北京服装学院分数线-河南二级建造师成绩查询

《 最大与最小》练习题（含答案）


内容概述
在日常生活、工作中，经常会遇到有关最短路线、最短时间、最大面积、最大乘积等
问题，这就是在 一定条件下的最大值或最小值方面的数学问题。这类问题涉及的知识面广，
在生产和生活中有很大的实用 价值。这一讲就来讲解这个问题。



例题精讲

【例1】 比较下面两个乘积的大小：
a=57128463×87596512， b=57128460×87596515 .

分析：对于a，b两个积，它们都是8位数 乘以8位数，尽管两组对应因数很相似，但并不
完全相同。直接计算出这两个8位数的乘积是很繁的。仔 细观察两组对应因数的大小发现，
因为57128463比57128460多3，87596512比 87596515少3，所以它们的两因数之和相等，
即57128463+87596512=571 28460+87596515。
因为a的两个因数之差小于b的两个因数之差，根据上题结论，可得a＞b

【前铺】两个自然数的和是15，要使两个整数的乘积最大，这两个整数各是多少？
分析：将 两个自然数的和为15的所有情况都列出来，考虑到加法与乘法都符合交换律，有
下面7种情况：
15=1+14，1×14=14；
15=2+13，2×13=26；
15=3+12，3×12=36；
15=4+11，4×11=44；
15=5+10，5×10=50；
15=6+9，6×9=54；
15=7+8，7×8=56。
由此可知把15分成7与8之和，这两数的乘积最大。
结论 ：如果两个整数的和一定，那么这两个整数的差越小，他们的乘积越大。特别地，当
这两个数相等时，他 们的乘积最大.

【巩固】当A+B+C＝10时(A、B、C是非零自然数)。A×B×C 的最大值是＿＿＿＿，最小值
是＿＿＿＿。
分析：当为3+3+4时有A×B×C的最大值，即为3×3×4＝36；
当为1+1+8时有A×B×C的最小值，即为1×1×8＝8。

【拓展】1～8 这八个数字各用一次，分别写成两个四位数，使这两个数相乘的乘积最大。
那么这两个四位数各是多少？
分析：8531和7642。高位数字越大，乘积越大，所以它们的千位分别是8，7，百位分别是6，5。两数和一定时，这两数越接近乘积越大，所以一个数的前两位是85，另一个数的前
两位是 76。同理可确定十位和个位数.

【例2】 两个自然数的积是48，这两个自然数是什么值时，它们的和最小？

分析：48的约数从小到大依次是1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。
所以，两个自然数的乘积是48，共有以下5种情况：
48=1×48，1+48=49；
48=2×24，2+24=26；
48=3×16，3+16=19；
48=4×12，4+12=16；
48=6×8，6+8=14。
两个因数之和最小的是6+8=14。
结论：两个自然数的乘积一定时，两个自然数的差越小，这两个自然数的和也越小。

2
【巩固】要砌一个面积为72米的长方形猪圈，长方形的边长以米为单位都是自然数，这
个 猪圈的围墙最少长多少米？
分析：将72分解成两个自然数的乘积，这两个自然数的差最小的是9-8 =1。，猪圈围墙长9
米、宽8米时，围墙总长最少，为（8+9）×2=34（米）.


【例3】 一排椅子只有15个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪< br>个座位，都将与已就座的人相邻。问：在乐乐之前已就座的最少有几人？

分析：将1 5个座位顺次编为1～15号。如果2号位、5号位已有人就座，那么就座1号位、
3号位、4号位、6 号位的人就必然与2号位或5号位的人相邻。根据这一想法，让2号位、
5号位、8号位、11号位、1 4号位都有人就座，也就是说，预先让这5个座位有人就座，
那么乐乐无论坐在哪个座位，必将与已就座 的人相邻。因此所求的答案为5人。

【巩固】一张圆桌有12个座位，部分座位已有人就座 ，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座
位，都将与已经就座的人相邻。问：在乐乐之前已就座的最少有几人 ？
分析：4人.



【例4】 有一类自然数，从第三个数字 开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直
至不能再写为止，如257，1459等等，这类数中 最大的自然数是多少？

分析：要想使自然数尽量大，数位就要尽量多，所以数位高的数值应 尽量小，故10112358
满足条件．如果最前面的两个数字越大，则按规则构造的数的位数较少，所 以最前面两个
数字尽可能地小，取1与0．


【例5】 有一类自然数，它的各个数位上的数字之和为2003，那么这类自然数中最小的是
几？

分析：一个自然数的值要最小，首先要求它的数位最小，其次要求高位的数值 尽可能地小.
由于各数位上的和固定为2003，要想数位最少，各位数上的和就要尽可能多地取9，而 2003
÷9=222……5，所以满足条件的最小自然数为：
599...9
{
222个9

【例6】 99个苹果要分给一群小朋友，每一个小朋友所分得的 苹果数都要不一样，且每位
小朋友至少要有一个苹果．问：这群小朋友最多有几位?
< br>分析：1+2+3+…+13=91＜99，1+2+3+…+14=105＞99，说明若13位各分得 1，2，3，…，13
个苹果，未分完99个，若14位各分得1，2，3，…，14个苹果，则超出9 9个．因91+8=99，
在13位上述分法中若把剩下的8个苹果分别加到后8位人上，就可得合题意 的一个分法：
13人依次分1，2，3，4，5，7，8，9，lO，11，12，13，14个．所以 最多有13位小朋友．(注：
13人的分法不唯一)

【巩固】公园里有一排彩旗， 按3面黄旗、2面红旗、4面粉旗的顺序排列，小红看到这排
旗的尽头是一面粉旗．已知这排旗不超过2 00面，这排旗子最多有多少面?
分析：旗子排列是9面一循环，关键在于最后几面旗子，如果最后四 面都能是粉旗那就好
了．200÷9=22…2，所以最多可以出现200-2=198面旗子，共22 个循环．


【例7】 （第四届希望杯1试）一位工人要将一批货物运上山，假定 运了5次，每次的搬
运量相同，运到的货物比这批货物的
3
3
多一些，比少一 些。按这样的运法，他运完这批
5
4
货物最少共要运 次，最多共要运 次。

分析：这道题目用到了极值判断法。我们首先向学生介绍下题，体会极值判断法：
【前铺】（第一届希望杯1试）一艘轮船往返于A、B码头之间 ，它在静水中船速不变，当
河 水流速增加时，该船往返一次所有时间比河水流速增加前所用时间_______ (填“多”或
“少”)
分析：极限判断，当水速为10，船速是20时，我们可以往来A，B 两地，当河水速度增加
时，比如增加到20，这样逆水时，船速=水速，永远到不了B地，所以时间变多 了。
怎么样，现在你能解决例题么？
33331
，则每一次最少运÷5=，所以最多运1÷=
8
≈9次；
5525253
332
33
假定5次运的恰好等于，则每一次最多运÷5=，所以最 少运1÷=
6
≈7次；
20203
44
假定5次运的恰好等于
【例8】 某学校，星期一有15名学 生迟到，星期二有12名学生迟到，星期三有9名学生
迟到，如果有22名学生在这三天中至少迟到过一 次，则这三天都迟到的学生最多有多少人？

分析：三天都迟到的要尽量多，则将迟到的 22人次分为仅迟到一次和三天都迟到的．可求
出三天都迟到的学生最多有(15+12+9-22)÷ 2=7(人)．

【巩固】某次数学、英语测试，所有参加测试者的得分都是 自然数，最高得分198，最低得
分169，没有得193分、185分和177分，并且至少有6人得 同一分数，参加测试的至少多
少人？
分析：得分数共有198-169+1-3=27( 种)，当只有6个人得分相同时，参加测试的人最少，
共有27+6-1=32(人)．


【例9】 149位议员中选举一位议长，每人可投一票．候选人是A，B，C三人．开票中 途，
A已得45票，B已得20票，C已得35票．如果票数最多者当选，那么A至少再有多少票才能一定当选?

分析：45+20+35=100，还有149-100=49(票 )．45-35=10，如果49票中有10票都给C，49-10=39，
那么A至少还要有20票才 能当选．

【巩固】冬季运动会共有58面金牌，至今A队已得lO面，B队已得11面，C 队已得13面．如
果A队要想金牌数居第一位，A队至少还要得多少面金牌?
分析：10+l l+13=34．还有58-34=24(面)可争夺．A队要再得4面，才超过C队．在余下的
奖牌中 不能少于一半，即再得4+(24-4)÷2=14(面)，才能确保金牌数居第一位．


【例10】 如图，司机开车按顺序到五个车站接学生到学校，每个站都有学生上
车．第一站上 了一批学生，以后每站上车的人数都是前一站上车人数的一半．车到
学校时，车上最少有多少学生?

分析：因为每个站都有学生上车，所以第五站至少有1个学生上车．假如第五站只有一个学生上车，那么第四、三、二、一站上车的人数分别是2，4，8，16个．因此五个站上车
的人数 共有1+2+4+8+16=31(人)，很明显，如果第五站有不止一个学生上车，那么上车的总
人数 一定多于31个．所以，最少有31个学生．


【例11】 某公共汽车从起点开 往终点站，中途共有15个停车站。如果这辆公共汽车从起
点站开出，除终点站外，每一站上车的乘客中 ，正好各有一位乘客从这一站到以后的每一
站，那么为了使每位乘客都有座位，这辆公共汽车至少应有多 少个座位？

分析：（法1）：只需求车上最多有多少人。依题意列表如下：

由上表可见，车上最多有56人，这就是说至少应有56个座位。本题问句出现了“至
少” 二字是就座位而言的，座位最少有多少，取决于什么时候车上人数最多，要保证乘客

中每 人都有座位，应准备的座位至少应当等于乘客最多时的人数。所以，我们不能只看表
面现象，误认为有了 “至少”就是求最小数，而应该把题意分析清楚后再作判断。
（法2）：因为车从某一站开出时，以前 各站都有同样多的人数到以后各站（每站1人），这
一人数也和本站上车的人数一样多，因此：车开出时 人数=（以前的站数+1）×以后站数=
站号×（15-站号）。
因此只要比较下列数的大小：1×14， 2×13， 3×12， 4×11， 5×10，6×9， 7×8， 8×7，
9×6， 10×5，11×4， 12×3， 13×2， 14×1 . 由 这些数，得知7×8和8×7是最大
值，也就是车上乘客最多时的人数是56人，所以它应有56个座位 .
此题的两种解法都是采用的枚举法，枚举法是求解离散最值问题的基本方法。这种方
法 的大意是：将问题所涉及的对象一一列出，逐一比较从中找出最值；或者将与问题相关
的各种情况逐一考 察，最后归纳出需要的结论。


【例12】 将前100个自然数依次无间隔地写成一个192位数：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12……9899100
从中划去100个数字，那么剩下的92位数最大是多少？最小是多少？

分析：要 得到最大的数，左边应尽量多地保留9。因为1～59中有109个数码，其中有6个
9，要想左边保留 6个9，必须划掉1～59中的109-6＝103（个）数码，剩下的数码只有192
－103=89 （个），不合题意，所以左边只能保留5个9，即保留1～49中的5个9，划掉1～
49中其余的84 个数码。然后，在后面再划掉16个数码，尽量保留大数（见下图）：

所求最大数是9999978596061…99100。
同理，要得到最小的数，左边第一个数 是1，之后应尽量保留0。2～50中有90个数码，
其中有5个0，划掉其余90-5=85（个）数 码，然后在后面再划掉15个数码，尽量保留小
数（见下图）：

所求最小数是162…99100。

【巩固】将前100个自然数依次无间隔地写成一个192位数：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12……9899100从中划去170个数字，剩下的数字形成一个
2 2位数，这个22位数最大是多少？最小是多少？
分析：在前100个自然数中，共有20个9，再保 留后面的“10”，即得到最大数：99999…99100
（20个9）；最小数的第一位是“1”， 再保留10～90中的9个“0”，再在91～100中留
下12个尽量小的数，即得最小数：1456 789100 .



附加题目

【附1】把17分成几个自然数的和，怎样分才能使它们的乘积最大？

分析：假设 分成的自然数中有1，a是分成的另一个自然数，因为1×a＜1+a，也就是说，
将1+a作为分成的 一个自然数要比分成1和a两个自然数好，所以分成的自然数中不应该
有1。
如果分成的自然 数中有大于4的数，那么将这个数分成两个最接近的整数，这两个数

的乘积大于原来的自 然数。例如，5=2+3＜2×3，8=3+5＜3×5。也就是说，只要有大于4
的数，这个数就可以 再分，所以分成的自然数中不应该有大于4的数。
如果分成的自然数中有4，因为4=2+2=2×2，所以可以将4分成两个2。
由上面的分 析得到，分成的自然数中只有2和3两种。因为2+2+2=6，2×2×2=8，3+3=6，
3×3 =9，说明虽然三个2与两个3的和都是6，但两个3的乘积大于三个2的乘积，所以分
成的自然数中最 多有两个2，其余都是3。由此得到，将17分为五个3与一个2时乘积最
大，为3×3×3×3×3× 2=486。

结论：整数分拆的原则：不拆1，少拆2，多拆3。

【巩固】 把14拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，如何拆可以使乘积最大？
分析：14拆成3、3、3、3、2时，积为3×3×3×3×2=162最大.


【附2】某国家的货币中有1元、3元、5元、7元、9元五种，为了能支付1元、2元……
1 00元的钱数（整数元），那么至少需要准备货币多少张？

分析：为了使货币越少越好，那么9元的货币应该尽量多才行。
当有10张9元时，容易看出1、1、3、5这四张加上后就可以满足条件。
当9元的货币超过11张时，找不到比14张更少的方案。
当9元的货币少于10张时，至少 有19元需要由5元以下的货币构成，且1元的货币至少2
张，这样也找不到比14张更少的方案。 < br>综上分析可以知道，最少需要10张9元的、2张1元的、1张3元的、1张5元的，共14
张货 币。


【附3】在五位数 22576的某一位数码后面再插入一个该数码，能得到的六位数中最大的
是几？

分析：225776

【巩固】在六位数865473的某一位数码后面再插入一个 该数码，能得到的七位数中最小的
是几？
分析：8654473.

【附 4】现有三堆苹果，其中第一堆苹果个数比第二堆多，第二堆苹果个数比第三堆多。如
果从每堆苹果中各 取出一个，那么在剩下的苹果中，第一堆个数是第二堆的三倍。如果从
每堆苹果中各取出同样多个，使得 第一堆还剩34个，则第二堆所剩下的苹果数是第三堆的
2倍。问原来三堆苹果数之和的最大值是多少？

分析：先每堆拿出一个，这样第一堆就是第二
堆的3倍：“如果从每堆苹果中各取出 同样多
个，使得第一堆还剩34个，则第二堆所剩下
的苹果数是第三堆的2倍”，第三堆最少剩 一

个，那么第一堆的每一份就是：（34-2）÷2=16，即三堆分别有：16×3+ 1=49，16+1=17和
16个，总数：49+17+16=82个；如果第三堆剩2个，那么第一 堆的每一份为：（34-4）÷2=15，
各堆分别为：15×3+1=46，15+1=16和14个 ，总数减少.显然第三堆留下的越多，第一堆的
每一份就越少，总数越少.所以原来三堆苹果之和的最大 值是82.
【附5】如图，小明要从A走到B，每段路上的数字是小王走这段路所
需的分钟 数．请问小明最快需几分钟?

分析：从A到B要想最快，肯定不能走回头路，路线分为过C点和不过
C点两类．
①不过C点有两条路：
第一条是15+7+9+18=49(分钟)；
第二条是14+6+17+12=49(分钟)；
两条路所用时间相同．
②经过C点的路线分为两段，A→C、C→B．同上面一样：
A→C：①14+13=27(分钟)；
②15+11=26(分钟)．
C→B：①10+12=22(分钟)；
②5+18=23(分钟)．
在 分析已知条件时。很可能会出现不同情况和不同结果，而且不好推理说明谁是极端情形，
那就应该列举比 较．
所以从A→C→B最少用48分钟，比前面不过C的少用1分钟．


【附6】某班学生50人，年龄均为整数，年龄的平均值为12.2，已知班上任意两人的年龄
差都不 超过3．那么这班学生中年龄最大的能是多少岁?如果有一个学生的年龄达到这个值，
那么这个班里年龄 既不是最大也不是最小的学生最多有多少人?

分析：因为全班50人的年龄总和比平均12 岁的年龄总和多(12.2-12)×50=10(岁)，所以
年龄最大的能是12+3=15(岁)． 如果有人年龄达到15岁，那么剩下的49人的年龄和比平均
12岁的年龄和多10—3=7(岁)，所 以最多有7人的年龄大于12岁，小于15岁．


【附7】若干名家长（爸爸或妈 妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加某次数学
竞赛，已知家长和老师共有22人，家长比老 师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多2人，
至少有1名男老师，那么在这22人中，爸爸有多少人？

分析：家长比老师多，所以老师少于22÷2=11人，即不超过10人；相应的，家长就不 少
于12人。在至少12个家长中，妈妈比爸爸多，所以妈妈要多于12÷2=6人，即不少于7
人。因为女老师比妈妈多2人，所以女老师不少于9人。但老师最多就10个，并且还至少
有1个男老 师，所以老师必定是9个女老师和1个男老师，共10个。那么，在12个家长
中，就有7个是妈妈。所 以，爸爸有12-7=5人。


【附8】阶梯教室座位有10排，每排有16个座 位，当有150个人就座，某些排坐着的人数

就一样多．我们希望人数一样的排数尽可能 少，这样的排数至少有多少排？

分析：至少有4排．如果10排人数各不相同，那么最多坐 ：
16+15+14+13+12+11+10+9+8+7=115(人)；
如果最多有2排人数一样，那么最多坐：(16+15+14+13+12)×2=140(人)；
如果最多有3排人数一样，那么最多坐：(16+15+14)×3+13=148(人)；
如果最多有4排人数一样，那么至多坐：(16+15)×4+14×2=152(人)．
148<150<152， 所以，至少有4排．
【附9】在10，9，8，7，6，5，4 ，3，2，1这10个数的每相邻两个数之间都添上一个加
号或一个减号，组成一个算式。要求：（1） 算式的结果等于37；（2）这个算式中的所有减
数（前面添了减号的数）的乘积尽可能地大。那么，这 些减数的最大乘积是多少？

分析：把10个数都添上加号，它们的和是55，如果把其中一 个数的前面的加号换成减号，
使这个数成为减数，那么和数将要减少这个数的2倍。因为55-37＝1 8，所以我们变成减数
的这些数之和是18÷2=9。对于大于2的数来说，两数之和总是比两数乘积小 ，为了使这些
减数的乘积尽可能大，减数越多越好（不包括1）。9最多可拆成三数之和2＋3＋4=9 ，因此
这些减数的最大乘积是2×3×4＝24，添上加、减号的算式是：10 ＋ 9＋ 8＋ 7 ＋ 6＋ 5-
4- 3- 2 ＋1＝37。


练习


1．如果一个自然数N的各个位上的数字和是1996，那么这个自然数最小是几？

分析：1996÷9=221……7，N=
799...9
{
.
221个9

2．某班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有2 3人，参加英语竞赛
的有20人，每人最多参加两科，那么参加两科的最多有多少人？
分析：因为参加竞赛的有28+23+20=71(人)．让这71人尽可能多地重复，71÷2=35…1 ，所
以至多有35人参加两科．

3.用长36米的竹篱笆围成一个长方形菜园，围成菜园的最大面积是多少？

分析 ：这个长方形的周长是36米，即四边之和是定数。长方形的面积等于长乘以宽。因为
2
长+宽 =36÷2=18（米），由结论知，围成长方形的最大的面积是9×9=81（米）。
周长一定的长 方形中，正方形的面积最大。同样可以推广到周长一定的图形，边数越多，
面积越大.
4．小王现有一个紧急通知需要传达给小区内的975个人．若用电话联系，每通知1个人需
1分钟 ，而见面可一次通知60个人，但需10分钟，问：完成传达任务最少需多少分钟?(每
人均有电话)

分析：应该充分发挥每个人的作用，即凡是知道通知的人都可以通知尚不知道 的人．因此，
可以先花10分钟安排一次见面通知，然后凡被通知的人再不断打电话，到第14分钟时共
可通知：(1+60)×2×2×2×2—1=975(人)，因此最少用14分钟．
5．有四个数，其中每三个数的和分别是45，46，49，52，那么这四个数中最小的一个数是
多少？

分析：把4个数全加起来就是每个数都加了3遍，所以，这四个数的和等于（45 +46+49+52）
÷3=64。用总数减去最大的三数之和，就是这四个数中的最小数，即64-5 2=12。

6．小明有一只最多能装10千克物品的大提兜．现有白菜5千克，猪肉2千 克，鱼3．5千
克，一瓶酱油连瓶重1.7千克，白糖l千克，蚕豆5.1千克．请你想想，把哪几样东 西放
进大提兜内，才能充分利用提兜，使它所提东西的重量最重?

分析：大提兜能 装的重量限制在10千克之内．把哪几样东西的重量加在一起，使和不超过
10千克，但最接近lO千克 我们不妨列举．在列举前先分析数据：白菜和蚕豆不能同时放(共
10.1千克)，但二者应取其一，否 则才装2+3.5+1.7+1=8.2千克．列举如下：
白菜+猪肉+酱油+白糖=9.7(千克)；
白菜+鱼+白糖=9.5(千克)；
蚕豆+猪肉+酱油+白糖=9.8(千克)；
蚕豆+鱼+白糖=9.6(千克)．
显然，把5.1千克蚕豆，1.7千克的酱油，2千克的猪肉和1千克重的白糖放人大提兜内最
重．