哦冬夜的灯光-生病日记

教学资料范本

九年级数学上册1-
4用一元二次方程解决问题专 项练习一等积变形面积问题新版苏
科版




















编 辑：__________________


时 间：__________________






1 16

第一章 第4节 用一元二次方程解决问题专项练习一
一、 等积变形、面积问题1：
1．.用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场．设围成的矩形一边长为x米．
(1)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米；

(2)请问能否围成面积为70 平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说
明理由．


2 ．某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（平面图如
图ABCD所示） ．由于地形限制，三级污水处理池的长、宽都不能超过16米．如果池的
外围墙建造单价为每米400元 ，中间两条隔墙建造单价为每米300元，池底建造单价为
每平方米80元．（池墙的厚度忽略不计）当 三级污水处理池的总造价为47200元时，求
池长x．




3．如图，在矩形
ABCD
中，
AB
=8cm，
BC
=16cm，点
P
从点
A
沿边
AB
向点
B
以1cms的速度移
动，同时点
Q
从点
B
沿边
BC
向点
C
以2cms的速度移动，有一点到终点运动即停止，设运
动时间为
t
秒.
（1）
t
为何值时，△
PBQ
的面积为12cm2
；
（2）若
PQ
⊥
DQ
，求
t
的值.




2 16

4．如图，在
出发沿
从点
到达点
边向点
出发沿
时，点中，
以
以
， ， ．点从点
的速度移动，与此同时，点
的速度移动．当点边向点
停止移动．
．
．
（）几秒钟后，
（）几秒钟后，


5．(1)一块长方形菜地的面积是150
m
2
，如果它的长减少5
m
，那么菜地就变成正方形，若设原菜地的长为x
m
，则可列方程为___ ________________________________；
(2)已知如图所示的图形 的面积为24，根据图中的条件，可列方程为________________
__.



6．如图所示，在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸 边，制成一幅
矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm
2
，
设金色纸边的宽为xcm，求满足x的方程．



3 16

．

4 16

7．现有精装词典长、宽、厚尺寸如图（1）所示（单位：cm），若按图（ 2）的包书方
式，将封面和封底各折进去3cm．试用含a、b、c的代数式分别表示词典封皮（包书纸
）的长是
cm，宽是___________cm；
8.在如图（4）的矩形包书纸皮示意图中
，虚线为折痕，阴影是裁剪掉的部分，四
角均为大 小相同的正方形，正方形的边长
即为折叠进去的宽度．
（1）若有一数学课本长为26cm、宽为18.5cm、厚为1cm，小海宝用一张面积为1260
cm
2
的矩形纸包好了这本数学书，封皮展开后如图（4）所示．若设正方形的边长（ 即折
叠的宽度）为x cm，则包书纸长为
cm，宽为
cm（用含x的代数式表示）．
（2）请帮小海宝列好方程，求出第（
1）题中小正方形的边长x cm．


9．小张准备把一根长为32cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．（1）< br>要使这两个正方形的面积之和等于40cm
2
，小张该怎么剪？
（2）小李对 小张说：“这两个正方形的面积之和不可能等于30cm
2
．”他的说法对吗？
请说明 理由．

10．阅读下列内容，并答题：我们知道，计算n边形的对角线条数公式为：
n（n﹣3）．
如果一个n边形共有20条对角线，那么可以得到方程
整理得n2
﹣3n﹣40=0；解得n=8或n=﹣5
∵n为大于等于3的整数，∴n=﹣5不合题意，舍去．
∴n=8，即多边形是八边形．
n（n﹣3）=20 ．

5 16

根据以上内容，问：
（1）若一个多边形共有14条对角线，求这个多边形的边数；
（2）A同学说：“我求得一个多边形共有10条对角线”，你认为A同学说法正确吗？为
什么 ？


11．一块正方形的铁皮，在它的四角各截去边长为4㎝
的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，它的容积是400㎝
3
，求原铁皮的边长．





12．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝4
cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1
cms的速度运动，另一动点Q从点A出发沿着AC方向以2
cms的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t s.
(1)当t为何值时，△PCQ的面积是△ABC面积的？
(2)△PCQ的面积能否为△ABC面积的？若能，求出t的值；若不能，
请说明理由．









6 16

13．在一块长16m，宽12m的 矩形荒地上建造一个花园，要求花轩占地面积为荒地面积
的一半，下面分别是小强和小颖的设计方案．
（1）你认为小强的结果对吗？请说明理由．

（2）请你帮助小颖求出图中的x．
（3）你还有其他的设计方案吗？请在图（3）中画出一个与图（1）（2）有共同特点
的设计 草图，并加以说明．

















7 16

14．如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60 米，宽为40米的长方形空地上修
建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设 通道宽为米.
（1）花圃的面积为____（用含的式子表示）；
（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；
（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价（元）、（元）与修建面积
之间的函数关系如图 2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的
宽度不少于2米且不超过10米，那么 通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价为10
5920元














8 16

答案详解：

1．（1）x为6或10时；（2）不能理由见解析.
试题分析：（1）矩形一边 长为x，周长为32，另一边为，面积为60，可列出一
元二次方程，求出x值；（2）仿照第一问列出 方程，根据根的情况作出判定能否围成
面积为70的养鸡场.
试题解析：（1）由题意得：x（16-x）=60，即x2-16x+60=0, 解得：x
1
=6，x
2
=10,
即当x为6或10时，围成的养鸡 场面积为60平方米；(2)不能围成面积为70平方米的养鸡
场，理由如下： 由题意得：x（16- x）=70，即x2-16x+70=0,因为△=（-16）
2
-
4×1×70=- 24＜0，所以该方程无解.故不能围成面积为70平方米的养鸡场.
2．14米．
试题分 析：本题的等量关系是池底的造价+外围墙的造价+中间隔墙的造价=47200元，
由此可列方程求解 ．
试题解析：根据题意，得2（x+
整理，得
解得
﹣39x+350=0，
=14，
×400）+2××300+200×80=47200，
=25，
∵x=25＞16，
∴x=25不合题意，舍去．
∵x=14＜16，=＜16，
∴x=14符合题意．
所以，池长为14米．
3．（1）
t
=2或6；（2）
t
=2或8
试题分析：（ 1）表示出
PB
，
QB
的长，利用△
PBQ
的面积等于12
cm
2
列式求值即可；
（2）如果
PQ
⊥
DQ< br>，则∠
DQP
为直角，得出△
BPQ
∽△
CQD
，即 可得出对应边成比例，再
设
AP
=
t
，
QB
=2< br>t
，得出方程，求出
x
即可．
试题解析：解：（1）设
t< br>秒后△
PBQ
的面积等于12
cm
2
．

9 16

则
AP
=
t
，QB
=2
t
，∴
PB
=6﹣
t
，∴×（8﹣< br>t
）•2
t
=12，解得
x
1
=2，
x2
=6．
答：2秒或6秒后△
PBQ
的面积等于12
cm
2
； （2）设
t
秒后
PQ
⊥
DQ
时，则∠
DQP< br>为直角，∴△
BPQ
∽△
CQD
，∴ ，设
AP
=< br>t
，
QB
=
2
t
，∴，∴，解得：
x
=2或8．
当
x
=8时，
P
点到达
B
点、Q
点到达
C
点，此时
PQ
⊥
DQ
．
答：2秒或8秒后
PQ
⊥
DQ
．
点拨：此题考查了矩形的 性质、一元二次方程的应用、相似三角形的性质；解题的关
键是根据三角形相似的性质列出方程．
4. 试题分析：（1）设点P、Q同时出发，x秒钟后，AP=xcm，PC=（4-
x） cm，CQ=2xcm，此时△PCQ的面积为： ×2x（4-
x），令该式=3，由此等量关系列出方程求出符合题意的值；
（2）利用PC=（4-x）cm，CQ=2xcm，由勾股定理定理可得解．
试题解析：（）解：设这时间为，由题可知，
由题
∴
令
则
解得
即：
，
，
或，
或后， ．
，
，
，
秒后，
（舍），
．

10 16
， ， ，
，
即，
（）解：
∴令
解得
即：