两角和差正余弦公式的证明
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两角和差正余弦公式的证明
两角和差的正余弦公式是三角学中很重要的一组公式。
下面我们就它们的推导证明方
法进行探讨。
由角 , 的三角函数值表示 的正弦或余弦值
, 这正是两角和差的正余弦公
式的功能。 换言之 , 要推导两角和差的正余弦公式 ,
就是希望能得到一个等式或方程 ,
将 或 与 , 的三角函数联系起来。
根据诱导公式 , 由角 的三角函数可以得到 的三角函数。 因此 ,
由和角公式
容易得到对应的差角公式 , 也可以由差角公式得到对应的和角公式。 又因为
, 即原角的余弦等于其余角的正弦 , 据此 ,
可以实现正弦公式和余弦
公式的相互推导。 因此 , 只要解决这组公式中的一个 ,
其余的公式将很容易得到。
(一) 在单位圆的框架下推导和差角余弦公式
注意到单位圆比较容易表示 , 和 , 而且角的终边与单位圆的交点坐标可
与 ,
的三以用三角函数值表示 , 因此 , 我们可以用单位圆来构造联系
角函数值的等式。
1. 和角余弦公式
(方法 1) 如图所示, 在直角坐标系
角
的始边为 , 交
中作单位圆 , 并作角 , 和 , 使
于点 A, 终边交 于点
B；角 始边为 , 终边交
c. . .
..
. .
.. .
于点 C；角
,
始边为
,
, 终边交
于点。从而点 A, B, C和 D的坐标分别为
,。
由两点间距离公式得
；
。
注意到 , 因此。
注记：这是教材上给出的经典证法。它借助单位圆的框架
, 利用平面内两点间距离公
式表达两条相等线段, 从而得到我们所要的等式。注意, 公式中的 和
为任意角。
2. 差角余弦公式
仍然在单位圆的框架下 ,
用平面内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段, 也可以
得到我们希望的三角等式。这就是
(方法2) 如图所示, 在坐标系
的始边均为 , 交 于点 C, 角
,
中作单位圆
终边交
, 并作角
于点 A,角
。
和 , 使角 和
于点。终边交
从而点 A,
B的坐标为
由两点间距离公式得
c. . .
..
. .
.. .
。
由余弦定理得
。
从而有。
注记：方法 2
中用到了余弦定理 , 它依赖于
要补充讨论角 和 的终边共线, 以及 大于
是三角形的内角。 因此, 还需
的情形。容易验证 ,
公式在以上
情形中依然成立。
在上边的证明中 , 用余弦定理计算
也可以用向量法来证明。
的过程也可以用勾股定理来进行。
c. . . ..
. . .. .
(二) 在三角形的框架下推导和差角正弦公式
除了在单位圆的框架下推导和差角的余弦公式 ,
还可以在三角形中构造和角或差角
来证明和差角的正弦公式。
1. 和角正弦公式 (一)
(方法3) 如图所示,
, ,
为 的 边上的高 , 为
边上的高。设
, 则。从而有
, ,
,
。
因此 ,
。
注意到 ,
从而有： ,
整理可得 ：。
注记：在方法 3 中 , 用
c. . .
..
和与底角 , 相关的三角函数, 从两个角度来表示
. .
.. .
边上高 , 从而得到所希望的等式关系。
这一证明所用的图形是基于钝角三角形
的 , 对基于直角或锐角三角形的情形 , 证明过程类似。
利用方法 3 中的图形 , 我们用类似于恒等变形的方式 , 可以得到下面的
(方法 4) 如图所示,
, , 则
为 的 边上的高 ,
。
为 边上的高。 设
注意到 , 则有,即。
从而有
。
利用正弦定理和射影定理 , 将得到下面这个非常简洁的证法。
注意证明利用的图形
框架与方法 3,4 所用的图形框架是相同的。
(方法 5) 如图所示 , 为 的 边上的高。 设 ,
c.
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