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专题二 立方和（差）公式、和（差）的立方公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式
(ab)(ab)ab
；
（2）完全平方公式
(ab)a2abb
。
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式
(ab)(aabb)ab
；
（2）立方差公式
(ab)(aabb)ab
；
（3）三数和平方公式
(abc)abc2(abbcac)
；
（4）两数和立方公式
(ab)a3ab3abb
；
（5）两数差立方公式
(ab)a3ab3abb
。
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明。
反过来，就可以利用上述公式对多项式进行因式分解。
例1 计算：
（1）
(32y)(96y4y)
；
（2）
(5x
2
33223
33223
2222
2233
2233
22 2
22
151
y)(25x
2
xyy
2
)；
224
2
（3）
(2x1)(4x2x1)
。
分析：两项式与三项式相乘，先观察其是否满足立方和（差）公式，然后再计算.
解：（1）原式=
3(2y)278y
；
（2）原式=
(5 x)(
3
333
3
1
3
1
y)125x
3
y
3
；
28
2232
（3）原式=
8x 4x2x4x2x18x8x4x1
。
说明：第（1）、（2）两题直接利 用公式计算.第（3）题不能直接利用公式计算，只好用多项
式乘法法则计算，若将此题第一个因式中“ +1”改成“-1”则利用公式计算；若将第二个因
式中“
2x
”改成“
 2x
”则利用公式计算；若将第二个因式 中“
2x
”改成“
4x
”，
可先用完全平方公式分解因式，然后再用和的立方公式计算
(2x1)(2x1)< br>2
(2x1)
3
(2x)
3
3(2x)
2< br>13(2x)1
2
1
3
8x
3
12x< br>2
6x1
。
例2 计算：
（1）
(x1)(xx1)(x1)
；
（2）
(x1)(x1)(xx1)(xx1)
；
（3）
(x2y)(x2xy4y)
；
2222
22
3639

分析：利用乘法的交换律、积的乘方，找出满足立方和（差）的两个因式，是 计算的关键.
解：（1）原式
(x1)(x1)x1
；
（2） 解法一：原式
[(x1)(xx1)][(x1)(xx1)](x1)(x1) x1
；
解法二：原式
(x1)(x1)[(x1)x][(x1)x]


(x1)[(x1)x]

2222
22
22336
9918
(x
2
1)(x
4< br>x
2
1)

x
6
1
；
（3）原式
[(x2y)(x2xy4y)]

222
(x
3
8y
3
)
2

x
6
16x
3
y
3
64y
6
。
说明：第（2）、（3）题往往先用立方和（差）公式计算简捷.相反，如第（2）题的第二种解
法就比较麻烦.
例3因式分解：
（1）
xy125
；
（2）
a27a
；
（3）
xy
。
分析：对 照立方和（差）公式，正确找出对应的
a,b
是解题关键，然后再利用立方公式分解
因 式。
解：（1）原式
(xy)5(xy5)(xy5xy25)
； < br>（2）原式
a(127a)a[1(3a)]a(13a)(13a9a)
（3）原式
3332
3322
66
33
4
(x
3
)
2
(y
3
)
2
(x
3
y
3
)(x
3
y
3
)(xy)(x< br>2
xyy
2
)(xy)(x
2
xyy
2< br>)
。
说明：我们可尝试一下，第(3)题先用立方差公式分解就比较复杂，会导致有 的同学分解不
彻底。
例４设
xy5,xy1
,试求
xy
的值。
33

分析：对于立方和公式
ab(ab)(aabb)
，我们不 难把它变成：
3322
a
3
b
3
(ab)[(a b)
2
3ab]
，即
a
3
b
3
(a b)
3
3ab(ab)
，再应用两数和、两数
积解题较为方便。
解：
xy(xy)3xy(xy)53(1)5140
。
说明：立方和（差）与和（差）的立方之间可以相互转化。
例5 如果
ABC的三边
a,b,c
满足
aababacbcb0
，试判断< br>ABC
的
322223
3333
形状。
分析：直接看不 出三角形边之间的关系，可把左边的多项式分解因式，变形后再找出三角形
三边之间的关系。
解：因为
aababacbcb0
，
所以
ab(abab)(acbc)0
，
即
(ab)(aabb)ab(ab)c(ab)0
，
2 22
332222
322223
(ab)(a
2
b
2< br>c
2
)0
，
所以
ab
或
abc
，
222
因此
ABC
是等腰三角形或直角三角形.
说明：此类题型，通常是把等式一边化为零，另一边利用因式分解进行恒等变形.


练习
1.计算：
（1）
(4a)(164aa)
； （2）
(2ab)(4a
2
2
1
3
2
21
abb
2
)
；
39
（3）
(x1)(xx1)
；
（4）
x(x2)(x2x4)(x2)
。
2.计算：
（1）
(x2)(x2)(x2x4)(x2x4)
；
222
22

（2）
(2x3y)
；
（3）
(5b)
；
（4）
(m1)(mm1)
。
3．分解因式：
（1）
(2x1)x
；
（2）
27x8y
；
（3）
2x
6
3333
323
3
1
3
3
3
1
3
y
；
4
（4）
m64
。
4．化简：
abaabb
。

abaabb
5．若
ab c0
，求证：
aacbcabcb0
。
6．（1）已知
mn2
，求
mn6mn
的值；
（2）已知：
xy1
，求
xy3xy
的值.
33
3223
33
7．已知两个正方体，其棱长之总和为48cm，体积之和为28cm< br>，求两个正方体的棱长.
3
8. 已知
ab1
，求
a3abb
的值。
9. 已知
ab2,ab48
，求
ab
的值。
10.已知实数< br>a,b,c
满足
abc0
，
abc1,abc2,a bc
，求
abc
的值。
答案：
1．（1）
64a
；（2）
8a
3
22233333
44
3
1
3
32
（3）
x1
；（4）
4x4x8
。
b
；
27
3223
6
2．（1）
x64
； （2）
8x36xy54xy27y
；
（3）
12525b
2
5
2
1
3
963
bb
；（4）
m3m3m1
。
327
22
3、（1）
(3x1)(3x3x1)
； （2）
(3x2y)(9x6xy4y)
；
（3）
1
2 2
(2xy)(4x
2
2xyy
2
)
；（4）
(m2)(m2)(m2m4)(m2m4)
。
4

4．2
b

5．提示：
aacbcabcb(abc)(aabb)0
。
322322
6．（1）-8（2）1
7．两个正方体的棱长分别为1cm和3cm.
8.1
9.5392
10.
1
6


张俊）（兴化市第一中学