



【练练12】
2008年春蕾杯五年级决赛
如图，长方形
ABCD的边上有两点
E
、
F
,线段
AF
、
BF
、
CE
、
BE
把长方形分
成若干块，其中三个小木块的面积标注在 图上，阴影部分面积是 平方
米。
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D
46
E
15
A
F
36
C
B

第12题








【练练13】
（第八届小数报数学竞赛决赛试题）
如下图，
E
、
F
分别 是梯形
ABCD
的下底
BC
和腰
CD
上的点，
DF FC
，并且
甲、乙、丙
3
个三角形面积相等．已知梯形
ABCD< br>的面积是
32
平方厘米．求图中
阴影部分的面积．
A
乙
D
F
甲
B
E
丙
C









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【练练14】
如图，已知长方形
ADE F
的面积
16
，三角形
ADB
的面积是
3
，三角形
ACF
的面
积是
4
，那么三角形
ABC
的面积是多 少？
A
F
C
D
B
E











【练练15】
(2008年仁华考题)
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如图，正方形的边长为10 ，四边形
EFGH
的面积为5，那么阴影部分的面积
是 ．
A
H
E
G
D
B
F
C
















【练练16】
(2008年走美六年级初赛)
如图所示，长方形
ABCD
内的阴影部分的面积之和为70，
AB8
，
AD15
，四
边形
EFGO
的面积为 ．
A
D

O
E
B
F
G
C







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【练练17】
如图所示，矩形
ABCD
的面积为36 平方厘米，四边形
PMON
的面积是3平方厘
米，则阴影
部分的面积是 平方厘米．
D
M
O
AB
P
N
C






















【练练18】
(2008年”华杯赛”初赛)
如图所示，矩形ABCD
的面积为24平方厘米．三角形
ADM
与三角形
BCN
的面
积之和为
7.8
平方厘米，则四边形
PMON
的面积是 平方厘米．
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D
M
O
A
P
N
C
B












【练练19】
如图，三角形
AEF
的面积是
17
，
DE
、
BF
的长度分别为11、3．求长方形
ABCD
的面积．
A
B
F
D
E
C




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【练练20】
如图，
P
为长方形
ABCD
内的一点。三角 形
PAB
的面积为5，三角形
PBC
的面积
为13.请问：
PBD
的面积是多少？
A
P
D
B
C









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【练练21】
如右图，过平行四边形
ABCD
内的一点
P
作边的平行线
E F
、
GH
，若
PBD
的面
积为8平方分米，求平行四边形
PHCF
的面积比平行四边形
PGAE
的面积大多少
平方分米？
A
E
P
F
G
D
B
HC






【练练22】

如图，在 长方形
ABCD
中，
Y
是
BD
的中点，
Z
是
DY
的中点，如果
AB24
厘
米，
BC8
厘 米，求三角形
ZCY
的面积．
D
Z
A
Y
C
B




【练练23】
如图，平行四边形
ABCD
的周长为75厘米。以
B C
为底时高是14厘米，以
CD
为底时高是16厘米。求平行四边形
ABCD
的面积。

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【练练24】
(2007年天津“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛)
如图所示，长方形
ABCD
的长是12厘米，宽是8厘米，三角形
CEF
的面积是32
平方厘米，则
OG 
___________厘米．
A
E
D
O
F
B
G
C




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【练练25】
如图，已知平行四边形
ABCD
的面积为36，三角形
AOD
的面积为8。三 角形
BOC
的面积为多少？

A
O
D
C
B








【练练26】

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如图所示，正方形
ABCD
的边长为
8
厘米，长方形
EBGF
的长
BG
为
10
厘米，那
么长方形的宽为几厘米？
E
A
F
D
G
C
B





【练练27】

如图，正方形的边长为12 ，阴影部分的面积为60，那么四边形
EFGH
的面积
是 ．
A
H
E
G
D
B
F
C



【练练28】

如图在
△ABC
中，< br>D
在
BA
的延长线上，
E
在
AC
上，且AB:AD5:2
，
AE:EC3:2
,
S
△ADE
12
平方厘米，求
△ABC
的面积
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D
A
E
B
C










【练练29】
如图在
△ABC
中，
D,E
分别是
AB,AC
上的点， 且
AD:AB2:5
,
AE:AC4:7
,
S
△ADE
16
平方厘米，求
△ABC
的面积
A
D
E
B
C





【练练30】
AC
的长度是
AD
的

4
，且三角形
AED
的面积是三角形
ABC
面积的一半。请 问：
5
A
E
AE
是
AB
的几分之几？
C
B
D

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【练练31】
园林小路，曲径通幽.如下图所示，小路由白色正方形石板和青、红两色的三角
形石板铺成。问 ：内圈红色三角形石板的总面积大，还是外圈青色三角形石板
的总面积大？请说明理由.
H
I
A
C

G
F
B













【练练32】
如图以
△ABC
的三边分别向外做三个正方形ABIH
、
ACFG
、
BCED
,连接
HG
、
EF
、
ID
，又得到三个三角形，已知
△ABC
的面积是< br>10
平方厘米，则另外三个
三角形的面积和是多少？
H
I
A
B
C
G
F
D
E






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【练练33】
如图以直角三角形的三边分别向外 做三个正方形
ABIH
、
ACFG
、
BCED
,连接
HG
、
EF
、
ID
，又得到三个三角形，已知
AB3< br>厘米，
AC4
厘米，求六边形
DEFGHI
的面积
H
I
B
A
F
C
G
D
E














【练练34】
已知
△DEF
的面积为7
平方厘米，
BECE,AD2BD,CF3AF
，求
△ABC< br>的面
积．
A
F
D
B
E

C

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【练练35】
如图，三角形
ABC
的面积 为3平方厘米，其中
AB:BE2:5
，
BC:CD3:2
，三
角形BDE的面积是多少？
A
B
C
E
A
B
C









【练练36】

D

D
如图所示，正方形
ABCD
边长为6厘米，
AEAC
,
CFBC
．三角形
DEF
的面
积为 平方厘米．
A
D
1
3
1
3
E
B



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F
C

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【练练37】
如图，已知三角形
ABC
面积为
1
，延长< br>AB
至
D
，使
BDAB
；延长
BC
至E
，使
CE2BC
；延长
CA
至
F
，使AF3AC
，求三角形
DEF
的面积．
F
A
B
D
C
E




【练练38】

已知三角形
ABC
面积为
1
，延 长
AB
至
D
，使
BDaAB
；延长
BC
至
E
，使
CEbBC
；延长
CA
至
F
， 使
AFcAC
，求三角形
DEF
的面积．
F
A
B
D
C
E








【练练39】
如图所示，三角形ABC中，点X，Y，Z分别在线段AZ，BX， CY上，且
YZ2ZC ,ZX3XA,.
XY4YB
三角形XYZ的面积等于24，求三角形ABC的面积.

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A
X
B
Y
Z
C






【练练40】
如图，平行四边形
ABCD
，
BEAB
，
CF2CB
，
GD3DC
，
HA4AD
，平行四
边形
ABCD
的面积是
2
， 求平行四边形
ABCD
与四边形
EFGH
的面积比．
H

A
G
D
F
B
C
E




【练练41】

平行四边形
ABCD
，
BEaAB
，
CFbCB
，
DGcDC
，
AHdAD
，求四边形
EFGH
的面积与平行四边形
ABCD面积间的关系．
H
A
G
D
F
B
C
E







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【练练42】
如图所示，正方形
ABCD
边长为
8厘米，
E
是
AD
的中点，
F
是
CE
的 中点，
G
是
BF
的中点，三角形
ABG
的面积是多少平方厘 米？
A
E
D
F
G
B
C















【练练43】
如图，四边形
EFGH
中，
EAaAB
，
HDbDA
，
形
ABCD
的面积 与四边形
EFGH
面积间的关系．
H
D
C
G
AB
E
F






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23

CGaDC
，
BFbCB
，求四边
H
D
C
G
A
B
E
F

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【练练44】
如图，将四边形
ABCD
的四条边
AB
、
CB
、
CD
、
AD
分别延长两倍至点
E
、
F
、
G
、
H< br>，若四边形
ABCD
的面积为5，则四边形
EFGH
的面积是 ．
F
B
C
A
D
H
G
E


















【练练45】

如图，在
△ABC
中，延长
AB
至
D
,使
BDAB
，延长
BC
至
E
,使
CEBC
，F
是
AC
的中点，若
△ABC
的面积是
2
，则
△DEF
的面积是多少？
1
2
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A
F
B
D
C
E










【练练46】
图中三角形
ABC
的面积是180平方厘米，
D
是
BC
的中点，
AD
的长是
AE
长的3
倍，
EF
的长是
BF 长的3倍．那么三角形
AEF
的面积是多少平方厘米？
A
E
F
B
D
C






【练练47】
如图是一个正六角星纸板，其中每条边的长为5。现在沿 虚线部分剪开，那么
较小的那部分占到整体面积的几分之几？




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【练练48】
如图，
ADDB
，
AEEFFC
，已 知阴影部分面积为5平方厘米，
ABC
的面
积是 平方厘米．
B
D
A
EF
C










【练练49】
如图，长方形
ABCD
的面积是1，
M
是
AD
边的中点，
N
在< br>AB
边上，且
AN
1
BN
．那么，阴影部分的面积等于 ．
2

A
N
B




【练练50】
M
D
C

如图在
△ABC
中，
D,E,F
分别是
AB,AC,BC
边上的点，且
BD:AD 5:2,BF:FC3:5,CE:AE2:3
，
△DEF
的面积为
4 3.5
平方厘米，则
△ABC
的面积是 平方厘米
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A
D
E
B
C
F

【练练51】
如图以
△ABC
的三边分别向外做三个正方形
ABIH
、
ACFG< br>、
BCED
,连接
HG
、
EF
、
ID
，又得到三个三角形，已知六边形
DEFGHI
的面积是
77
平方厘米，三 个
正方形的面积分别是9、16、36平方厘米，则三角形
ABC
的面积是多少？

H
I
A
B
C
G
F
D
E










【练练52】
如图，已知三角形
ABC
面积为
1
，延长< br>AB
至
D
，使
BDAB
；延长
BC
至E
，使
CE2BC
；延长
CA
至
F
，使AF3AC
，求三角形
DEF
的面积．
F

A
B
D
C
E



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【练练53】
如图，四边形
EFGH
的面积是
66平方米，
EAAB
，
CBBF
，
DCCG
，HDDA
，求四边形
ABCD
的面积．
H
D
A
E
C
B
G
F








【练练54】
把四边形ABCD的各边都延长2倍，得到一个新的四边形EFGH。如果ABCD
的面积是5平方厘米 ，则EFGH的面积是多少？
H
E
D
A
B
F
G
C


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【练练55】
在四边形ABCD中，其对角线AC、DB交于E点。且AF=CE ，DE=BG。已
知四边形ABCD的面积为1，求
△EFG
的面积是多少。
D
E
A
F
B
G
C



【练练1答案】
A
E
B
H
D
G
F
C
A
E
B
H
D
G
F
C



【分析】
本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．
连接
BH
、
CH
．
∵
AEEB
，
∴
S
△AEH
S
△BEH
．
同理，
S
△BFH
S
△CFH
，
S
CGH
=S
D GH
，
∴
S
阴影
S
长方形ABCD
56 28
（平方厘米）．

【练练2答案】
A
D
G
E
B
F
C
E
B
F
A
6
5
4
3
1
G
2
C
H
D
1
2
1
2

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【分析】
把另外 三个三等分点标出之后，正方形的
3
个边就都被分成了相等的三
段.把
H和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了
9
个形状各不相同的三角形.这
9
个三角形的底边分别是在正方形的
3
个边
上，它们的长度都是正方 形边长的三分之一.阴影部分被分割成了
3
个三
角形，右边三角形的面积和第
1
第
2
个三角形相等：中间三角形的面积
和第
3
第
4
个三角形相等；左边三角形的面积和第
5
个第
6
个三角形相等.
因此这
3
个阴影三角形的面积分别是
ABH
、
BCH
和
CDH
的三分之一，
因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一.正方形 的面积是
144
，阴影部分的面积就是
48
.













【练练3答案】
D
G
C
S
4
S
3
B
D
F
G
C
S
4
S
3
B
F
S
1
H
O
S
2
A
E
S
1
H
O
S
2

A
E

【分析】
如右图，连接
AO
、
BO
、
CO
、
DO
，则可判断出，每条边与
O
点所构
成的三角形都被分为面积 相等的两部分，且每个三角形中的两部分都分
属于
S
1
S
3
、
S
2
S
4
这两个不同的组合，所以可知
S
1
S
3
S
2
S
4
．
30
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【练练4答案】
A
E
B
D
C

【分析】
∵
CE3AE
，∴
AC4AE
,
S
ADC

4
S
ADE
;
又∵
DC 2BD
,∴
BCDC
,
S
ABC
S
ADC
6S
ADE
120
（平方厘米）．


【练练5答案】
B
D
E
G
A
H
J
K
C
I
3
2
3
2
F

2
BC10
，
9
【分析】
由题意可知，
BD< br>:
BCS
BAD
:
S
ABC

2:9
，所以
BD
2
CDBCBD35
；又
DI:DC S
DIF
:S
DFC
2:5
，所以
DIDC14
，同
5
样分析可得
FK10
，所以
DIFK141 024
．






【练练6答案】
A
E
D
B
F
C

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【分析】
图中阴 影部分的面积等于长方形
ABCD
面积的一半，即
4326
(平方厘米)．


【练练7答案】

【分析】
根据面 积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一
半，所以阴影部分的面积也等于平行四边 形面积的一半，为
50225
平方厘米．

【练练8答案】
A
B
F
D
E
C

【分析】
根据 面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为
1
2012120
．
2

【练练9答案】
黄
红
绿
红

【分析】
黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长，高相加为长方形
的宽 ，所以黄色三角形与绿色三角形的面积和为长方形面积的
50%
，而
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32

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绿色三 角形面积占长方形面积的
15%
，所以黄色三角形面积占长方形面
积的
50% 15%35%
．
已知黄色三角形面积是
21cm
2
，所以长方 形面积等于
2135%60
（
cm
2
）．








【练练10答案】
HH
A
E
D
A
E
G
D
G
BFC
B

FC

【分析】
连接DE
，
DF
，
则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍．
三 角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积
S
△DEF
661. 5622624.54216.5
,所以长方形EFGH面积为
31

【练练11答案】
F
AB
G
D
E
C< br>F
AB
G
D
E
C

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33

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【分析】
本题主 要是让学生了解并会运用等底等高的两个平行四边形面积相等和
三角形面积等于与它等底等高的平行四边 形面积的一半．
证明：连接
BE
．(我们通过
△ABE
把这两个看 似无关的平行四边形联
系在一起．)
∵在平行四边形
ABCD
中，
S
△ABE
ABAB
边上的高，
∴
S
△ABES
1
2
ABCD
1
2
．
AEGF
同理，
S
△ABE
S

【练练12答案】
D
1
2
，∴平行四边形
ABCD
与
AEGF
面积相等．
F
36
46
C
E
15
AB
第12题
ABCD

1
2
ABCD
1
【分析】
根据题意：
S
DFA
S
FCB
S
2
，
S
BCE
SS
DAF
S
FCB
，所以
S
阴影
 15364697
（平方米）。


【练练13答案】
A
乙
F
甲
B
E
丙
C
D

【分析】
因为乙、丙两个三角形面积相等，底
DFFC
．所以
A
到
CD
的距离与
E
到
CD
的距离相等，即
AE
与
CD
平行，四边形
ADCE
是平行四边形，阴
影部分 的面积

平行四边形
ADCE
的面积的，所以阴影部分的面积
1
2
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34

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乙的面积
2．设甲、乙、丙的面积分别为
1
份，则阴影面积为
2
份，梯
形的 面积为
5
份，从而阴影部分的面积
325212.8
（平方厘米）．

【练练14答案】
A
F
C
D
B
ED
B
A
F
C
E
D
B
A
FC
E

【分析】
方法一：连接
BF
,由图知
S
△ABF

16

2

8
,所以
S
△BEF

16

8

3

5
,又由
S
△ACF
4
,恰好是
△AEF
面积的 一半，所以
C
是
EF
的中点，因此
S
△BCE
S
△BCF
522.5
,所以
S
△ABC

1 6

3

4

2.5

6.5

方法二：连接对角线
AE
．
∵
ADEF
是长方形
∴
S
ADE
S
AEF
S
∴
1
2
ADEF

DBS
ADB
3FC
S
ACF
1

，


DES
ADE
8EFS
AEF
2
BEDEDB5CEFECF1
∴

，


DE DE8EFEF2
1515
∴
S
BEC
16

2822
13
∴
S
ABC
S
ADEF
S
ADB
S
ACF
S
CBE

．
2






【练练15答案】
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35

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A
H
E< br>G
D
A
M
H
E
N
D
G
B< br>F
C

B
F
C

【分析】 < br>如图所示，设
AD
上的两个点分别为
M
、
N
．连接< br>CN
．
根据面积比例模型，
CMF
与
CNF
的 面积是相等的，那么
CMF
与
BNF
的面积之和，等于
CNF
与
BNF
的面积之和，即等于
BCN
的面
1
积 ．而
BCN
的面积为正方形
ABCD
面积的一半，为
10
2
50
．
2
又
CMF
与
BNF
的面积之和与阴影部分的面积相比较，多了2个四边
形
EFGH
的面积，所以阴影部分 的面积为：
505240
．

【练练16答案】
A
D
O
E
B
F
G
C

【分析】
从整体上来看，四边形
EFGO
的面积

三角形
AFC
面积

三角形
BFD
面
积

白色部分的面积，而三角形
AFC
面积

三角形
BFD
面 积为长方形面
积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面
积，即1207050
，所以四边形的面积为
605010
．
利用图 形中的包含关系可以先求出三角形
AOE
、
DOG
和四边形
EFGO
的面积之和，以及三角形
AOE
和
DOG
的面积之和，进而求出四边 形
EFGO
的面积．
由于长方形
ABCD
的面积为
15 8120
，所以三角形
BOC
的面积为
13
30
，所以 三角形
AOE
和
DOG
的面积之和为
1207020
；
44
11

又三角形
AOE
、
DOG
和四边形
EFGO
的面积之和为
120




30
，

24

120
所以四边形
E FGO
的面积为
302010
．
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【练练17答案】
D
M
O
AB
P
N
C

1
【分析】
方法一：
S
△DPB
S
△CPA< br>S
矩形ABCD
18
,所以空白面积是
18

3
S
△AOB

24
,所
2
以阴影部分面积为362412
(平方厘米)．
方法二：因为三角形
ABP
面积为矩 形
ABCD
的面积的一半，即18平方
厘米，三角形
ABO
面积为矩 形
ABCD
的面积的，即9平方厘米，又
四边形
PMON
的面积为3 平方厘米，所以三角形
AMO
与三角形
BNO
的
面积之和是
18936
平方厘米．
又三角形
ADO
与三角形
BCO的面积之和是矩形
ABCD
的面积的一半，
即18平方厘米，所以阴影部分面积为
18612
(平方厘米)．

【练练18答案】
D
M
O
AB
P
N
C
1
4

【分析】
因为三角形
ADO
与三角形
BCO
的面积之和是 矩形
ABCD
的面积的一半，
即12平方厘米，又三角形
ADM
与三 角形
BCN
的面积之和为
7.8
平方厘
米，则三角形
AMO
与三角形
BNO
的面积之和是
4.2
平方厘米，则四边形
P MON
的面积

三角形
ABP
面积

三角形
AMO
与三角形
BNO
的面积之和

三角形
ABO
面积
124.261.8
(平方厘米)．

【练练19答案】
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37

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A
B
F
A
H
G
M
B
F


【分析】
如图，过
F
作
FH
∥
AB< br>，过
E
作
EG
∥
AD
，
FH
、EG
交于
M
，连接
AM
．
D
E
C< br>D
E
C
则
S
矩形ABCD
S
矩形AGMH
S
矩形GBFM
S
矩形MFCE
S
矩形HMED
AGAH2S
AMF
2S
EMF
2S
AME

DEBF2S
AEF

11321767


【练练20答案】
A
P
D
B
C

11
【分析】
由 于
ABCD
是长方形，所以
S
△APD
S
△BPC
S
ABCD
，而
S
△ABD
S
ABCD
，所
22
以
S
△APD
S
△BPC
S
△A BD
，则
S
△BPC
S
△PAB
S
△PBD< br>，所以
S
△PBD
S
△BPC
S
△PAB
1358
．

【练练21答案】
A
E
P
F
G
D
B
HC
A
E
P
G
D
F
B
HC

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38

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【分析】
(法1 )设
PGD
的
GD
边上的高为
h
1
，
 PEB
的
PE
边上的高为
h
2
．则
111

h
1
h
2

AGGD

AG h
1
GDh
1
PEh
2
S
PBD8
，整理得
222
1111
GDh
2
AGh< br>1
8
，即
S
PHCF
S
PGAE
8< br>，所以
2222
S
PHCF
S
PGAE
16(平方分米)．
(法2)根据差不变原理，要求平行四边形
PHCF
的面积与平 行四边形
PGAE
的面积差，相当于求平行四边形
BCFE
的面积与平行四边 形
ABHG
的面积差．
如右上图，连接
CP
、
AP
．
由于
S
 BCP
S
ADP
S
ABP
S
BDP
 S
ADP
S
ABCD
，所以
S
BCP
S< br>ABP
S
BDP
．
而
S
BCP
 S
BCFE
，
S
ABP
S
ABHG
，所以S
BCFE
S
ABHG
2

S
BCP< br>S
ABP

2S
BDP
16
(平方分米) ．
1
2
1
2
1
2


【练练22答案】
D
Z
A
Y
C
B
111
【分析】
∵
Y
是
BD
的中点，
Z
是
DY
的中点，∴
ZYDB
，
S
ZCY
S
DCB
，
224
111
又∵
ABCD
是长方形，∴
S
ZCY
S
DCB
S
ABCD
24
(平方厘米)．
442



【练练23答案】


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39

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【分析】
BC CD75237.5
,根据面积相等，底的比与高的比成反比例，所以
BC:CD16 :148:7
,因此
BC37.5(87)820
,平行四边形
ABCD
的面积
是
2014280
平方厘米

【练练24答案】
A
E
D
O
F
B
G
C

【分析】
解法一:要求
OG
的长，可以先求出
FO
，而< br>FO
是
EFO
和
CFO
的底，两
个三角形的高的 和等于长方形的宽，并且它们的面积和是
CEF
的面
积．所以
FO32 88
,所以
OG12FO4
(厘米)．
解法二：可以从图上得 出
ADFGBC
,连接
FD
、
DO
．如下图所
示：
A
E
D
1
2
F
B
O
G
因此
S
DFO
S
EFO
,也就有
S
DFO
S
CFO
S
EFO
而
S
CFD
12848
(平方厘米)．所以
1
2
C

S
CFO
32
(平方厘米),
S
COD
S
CFD
(S
DFO
S
CFO
)4832 16
(平方厘米)
故
OG2S
CDO
CD21684
(厘米)．







【练练25答案】

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A
O
D
C
B
1
【分析】
三角形
BOC
的面积为
36810

2


【练练26答案】
E
A
F
B


【分析】
本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形< br>和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高
的平行四边形面积的一半．
证明：连接
AG
.(我们通过
△ABG
把这两个长方形和正方形联系 在一
起)．
∵在正方形
ABCD
中，
S
△ABG
ABAB
边上的高，
∴
S
△ABG
S
半)
同理，
S
△ABG
S
EFGB
．
∴正方形
ABCD
与长方形
EFGB
面积相等. 长方形的宽
88106.4
(厘
米)．


【练练27答案】

A
M
H
E
G
ND
1
2
1
2
ABCD
D
G
C
1
2
(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一

B
F
C

41
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【分析】
如图所示，设
AD
上的两个点分别为
M
、
N
．连接
CN
．
根据面积比例模型，
CMF
与
CNF
的面积是相等的，那么
CMF
与
BNF
的面积之和， 等于
CNF
与
BNF
的面积之和，即等于
BCN
的面
1
积．而
BCN
的面积为正方形
ABCD
面积的一半，为
12
2
72
．
2
又
CMF
与BNF
的面积之和与阴影部分的面积相比较，多了2个四边
形
EFGH
的面积，所以四边形
EFGH
的面积为：

7260

 26
．
【练练28答案】
如图在
△ABC
中，
D在
BA
的延长线上，
E
在
AC
上，且
AB:A D5:2
，
AE:EC3:2
,
S
△ADE
12平方厘米，求
△ABC
的面积
DD
AA
E
B
C
B
E

【分析】
连接
BE
,
S
△ADE
:
S
△ABEAD
:
AB
2:5

(2

3):(5< br>
3)

S
△ABE
:S
△ABC
AE:AC3:(32)(35 ):

(32)5

,
所以
S
△ADE:
S
△ABC

(3

2):

5< br>
(3

2)


6:25
,设
S
△ADE
6
份，则
S
△ABC

25
份 ,
S
△ADE

12
平方厘米,所以
1
份是
2
平方厘米，
25
份就是
50
平方厘米，
△ABC
的
面积是
50
平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的< br>面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 (建议老师一定要把共角
定理的推理过程讲透，防止学生只记结果，而不知为什么)




C
【练练29答案】
如图在
△ABC
中，
D,E
分别是
AB,AC
上
AD:AB2: 5
,
AE:AC4:7
,
S
△ADE
16
平方 厘米，求
△ABC
的面积
A
A
的点，且
D
ED
E
BC
B
【分析】
连接
BE
,
S
△ADE
:
S
△ABE

AD
:
AB
2:5

(2

4):(5
4)
,
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C

42

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S
△ABE
:S
△ABC
AE:AC4:7(45):(75)
，所以
S< br>△ADE
:
S
△ABC

(2

4):(7

5)
,设
S
△ADE
8
份，则
S△ABC

35
份,
S
△ADE

16
平方厘米,所以
1
份是
2
平方厘米，
35
份就
是
70
平方厘米，
△ABC
的面积是
70
平方厘米．由此我们 得到一个重要的定理，
共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之< br>比．







【练练30答案】
AC
的长度是
AD
的
4
，且三 角形
AED
的面积是三角形
ABC
面积的一半。请问：
5
A
E
AE
是
AB
的几分之几？
C
B
D
【分析】
S
ABC
4
S
5
AED

ABD

ABD
12
S
ABC
S
25
AE
S
AED
2
∴
=

ABS
ABD
5
∴
S




【练练31答案】
园林小路，曲径通幽.如下图所示，小路由白色正方形石板和青、红两色的 三角
形石板铺成。问：内圈红色三角形石板的总面积大，还是外圈青色三角形石板
的总面积大？ 请说明理由.
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H
I
A
C

G
F
B
【分析】 < br>图中每相邻两个正方形和其间夹着的两个三角形都是经典精讲中的第4
类鸟头。以右图为例，S
△ABC
:
S
△HAG

(
ABAC):(
AHAG
)

1:1
。因此，
图中每一个红色 三角形和对应的绿色三角形面积都相等。那么内圈三角
形石板的总面积和外圈三角形石板的总面积一样大 。










【练练32答案】
如图以
△ABC
的三边分别向外做三个正方形
ABIH
、
ACFG
、
BCED
,连接
HG
、
EF
、
ID
，又得到三个三角形，已知
△ABC
的面积 是
10
平方厘米，则另外三个
三角形的面积和是多少？
H
I
A
B
C
G
F
D
E

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【分析】
因为< br>BACHAG180
,所以
S
△ABC
:
S
△HAG

(
ABAC
):(
AHAG
)

1:1
,所
以
S
△HAG

10
(平方厘 米)，同理另外两个三角形的面积也是
10
平方厘米，
所以另外三个三角形的面积和是
30
平方厘米


【练练33答案】
如图以直角三角形 的三边分别向外做三个正方形
ABIH
、
ACFG
、
BCED
,连接
HG
、
EF
、
ID
，又得到三个三角形，已知AB3
厘米，
AC4
厘米，求六边形
DEFGHI
的面积
H
I
B
A
F
C
G
D
E
【 分析】
因为
BACHAG180
,所以
S
△ABC:
S
△HAG

(
ABAC
):(
AHA G
)

1:1
,
S
△ABC
3426< br>(平方厘米)，所以图中四个三角形的面积和是
6424
（平方

厘米），再根据勾股定理有两个小正方形的面积和等于大正方形的面积，所以
三个正方形的面积和是2(3
2
4
2
)50
平方厘米，因此六边形的面积是602484
（平方厘米）







【练练34答案】
已知
△DEF
的面积为
7
平 方厘米，
BECE,AD2BD,CF3AF
，求
△ABC
的面
积．
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A
F
D
B
E
C
【分析】
S
△B DE
:
S
△ABC

(
BDBE
):(
BABC
)

(1

1):(2

3)

1:6
，
S
△CEF
:S
△ABC
(CE CF):(CBCA)(13):(24)3:8

S
△ADF
: S
△ABC
(ADAF):(ABAC)(21):(34)1:6


设
S
△ABC

24
份，则
S
△BDE

4
份，
S
△ADF

4
份，< br>S
△CEF

9
份，
S
△DEF
244 497
份，恰好是
7
平方厘米，所以
S
△ABC
< br>24
平方厘米

【练练35答案】
如图，三角形
ABC< br>的面积为3平方厘米，其中
AB:BE2:5
，
BC:CD3:2
，三
角形BDE的面积是多少？
A
B
C
E
A
B
C
D


［分析］
由于

ABC

DBE

180
,所以可以用共角定理，设
AB2
份,
BC3
份 ,则
BE5
份,
BD325
份，由共角定理
S
△ABC
:S
△BDE
(ABBC):(BEBD)(23):(55) 6:25
，设
S
△ABC

6
份,恰
D
好是
3
平方厘米，所以
1
份是
0.5
平方厘米，
2 5
份就是
250.512.5
平方
厘米，三角形
BDE
的面积是
12.5
平方厘米



【练练36答案】
如图所示，正方形
ABCD
边长为6厘米，
AE
平方厘米． A
D
11
AC
,
CFBC
．三角形
DEF< br>的面积为
33
E
B
F
C

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【分析】
由题意 知
AE
112
AC
、
CFBC
，可得
CEA C
．根据“共角定理”可
333
得，
S
△CEF
:
S
△ABC

(
CFCE
):(
CBAC
)< br>

1

2

:(3

3)

2:9
而
S
△ABC
66218
；所以
S
△CEF

4
同理
得,
S
△CDE
:
S
△ACD

2:3
;,
S
△CDE
1 83212
,
S
△CDF
6

故
S
△DEF
S
△CEF
S
△DEC
S
△DFC

4

12

6

10
(平方厘米)．



【练练37答案】
如图，已知三角形
ABC
面积为
1
，延长
AB
至
D
，使
BDAB
；延长
BC
至
E
，使
CE2BC
；延长
CA< br>至
F
，使
AF3AC
，求三角形
DEF
的面积．
FF
A
B
D
C
E
B
D
A
C
E

【分析】
用共角定理∵在
ABC
和
CFE
中，
ACB
与
FCE
互补，
∴
S
S
ABC
FCE
ABC


ACBC111

．
FCCE428
FCE
又
S
1
，所以
S
ADF
8
．
BDE
同理可得
S
所以
S


【练练38答案】
DEF

6
，
S
S
FCE
3
．
ADF
S
ABC
SS
BDE

1

8

6

3

1 8
．
已知三角形
ABC
面积为
1
，延长
AB至
D
，使
BDaAB
；延长
BC
至
E
，使
CEbBC
；延长
CA
至
F
，使
AFc AC
，求三角形
DEF
的面积．
F
A
B
D
C
E
【分析】
设根据共角定理
S
△ADF
S
△ABC
c
(1
a
)
,同理
S
△BDE
S
△ABC
a(1b)
,
S
△CEF
S
△ABC
b(1c)
,所以
S
△DEF
(abbccaabc1)S
△ABC
．

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【练练39答案】
如图所示，三角形ABC中，点X，Y，Z分别在线段AZ，BX， CY 上，且
YZ2ZC,ZX3XA,.
XY4YB
三角形XYZ的面积等于24， 求三角形ABC的面积.
A
X
B
Y
Z
C
【分析】
根据鸟头模型，
S
BYZ
S
XYZ
S
ACZ
S
XYZ
S
ABX
S
XYZ
11
 1
AXBX
34
5
5

，
S
AB X
2410
；
XYXZ1112
12

11< br>1
BYYC
42
3
3

，
S
BYZ
249
；
XYYZ118
8
11
 1
CZAZ
23
2
2

，
S
AC Z
2416
。
YZXZ113
3
S
ABC< br>109162459






【练练40答案】
如图，平行四边形
ABCD
，
BEAB
，
CF2CB
，
GD3DC
，
HA4AD
，平行四 边形
ABCD
的面积是
2
， 求平行四边形
ABCD
与四边形
EFGH
的面积比．
HH
A
G
D
F
B
C
E
G
A
D
F
B
C
E

【分析】
连接
AC
、
BD
．根据共角定理
∵在< br>△ABC
和
△BFE
中，
ABC
与
FBE
互补，
∴
S
△ABC
ABBC111

． < br>S
△FBE
BEBF133
又
S
△ABC
1
，所以
S
△FBE

3
．
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S
△GCF

8
，
S
△DHG

15
，
S
△AEH

8
．
所以S
EFGH
S
△AEH
S
△CFG
S
△ DHG
S
△BEF
S
ABCD

8

8

15+3+2

36
.
所以


【练练41答案】
平行四边形
ABCD
，
BEaAB
，
CFbCB
，
DGcDC
，
AHdAD
，求四边形< br>EFGH
的面积与平行四边形
ABCD
面积间的关系．
H
S
ABCD
21

.
S
EFGH< br>3618
A
G
D
F
B
C
E
【分析】
采用例题的方法，可得四边形
EFGH
的面积.最后得到公式

1
S
新
S
原
[1(abbccddaabcd) ]

2
【练练42答案】
如图所示，正方形
ABCD
边长 为
8
厘米，
E
是
AD
的中点，
F
是
CE
的中点，
G
是
BF
的中
点，三角形
ABG< br>的面积是多少平方厘米？
A
E
F
G
D
A
E
F
D
B
C
G

B
C

A
E
F
D

C
【分析】
连接
AF
．

因为
S
△BCF
S△CDE
8
2
16
。观察鸟头如右图，
S
AE F
S
ECD
1
4
AEEF1111
S
AEF
S
ECD
8cm
2

EDEC122 2
所以
S
ABF
641616824cm
2
，
S
ABG
24212cm
2
。
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另解：梯形中的 “一半”模型。
S
ABF
S
梯形ABCE


6416

24cm
2
，
S
ABG
24 212cm
2
。
1
2
1
2



【练练43答案】
如图，四边形
EFGH
中，
EAa AB
，
HDbDA
，
CGaDC
，
BFbCB
，求四边
形
ABCD
的面积与四边形
EFGH
面积间的关系．
H
D
A
E
【分析】
由共角定理得
H
C< br>B
G
D
C
B
G
F
A

E
F

S
△AHE
S
△CGF
a(1 b)S
四边形ABCD
,
S
△HDG
S
△BEF
b(1a)S
四边形ABCD
，所以
S
四边形EFGH

a(1b)b(1a)1

S
四边形ABCD
(2 abab1)S
四边形ABCD




【练练44答案】
如图，将四边形
ABCD
的四条边
AB
、
CB
、
CD
、
AD
分别延长两倍至点
E
、
F
、
G
、
H
，若四边形
ABCD
的面积 为5，则四边形
EFGH
的面积是 ．
F
B
C
A
D
H
【分析】
连接
AC
、
BD
．
F
B
C
A< br>D
H
G
E
G
E

由于
BE2AB
，
BF2BC
，于是
S
BEF

4
S
ABC
，同理
S
HDG
4S
ADC< br>．
于是
S
BEF
S
HDG

4S
ABC

4
S
ADC

4
S< br>ABCD
．
再由于
AE3AB
，
AH3AD
， 于是
S
AEH

9
S
ABD
，同理
S
CFG
9S
CBD
．
于是
S
AEHS
CFG

9
S
ABD

9
S
CBD

9
S
ABCD
．
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那么
S
E FGH
S
BEF
S
HDG
S
AEH
 S
CFG
S
ABCD
4S
ABCD
9S
A BCD
S
ABCD
12S
ABCD
60
．



【练练45答案】
如图，在
△ABC
中，延长
AB
至
D
,使
BDAB
，延长
BC
至
E
,使
CE
中点，若
△ABC
的面积是
2
，则< br>△DEF
的面积是多少？
1
BC
，
F
是
A C
的
2
A
F
B
D
【分析】
(法
1
) 利用共角定理
C
E

∵在
△ ABC
和
△CFE
中，
ACB
与
FCE
互补，
∴
S
△ABC
ACBC224

．
S< br>△FCE
FCCE111
ABC
又
S
2
，所以
S
FCE
0.5
．
同理可得
S
△ADF

2
，
S
△BDE

3
．
所以
S
△DEF
S
△ABC
S
△CEF
S
△D EB
S
△ADF

2

0.5

3
2

3.5




【练练46答案】
图中三角形
ABC
的面积是180平方厘米，
D
是
BC
的中点，
AD
的长是
AE
长的3
倍 ，
EF
的长是
BF
长的3倍．那么三角形
AEF
的面积是多少平方厘米？
A
E
F
B
【分析】
ABD
，
ABC等高，所以面积的比为底的比，有
S
S
ABD
ABC
D

BD1

,
BC2
C

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所以
S
S
ABE
S
ABD
=
ABD
1
2

AE
S
AD
1
18090
(平方厘米)．同理有
ABC
2
1FE3
9030
(平方厘米)，
S
AFE
S
ABE

3022.5
(平方厘
3BE4
米)．即三角形
AEF
的面积是22.5平方厘米





【练练47答案】
如图是一个正六角 星纸板，其中每条边的长为5。现在沿虚线部分剪开，那么较小的那部
分占到整体面积的几分之几？
A
D
B
E
C

【分析】
对图形进行分割 ，分割过程如下：即所给我我们的图形共有12个小正
三角形组成，令每一个小正三角形的面积为1，则 根据鸟头模型有：
S
三角形BDE
S
三角形BAC

BD BE1113143
。所以四边形ACDE的面积为：

ABAC1515 225
82

143

19
。

25

225

107
107
82107
所以较 小的残片的面积为：
1
.所以较小残片占整个面积的：
25


12300
2525


【练练48答案】
如图，
ADDB
，
AEEFFC
，已知阴影部分面积为5平方厘米，
AB C
的面
积是 平方厘米．
B
D
A
EF
C

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【分析】
S△ADE
S
△DEF
,
S
△ADE
:S
△A BC
(AEAD):(ACAB)(11):(23)1:6
,所以
S
△ABC
5630
（平方厘米）

【练练49答案】 如图，长方形
ABCD
的面积是1，
M
是
AD
边的中点 ，
N
在
AB
边上，且
AN
1
BN
．那么 ，阴影部分的面积等于 ．
2
A
N
B
【分析】
设
AD2a
，
AB3b
，则
S
ABCD
2a 3b6ab1
．
1
2
1
．
12
M
D
C

又
AMa
，
A Nb
，则
S
△AMN
ab
∴




S
阴影
＝S
ABD
S
AMN

115

．
21212
【练练50答案】
如图在△ABC
中，
D,E,F
分别是
AB,AC,BC
边上的点，且
BD:AD5:2,BF:FC3:5,CE:AE2:3
，
△DEF
的面积为
43.5
平方厘米，则
△ABC
的面积是 平方厘米
A
D
E
B
C
F
【分析】
根据 鸟头定理分别求
△BDF
,
△CEF
,
△ADF
的面积与< br>△ABC
的面积的关

系，
S
△BDF
:S
△ABC
(53):(78)15:5675:280
,
S
△CE F
:S
△ABC
(25):(58)1:470:280
,
S
△ADE
:S
△ABC
(23):(75)6:3548:2 80
,设
S
△ABC
280
份，则
S
△DEF< br>28075704887
份，恰是
43.5
平方厘米，所以
△ABC
的面积
是
140
平方厘米

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【练练51答案】
如图以
△ABC
的三边分别向外做三个正方形
A BIH
、
ACFG
、
BCED
,连接
HG
、
EF
、
ID
，又得到三个三角形，已知六边形
DEFGHI
的面积 是
77
平方厘米，三个
正方形的面积分别是9、16、36平方厘米，则三角形
ABC
的面积是多少？

H
I
A
B
C
G
F
D
E
【分析】
因为
∠BAC∠HAG180,所以
S
△ABC
:
S
△HAG

(
ABAC
):(
AHAG
)

1:1
,同
< br>理可以得到四个三角形的面积相等，所以
S
△ABC
(7791636 )44
(平方厘米).

【练练52答案】
如图，已知三角形
ABC
面积为
1
，延长
AB
至
D
，使
B DAB
；延长
BC
至
E
，使
CE2BC
；延长
CA
至
F
，使
AF3AC
，求三角形
DEF的面积．
FF
A
B
D
C
E
B
DA
C
E
［分析］ (法
1
)本题是性质的反复使用(还可以用燕 尾定理，但本讲不用这种方法，燕尾定
理我们会放到五年级春季再讲)．

连接
AE
、
CD
．
∵
S
S
AB C
DBC
1

，
S
1
ABC
1
，
∴
S
DBC
1
．
同理可得其它，最后三角形
DEF
的面积
18
．
(法< br>2
)用共角定理∵在
ABC
和
CFE
中，
ACB< br>与
FCE
互补，
∴
S
S
ABC
FCE< br>ABC

ACBC111

．
FCCE428< br>FCE
又
S
1
，所以
S8
．
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同理可得
S
所以
S




【练练53答案】
DEF
ADF

6
，
S
BDE
3
．
ADF
S
ABC
S
FCE< br>SS
BDE

1

8

6
< br>3

18
．
如图，四边形
EFGH
的面积是
66
平方米，
EAAB
，
CBBF
，
DCCG，
HDDA
，求四边形
ABCD
的面积．
H
DA
E
C
B
G
H
D
C
B
GF
A
E
F

【分析】
连接
BD< br>．由共角定理得
S
△BCD
:
S
△CGF

(
CDCB
):(
CGCF
)

1:2
，即< br>S
△CGF
2S
△CDB

同理
S
△AB D
:
S
△AHE

1:2
，即
S
△AHE

2
S
△ABD

所以
S
△AHE
S
△CGF

2(
S
△CBD
S
△ADB< br>)

2
S
四边形ABCD

连接
AC
，同理可以得到
S
△DHG
S
△BEF

2
S
四边形ABCD

S
四边形EFGH
S
△AHE
S
△CGF
S
△HDG
S
△BEF
S
四边 形ABCD
5S
四边形ABCD

所以
S
四边形ABCD

66

5

13.2
平方米


【练练54答案】
把四边形ABCD的各边都延长2倍，得到一个新的四边形EF GH。如果ABCD
的面积是5平方厘米，则EFGH的面积是多少？
H
E
D
A
B
F
G
C
【分析】
多次运用共角定理进行求解。
连接AC，BD。由共角定理

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S
ABD
ABAD111


S
AEH
AEAH236



S
AEH
S
CFG
6S
ABCD

S
BCD
BCCD111

S
CFG
CFCG236


















同理可得，
S
BEF
S
DG H
6S
ABCD
，
S
EFGH
(661)S< br>ABCD
13565cm
2

【练练55答案】
在四 边形ABCD中，其对角线AC、DB交于E点。且AF=CE，DE=BG。已
知四边形ABCD的面 积为1，求
△EFG
的面积是多少。
D
E
A
F
B
G
C
S
AEBE
S
ADE
DEAE
【分析】
ABE

,

,

S
EF G
EFBGS
EFG
EFBG
S
BCE
BECE
S
CDE
DECE
,,

S
EFG
EFBGS
EFG
EFBG


S
ABCD
AEBEDEAEBECEDECE(AECE)(B EDE)ACBD

S
EFG
EFBGEFBGEFBG< br>AFCEEFAC;BGDEEGBD

S
ABCD
1
S
EFG
S
ABCD
1

S
EFG




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