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九年级数学上册1-
4用一元二次方程解决问题专 项练习三等积变形面积问题新版苏
科版




















编 辑：__________________


时 间：__________________






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第一章 第4节 用一元二次方程解决问题专项练习三
三、 等积变形、面积问题3：
1．如图，要 利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为4
00平方米的三个大小相同的矩 形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？



2．如图1，为美化 校园环境，某校计划在一块长为100米，宽为60米的长方形空地上修
建一个长方形花圃，并将花圃四 周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为
a
米﹒
（1）用含
a
的式子表示花圃的面积；
（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；
（3）已知某园林公 司修建通道的单价是50元米
2
，修建花圃的造价
y
（元）与花圃的修
建面积
S
（
m
2
）之间的函数关系如图2所示，并且通道宽
a
（米）的值能使关于
x
的方程
x
2
-
ax+25
a
-
150有两个相等的实根，并要求修建的通道的宽度不少于5米且不超 过12米，如果学校
决定由该公司承建此项目，请求出修建的通道和花圃的造价和为多少元？




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3．学校课外生物小组的试验园地是长32m、宽20m的矩形，为便于管理，现要在试验园
地开辟水 平宽度均为xm的小道（图中阴影部分）.
（1）如图1，在试验园地开辟一条水平宽度相等的小道，则剩余部分面积为
m
2
（用含x的代数式表示）；
（2）如图2，在试验园地开辟水平宽度相等的三条小道，其中有两条道路相互平行.
若使剩余部分面积为570m
2
，试求小道的水平宽度x.



4．如图，要设计一副宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩 条
的宽度都相同，如果使剩余面积为原矩形图案面积的


，应如何设计每个彩条的宽度？
5．如图，某课外活动小组借助直角墙角（两边足够长）用篱 笆围成矩形花园
ABCD
，篱
笆只围
AB
、
BC
两 边．已知篱笆长为40m，篱笆围成的矩形
ABCD
的面积为300m
2
．求 边
AB
的
长．





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6．某居民小区要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形花园
ABCD
，花园的一边靠墙，
另三边用总长为40
m
的栅栏围成如图所示设< br>BC
为
用含
x
的代数式表示
AB
的长；
如 果墙长15
m
，满足条件的花园面积能达到
吗？若能，求出此时
x
的 值；若不能，说明理由．
．

7．如图1，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边 利用长为12m的住房墙，另外三边用
25m长的建筑材料围成.
（1）要使所围矩形猪舍的面积达到50m
2
，求猪舍的长和宽.
（2）农 户想在现有材料的基础上扩建矩形猪舍面积达到60m
2
，小红为该农户提出了一
个意 见：“为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门就行”，如图2，请通
过计算求小红设计的 猪舍的长和宽？

8．如图，某校要在长为，宽为
的长方形操场上修筑宽度相同的道 路（图中阴影部分），在余下的空白部分种上草坪
，要使草坪的面积为，求道路的宽.





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9．如图所示，在宽为20米，长为32米的矩形空地上修的两条互相垂直的水泥路，余
下部分作为草地．现要使草地的面积为540平方米，求水泥路的宽应为多少米？



10．如图，△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，点P从点A开始沿 AC向点C以2厘米
秒的速度运动；与此同时，点Q从点C开始沿CB边向点B以1厘米秒的速度运动； 如果P
、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时，另一
点也随之停止运动．
（1）经过几秒，△CPQ的面积等于3cm
2
？
（2）在整个运动过程中 ，是否存在某一时刻t，使PQ恰好
平分△ABC的面积？若存在，求出运动时间t；若不存在，
请说明理由．






11．如图，在矩形ABCD中，AB＝6
cm
，AD＝2
cm
，点P以2
cm

s
的速度从顶点A出发沿折线A－B－C向点C运动，同时点Q以1 < br>cm

s
的速度从顶点C出发向点D运动，当其中一个动点到达末端停止运动时， 另一点也
停止运动．
(1)问两动点运动几秒后，四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的；
(2)问是否存 在某一时刻使得点P与点Q之间的距离为
cm
.若存在，请求出运动所需的时间；若不存在，请 说明理由．

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12．如图，用同 样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面，请观察下列图形，并
解答有关问题：

（1）在第n个图中，第一横行共 块瓷砖，第一竖列共有
块瓷砖；（均用含n的代数式表示）铺设地面所用瓷砖的总块数为
（用含n的代数式表示，n表示第n个图形）
（2）上述铺设方案，铺一块这样的长方形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；
（3）黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题（2）中，共需要花多少钱购买瓷砖？
（4）是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算加以说明．














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答案详解：
1．羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米.
试题分析：设AB的长度为x米，则BC 的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公
式列出方程．
试题解析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米． 根据题意得
（100﹣4x）x=400，
解得 x
1
=20，x
2
=5． 则100﹣4x=20或100﹣4x=80． ∵80＞25，
∴x
2
=5舍去． 即AB=20，BC=20
2．(1)4
a
2
-320
a
+6000；(2) 通道的宽为5米；(3) 318000元．
分析：(1)、用含a的式子先表示出花圃的长和宽 后利用矩形面积公式列出式子即可；(
2)、根据通道所占面积是整个长方形空地面积的，列出方程进行 计算即可；(3)、根
据方程有两个相等的实数根求得a的值，然后分别求得花圃和甬道的面积及造价即 可．
详解：(1)、由图可知，花圃的面积为（100-2
a
）（60-2
a
）=4
a
2
-320
a
+6000；
(2)、 由已知可列式：100×60-（100-2
a
）（60-2
a
）=×100 ×60，
解得：
a
1
=5，
a
2
=75（舍去） ，所以通道的宽为5米；
(3)、∵方程
x
2
-
ax
+25
a
-150=0有两个相等的实根， ∴△=
a
2
-
25< br>a
+150=0，解得：
a
1
=10，
a
2
=15，
∵5≤
a
≤12， ∴
a
=10． 设修建的花圃的造价为
y
元，
y
=55.625
S
； 当
a
=10时，
S
花圃=80×40=3200（
m
2
）；
y
花圃=3200×55.625=178000（元），
S
通道=100×60-80×40=2800（
m
2
）；
y
通道=2 800×50=140000（元），

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造价和：178000+140000=318000（元）．
点拨：本题考查了一次函 数的应用以及
一元二次方程的应用，解题的关键是表示出花圃的长和宽，属于中档题，难度不算大．
3．（1）20（32-
x
）；（2）小道宽为1米.
试题分析：（1）利用平行四边形面积求法直接平移阴影部分得出剩余面积即可；
（2）利用平行四边形的面积求法，平移道路进而得出方程求出即可．
试题解析：（1）由题 意可得，剩余部分面积为：20（32-
x
）m
2
；
（2）依题意 ，得640-40
x
-32
x
+2
x
2
=570
解得
x
1
=1，
x
2
=35（不合舍去）
答：小道宽为1米．
点拨：此题主要考查了一元二次方程的应用，利用平行四边形面积公式得
出等式方程是解题关键．
4．应设计彩条宽为5cm
试题分析：设每个彩条的宽度为xcm，根据题意，得

解得：x
1
=5，x
2
=30（二倍大于30，舍去），
应设计彩条宽为5cm，
5．10m或30m．
试题分析：根据矩形的面积列出方程，求解.
试题解析：
设边
AB
的长为
x
m．
根据题意，得
x
（40﹣
x
）=300，
解得
x
1
=10，
x
2
=30．
答：边
AB
的长为10m．或者30m．
6．（1）；（2）不能，理由见解析
试题分析：（1）利用长方形的周长即可解答；
（2）利用长方形的面积列方程解答即可.

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试题解析：（1）
（2）不能，理由是：
根据题意列方程的，
x（40-2x）=200，
解得x
1
=x
2
=10；
；
40-2x=20（米），而墙长15m，不合实际，
因此如果墙长15m，满足条件的花园面积不能达到200m
2
.
点拨：此 题考查一元二次方程及二次函数求最大值问题，属于综合类题目，灵活利用
长方形的周长和面积公式是关 键．
7．（1）所围猪舍的长是10m，宽是5m；（2）所围猪舍的长是10m，宽是6m. 试题分析：（1）设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的一边的长
为（25- 2x）m，根据矩形的面积公式建立方程求出其解即可；
（2）设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm ，可以得出平行于墙的一边的长为（25+1-
2x）m，根据矩形的面积公式建立方程求出其解即可.
试题解析：（1）设与住房墙垂直的一边长为
m，则与住房墙平行的一边长为(
根据题 意，列方程得：
(
解得：
)=50，
， ，
=20＞12，
)m
当=2.5时，与住房墙平行的一边长
不符合题意， 舍掉，
当=10时，与住房墙平行的一边长
答：所围猪舍的长是10m，宽是5m；
=5＜12.5分，
(2) 设与住房墙垂直的一边长为m，则与住房墙平行的一边长为(
根据题意，列方程得：
(
解得：
)=60，
， ，
=20＞12，
)m
当=3时，与住房墙平行的一边长
不符合题意， 舍掉，

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当=10时，与住房墙平行的一边长
答：所围猪舍的长是10m，宽是6m.
点拨： 本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元
二次方程的解法的运用，解 答时寻找题目的等量关系是关键．
8．2米
试题分析：可以根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方
程求解．
试题解析：
解法一：原图经过平移转化为图1.
设道路宽为米.
根据题意，得.
=6＜12，

整理得
解得
.
（不合题意，舍去），.
答：道路宽为2米.
解法二：原图经过平移转化为图2.

设道路宽为米.
根据题意，
整理得
解得
.
（不合题意，舍去），.
，
答：道路宽为2米.

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