六年级下册数学讲义-小升初培优：第02讲 三角形面积——等积变形(上)(解析版)全国通用
打鸭子-建筑工地实习周记
第02讲
三角形面积——等积变形（上）
教学目标：
1、让学员理解并掌握等积变形的思想方法；
2、把等积变形的知识点与生活实际问题结合起来；
3、让学员在操作、观察、填表、讨论、
归纳等数学活动过程中，体会等积变形、转化等数
学思想方法，发展空间观念，发展初步的推理能力。
教学重点：
掌握等积变形的思想方法。
教学难点：
等积变形在实际问题中的应用。
教学过程：
【环节一：预习讨论，案例分析】
【知识回顾——温故知新】（参考时间-2分钟）
1. 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，可以用符号“
□
”表示。
从
□
ABCD的一边AD上一点向对边BC画垂线，这点和垂足之间的线段叫做平
行
四边形BC边上的高，边BC叫做平行四边形的底；
2.
平行四边形的对边相等、对角相等；平行四边形四条边确定了，它的形状、大
小还不能完全确定；
3. 如果用字母S表示平行四边形的面积，用a和h分别表示平行四边形的底和高，
那么平行
四边形的面积公式为：S=ah。（其中h是底a上的高）。
【知识回顾——上期巩固】（参考时间-3分钟）
如图，在一个平行四边形中，两
对平行于边的直线将这个平行四边分为9个小平行四
边形，如果原来这个平行四边形的面积为99cm<
br>2
，而中间那个小平行四边形（阴影部分）
的面积为19
cm
2
，求四边形ABCD的面积。
解析部分：把四边形ABCD的面积
分为阴影部分和周围空白的4个三角形来看。仔细
观察，可以发现：周围空白的4个三角形分别占所在平
行四边形（由2个小平行四边形
组成）的一半，则4个三角形的面积等于周围8个小平行四边形面积的一
半。
给予新学员的建议：对于图形进行纸上的多多操作并有所思考，画图尽可能的精确。
哈佛案例教学法：鼓励学员积极参与小组内的讨论，并积极发言进行回答，带动起课堂氛围。
参考答案：
S=（99-19）÷2+19=59（cm
2
）
【预习题分析——本期预习】（参考时间-7分钟）
如
图，在△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE，那么与△ABE等积的三
角形一共
有哪几个三角形？
A
E
B
D
C
解析部分：求三
角形的面积一般需要知道三角形的底和高，而本题这些条件都未知。但是由
于E是AD中点，所以△AB
E与△BED面积相等。又由于D是BC中点，所以△ABD与△
ACD面积相等。
给予新学员的建议：注意此题中的中点的内涵以及所带来的图形性质的特征变化。
哈佛案例教学法：引导学员多多在纸上进行图形的绘画，鼓励小组内的讨论和学习。
参考答案： S
△ABE
=S
△BED
=
S
△ACE
= S
△CDE
【环节二：知识拓展、能力提升】
【知识点分析——本期知识点】（参考时间-2分钟）
等积变形一般指三角形的等积变形，就是使三角形面积相等的变化，经常用到的结论有：
1.
等底等高的两个三角形面积相等；
2.
两个三角形的底在同一条直线上而且相等，底所对的角顶点是同一个，则面积
相等；
3. 如
果两个三角形的底（高）相等，一个三角形的高（底）是另一个三角形的几
倍，则这个三角形面积也是另
一个三角形面积的几倍；
4. 几个三角形的底相等，都在两条平行线的同一直线上，且同样长度底边
所对的
顶点在两条平行线的另一条上，则这几个三角形的面积相等。
【例题分析——讲解室】（参考时间-10分钟）
如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线长。
（1）求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？
（2）求三角形ABC的面积是三角形ADC面积的多少倍？
A
B
D
C
➢
△ABD与△ADC的底和高有什么关系？
➢ △ABC与△ADC的底和高有什么关系？
解析部分：BD的长度是CD的3倍，而对于△ABD与△ADC高相等，所以△ABD的面积
是△ADC的3倍。同理BC的长度是CD的4倍，所以△ABC的面积是△ADC的4倍。
给予新学员的建议：可以通过把此题中的图形特殊化一下进行计算，然后找到问题的规律。
哈佛案例教学法：引导学员在课堂上积极主动的把自己的想法表达出来，带动起课堂氛围。
参考答案：
BD是CD的3倍。所以S
△
ABD
=3S
△
ADC
BC是CD的4倍。所以S
△
ABC
=4S
△
ADC
【环节三：阶段复习】
【游戏环节——游乐场】（参考时间-2分钟）
游戏名称： 神算子
游戏规则：
请在四个“6”之间添上数学符号（包含括号），使其结果分别等于1、2、3、4、5、6。
6 6 6 6 6 6＝1
6 6
6 6 6 6＝2
6 6 6 6 6 6＝3
6 6 6 6
6 6＝4
6 6 6 6 6 6＝5
6 6 6 6 6
6＝6
参考答案：
6÷6+6-6=1，6×6÷6÷6=1，66÷66=1；
6÷6+6÷6=2；(6+6+6)÷6=3；6-(6+6)÷6=4；
(6×6-6)÷6=5，66÷6-6=5；(6-6)×6+6=6。
【练习分析——练习场（一）】（参考时间-7分钟）
将下图的三角形分成：（1）2个面积
相等的三角形；（2）3个面积相等的三角形：（3）4
个面积相等的三角形。
A
B
C
➢
如果把高确定了，那么底边要满足什么条件？
➢ 解决方法唯一吗？
解析部分：根据等积变形，三角形高确定的情况下，只需把底边相应变化符合题目要求
即可。
给予新学员的建议：学员需要有在纸上进行大量图形绘画的尝试精神，逐渐列举出所有情况。
哈佛案例教学法：引导学员对于图形进行观察，并对学员们进行即时性的提问，鼓励积极的
课堂发言。
参考答案：
（1）如下图，D、E、F分别是对应边上的中点，这样就将三角形分
成了2个面积相等的三
角形
（2）如下图，D、E是BC的三等分点，F、G分别是对应线段的中点；答案不唯一
（3）如下图，答案不唯一，以下仅供参考
【练习分析——练习场（二）】（参考时间-7分钟）
在三角形ABC中，BC=
8厘米，AD=6厘米，E、F分别为AB、AC的中点，三角形EBF
的面积是多少平方厘米？
A
F
E
D
B
C
➢ E、F是AB、AC中点可以得出什么结论？
➢
如果把△BEF的面积看成一份，那么△ABC的面积应该是几份？
解析部分：
因为E、F是AB、AC的中点，把S
△BEF
看成一份，那么S
△AEF
同
样是一份，而
S
△BCF
与S
△ABF
相等都是两份。那么S
△ABC
是四份。
给予新学员的建议：需要明确三角形的“底”和“高”的定义，然后做出正确的处理。
哈佛案例教学法：鼓励学员多多亲自动手进行画图探索，提升对于图形的画图能力和敏感度。
参考答案：
S
△ABC
=ah÷2
=6×8÷2
=24（平方厘米）
24÷4=6（平方厘米）
【本节总结】
等积变形一般指三角形的等积变形，就是使三角形面积相等的变化，经常用到的结论有：
1.
等底等高的两个三角形面积相等；
2.
两个三角形的底在同一条直线上而且相等，底所对的角顶点是同一个，则面积
相等；
3. 如
果两个三角形的底（高）相等，一个三角形的高（底）是另一个三角形的几
倍，则这个三角形面积也是另
一个三角形面积的几倍；
4. 几个三角形的底相等，都在两条平行线的同一直线上，且同样长度底边
所对的
顶点在两条平行线的另一条上，则这几个三角形的面积相等。