秋季小五班第1讲等积变形答案与补充
元芳体-金刚经原文
A.6
问题补充：E，F在AB上，从上到下依次为A,E,F,B
设梯形的高为H，AE所占的高为m.
则
Sade + Sbcf = m
( AD + BC ) 2 .... (1)
Sadf + Sbce = ( H -
m) * (AD + BC ) 2 ........(2)
(1) + (2) = H *
(AD + BC) 2, 正好是梯形的面积
(1) + (2)式的左边， Sade,
Seof, Sbcf 被加了两次，
也就是说, Sade + Seof + Sbcf =
Scod,
所以 Seod + Scof = 34 - 11 * 2 = 12.
B.1
如图所示，在平行四边形ABCD中，EF与AC平行。如果三角形BFC的面积是3
5平方厘米，
那么三角形AEC的面积能不能确定？如果能，它的面积是多少，应该怎么解？如果不能，
请说出理由。
连接AF
因为AB平行于CD，所以三角形BFC的面积等于三角形AFC的面积（同底等高）
又因为EF平行于AC，所以三角形AFC的面积等于三角形AEC的面积（同底等高）
所以三角形AEC的面积能确定，它的面积是35平方厘米
答案补充
因为AD平行于BC，所以三角形AEB的面积等于三角形AEC的面积（同底等高）
所以还是35平方厘米
B.6
如图，有一个长6厘米，宽4厘米的长
方形
ABCD
，已知线段
DG
、
AH
、
AE
、
BF
的长
度依次是1，2，3，4厘米，且四边形
AEPH
的面
积是5平方厘米，求四边形
PFCG
的面积
是多少平方厘米？
A
H
P
E
B
F
C
D
G
1
C.1
三角形BDP 和 三角形DCP 在BC边上的高是相同的，BD：DC=40：30
三角形BDA 和 三角形DCA
在BC边上的高是相同的，所以面积比等于BD：
DC=40：30。
设三角形BFP面积为S1，三角形CEP面积为S2
可得方程1
（84+S1+40）：（70+S2+30）=4：3
又有三角形AFP与三角形BFP之
比等于三角形AFC与三角形BFC之比，同等
于点A到边CF的距离和点B到CF的距离之比。
由此可得方程2：
84：S1=（84+70+S2）：（S1+40+30）
两方程联立，解方程组就完事了
C.2
2
C
E
A
D
B
解：连接AE
因为三角形ACE和三角形ADE在AC（AD）边上的高相等
AD=14AC
所以三角形ACE的面积：三角形ADE的面积=4：1
三角形ACE的面积=0.8三角形CDE的面积
因为三角形CDE的面积是三角形ABC的一半
所以三角形ACE的面积=0.4三角形ABC的面积
因为三角形ACE与三角形ABC在CE(CB)上的高相等
所以CE:CB=2：5
所以BE的长是BC的五分之三
C.3
∵S△DEF=12S△AEF ∴AF=2FD
∵S△BCD=15S△ABC ∴CD=12*15=125(厘米)
FD=(12-125)(1+2)=165(厘米) AF=165*2=325(厘米)
∵S△ADE=34S△ADB ∴AE=34AB=34*12=9(厘米)
则EB=12-9=3(厘米)
C.4
老师总说找到正五边形和正六边形的中点
，然后分别像各个顶点连结线段。就可以把正
五边形分成5个面积相等的等腰三角形，把正六边形分成6
个面积相等的等边三角形。
请问谁能告诉我怎样找正五边形和正六边形的中点？谁能证明分成的三角形分
别是5
个面积相等的等腰三角形和6个面积相等的等边三角形？
如图A
连接EB 再连接CF 再连接AD 它们的交接点便是正六边形的中点。
3
如图二 连接A点到线段的中点”连接B点到“ED线段的中点”
连接E点到“BC
线段的中点” 连接C点到“AE线段的中点”
连接D点到“AB线段的中点“。它们的交接
点便是正五边形的中点。
因为正五边形（正六边形）的边长相等 到中点的距离也相等
分出来等腰三角形底
便是正五边形（正六边形）边长 等腰三角形的高便是边长到中点的距离
三角形的面积
公式是 底×高÷2
所以分成的三角形分别是5个面积相等的等腰三角形和6个面积相
等的等边三角形
C.6
以为例，内外三角形面积相等（两边相等，夹角互补的三角形，面积相等）
相似例题：
【1】园林小路,曲径通幽.如下图所示,小路由白色正方形石板和内外两种三角
形石板铺成.
问：内圈三角形石板的总面积大,还是外圈三角形的总面积大?说项说明原因？
【分析与解】外圈三角形面积大。以为例，内外三角形面积相等（两边相等，夹角互
补的三角形
，面积相等），但外圈三角形多了两个，所以外圈三角形面积大。
【评析】共角定理：两个三角形，如有一个角相等或互补，面积比等于此角两边边长积之比。
4
三角形的等积变形试题
5
6
答案：
7
8
9
10
【直线形计算】三角形的等积变形解析
11
12
13
14
15
16
1.
下图中阴影部分甲的面积与阴影部分乙的面积哪个大？
17
2. 求下图中，阴影部分的面积占总面积的几分之几？
3. 下图中大正方形的边长为3厘米，小正方形的边长为2厘米，求阴影部分的面积。
4. 你能看出下面两个阴影部分A与B面积的大小关系吗？（两个长方形面积相等）。
5. 下图中阴影部分占总面积的几分之几？
6.
把正三角形（等边三角形）每边三等分，将各边的中间段取来向外面作小正三角形，得
18
到一个六角形，再将这个六角形的六个“角”（即小正三角形）的两边三等分
，又以它的中间
段向外作更小的正三角形，这样就得到下图所示的图形，如果所作的最小三角形的面积为
1，
求整个图形的面积。
二. 尝试练习：
1. 有一张等腰直
角三角形的纸片，沿它的斜边上的高把这个三角形对折；再沿小三角形的
斜边上的高把它对折；再沿更小
三角形斜边上的高把它对折。这时，得到一个直角边的长是
2厘米的等腰直角三角形（如下图中阴影部分
）。那么，原来的等腰直角三角形纸片的面积
是多少平方厘米？
2. 如下
图，已知三角形ABC面积是1平方厘米，延长AB至D，使BD=AB，延长BC至
E，使CE=2B
C，延长CA至F，使AF=3AC，求三角形DEF的面积。
问题：如图1，D是任意一个三角形ABC的AB边上的中点，E是BC边上的中点。连接
CD和AE
两条线段，将三角形ABC分为了四个部分。如果假设三角形ABC的面积为1，
那么这四个部分的面积
分别是多少？
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问题如图
3，D是任意一个三角形ABC的AB边上的中点，E和F两点将BC边平均分为三
段。连接CD、AE
和AF三条线段，将三角形ABC分为了六个部分。如果假设三角形ABC
的面积为1，那么这六个部分
的面积分别是多少？
问题如图6，D、E分别是任意一个三角形ABC的AB边上的三等
分点，G和F两点分别是
BC边上的三等分点。连接CD、CE、AF和AG四条线段，将三角形ABC
分为了九个部分。
如果假设三角形ABC的面积为1，那么这九个部分的面积分别是多少？
问题在图9中，AE∶EC＝1∶2，CD∶DB＝1∶4，BF∶FA＝1∶3，△ABC的面积S＝
1，
那么四边形AFHG的面积SAFHG____。
2.如右图，四个
一样大的长方形和一个小的正方形拼成一个大正方形，其中大、小正方
形的面积分别是64平方米和9平
方米.求长方形的长、宽各是多少？
20
3.如右图， ABCD的边长BC=10，直角三角形BCE的直角边EC长8，已知阴影部分<
br>的面积比△EFG的面积大10.求CF的长.
4.如右图，大圆的直径为4厘米，求阴影部分的面积。
5.如右图，大扇形半径是6厘米，小扇形半径是3厘米.求阴影部分的面积。
1.右图
是一个圆心角为45°的扇形，其中直角三角形BOC的直角边为6厘米，求阴影部分面
积。
2.在右图中，阴影部分A的面积比阴影部分B的面积大10.5平方厘米，求线段BC的
长度？
3.一个直径为10厘米的圆，如左图.圆内有一个扇形，扇形的弧长为3.14厘米，求扇形
的面积。
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1．如下图1，D、E、F分别是B
C、AD、BE的三等分点，已知S△ABC=27平方厘米，求
S△DEF．
2．如下左图2，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AC、BC的三等分点，且SABCD=54
平方厘米，求
S△BEF．
图1 图2
图3
3．如上页右图3，将四边形ABCD各边都延长一倍至
A'、B'、C'、D'．连接这些点得
到一个新的四边形 A' B' C'
D'．如果四边形ABCD的面积是1，求四边形A'B'C'D'的面积．
1.用四个相同的长方形
拼成一个面积为100平方厘米的大正方形(见右图),每个长方形的周长
是 厘米.
2.将一个正方形划分为9个小长方形,如图,这些小长方形周长的总和是96厘
米,这个大正
方形的面积是 平方厘米.
22
3.右图的长方形被分割成5个正方形,已知长方形的面积为120平方厘米,长方形的长是
厘
米、宽是 厘米.
4.右图中有9个小长方形.按其编号1
,2,3,4,5号的面积分别是1平方米、2平方米、3平方
米、4平方米、5平方米,那么6号长方
形的面积是 平方米.
5.要砌一个面积是72平方米的长方形猪圈,当以米
为长度单位时,长方形的边长都是自然数,
这个猪圈的围墙总长最少是 米.
6.右图的长方形被分割成大小不等的6个正方形,已知中央的小正方形的面积为1平方厘
米,长方形的
面积是 平方厘米.
7.右图中5个阴影所示的图形都是正方形,所标
的数字是邻近线段的长度.那么阴影所示的
5个正方形面积之和是 .
23
8.下图大正方形的面积是128平方厘米,阴影部分的总面积是 平方厘米.
9.四个一样的长方形和一个小正方形拼成一个大正方形,大小正方形的面积分别为64平
方厘
米和9平方厘米.长方形的面积是 平方厘米.
10.一
个长方形,如果宽不变,长增加8米,面积增加72平方米,如长不变,宽减少4米,面积减
少48平方
米.求原长方形面积是 .
二、解答题
11.在一块长60米,宽
40米的长方形庭院正中央,设计了“丁字形”甬路.已知甬路宽2米,横
甬路到两边的距离相等,竖甬
路到两边距离也相等.如图.
(1)求“丁字形”甬路的周长是多少米?
(2)求“丁字形”甬路的面积是多少平方米?
24
12.用同样大小的长方形纸片摆成下图,已知每张小纸片的宽是12厘米,求阴影部分的面积.
13.有两个完全相同的长方形,如果把它们的长连在一起拼成一个新长方形,
周长比原一个长
方形增加10厘米;如果宽连一起拼成一个新长方形,周长比原一个长方形增加16厘米
.求原每
个长方形的面积.
14.某工厂的一座新厂房建筑在一块边长是25米的正方形场地上,厂房的横竖都宽5米,如图.
(1)求工字形新厂房的周长是多少米?(用最简单的方法解答)
(2)工字形新厂房的面积是多少平方米?
1.一个长方形被两条
直线分成四个长方形，其中三个长方形的面积已知（如图所示），求
阴影部分长方形的面积：（单位：平
方厘米）。
2.如果甲正方形的边长比乙正方形边长多3厘米，乙正方形的面积比甲
正方形面积少63
平方厘米，那么甲正方形的面积是（）平方厘米，乙正方形的面积是（ ）平方厘米。
3.有一个长方形打谷场，如果长增加3米，宽增加8米，打谷场就变成了正方形，面积
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也就增加251平方米。那么原来打谷场的面积是（）平方米。
4.一个长方形的周长是24米，如果长和宽各增加5米，那么面积将增加（ ）平方米。
5.有
一个长方形，如果把它的宽改为50米，而长不变，那么面积就减少680平方米。
如果把宽改为60米
，而长不变，那么面积比原来增加2720平方米。原来这个长方形的面积
是（）平方米。
6.如图，已知梯形ABCD的面积是45平方米，高6米，底边BC长10米，三角形AED
的面积是
5平方米。求阴影部分的面积。
7.如图，已知等腰直角三角形的斜边AB长10厘米，求这个三角形的面积。
8.如图，已知∠1=∠2 ∠3=∠4，∠A=80°。求∠BDC的度数。
9.下面图形中，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5，这5个角的和是多少度？
10.如图，已知正方形ABCD的边长是15分米，求图中阴影部分的面积。
11
.将三角形ABC的AB边延长到D，BC边延长到E，CA边延长到F，使DB=2AB，
EC=2B
C，FA=2AC，如果三角形ABC的面积是5平方厘米，那么三角形DEF的面积是多
少平方厘米？
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是边长为10厘米的正方形，BG比AG的一半多1厘米。求梯形AEFG的面
积。
13.在大小相等的两个等腰直角三角形中，各内接一个正方形（如图a，图b所示）。如
果图a中的内接正方形的面积是441平方厘米，那么图b中的内接正方形的面积是多少平方
厘米？
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