天津考评中心-焦化厂实习报告

积化和差与和差化积公式、和角、倍半角公式复习课

一、基本公式复习

1、两角和与差公式及规律

sin(
< br>

)sin

cos

cos
sin

.
cos(



)cos

cos

sin

sin

.
< br>tan(



)
tan

tan
.
1tan

tan


2二倍角公式及规律
sin2

sin2

2

sin2

2sin

cos

.
cos

 ,sin

.1sin

(sincos).


2cos

2cos

22



2

1cos

cos.

22
< br>22

2

cos2

cos

sin


2cos.



2
< br>1cos

2
2
2cos

1
1 cos

.

sin


22
< br>2sin
2

.

12sin
2
.



2

1cos

2tan.


21cos

2tan



tan2

.

1tan
2


2

1cos

cos.

3、积化和 差与和差化积公式
22

2
< br>
2cos.

1

2

1cos
2

sin

cos

[sin(



)

sin(




)].
1cos

.

sin
2
22

2sin
2

.

1

2

1cos

2

cos

sin< br>
[sin(



)sin(

< br>
)].


tan
2

1cos

.
2

1
cos

cos

[cos(



)cos(



)].

2
1
sin

sin

[c os(



)cos(



)].

2






sin
sin

2sincos.


22


cos

2cos



cos< br>


.

cos
生动的口诀：（和差化积） 口诀
22

正加正，正在前，余加余，余并肩


s in

2cos



sin


.

sin
正减正，余在前，余减余，负正弦
22

反之亦然



cos

2sin



sin



.

cos
22

和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是：
①其中前两个公式可合并为一个：sinθ+sinφ=2sincos
②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了
“换元”思想。
③只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形
式，如果一个正弦与一个余弦 的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运
用公式化积。
④合一变形也是一种和差化积。
⑤三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因 式分解在
代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用。
3、积化和差与积差 化积是一种孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实
注意两者的交替使用。如在一般情况下，遇有正 、余弦函数的平方，要先考虑降
幂公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算。和 积互化
公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊
角；结构 将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值。正因
为如此“和、积互化”是三角恒等 变形的一种基本手段。

sin α+sin β=2sin[(α+β)2]·cos[(α-β)2]的证明过程
因为
sin(
α+β
)=sin
α
cos
β
+cos
α
sin
β
，
sin(
α-β
)=sin
α
cos
β-
cos
α
sin
β
，
将以上两式的左右两边分别相加，得
sin(
α+β
)+sin(
α-β
)=2sin
α
cos
β，

设
α+β=θ
，
α-β=φ

那么

α=(θ+φ)2, β=（θ-φ）2

把α，β的值代入，即得
sin
θ+
sin
φ=2
sin[
(θ+φ)2
]cos[(
θ-φ）2
]

cos(α-β)-cos(α+β)
=[(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)]
=2sinαsinβ

sinαsinβ=-12[-2sinαsinβ]
=-12[(cosαcosβ- sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]
=-12[cos(α+β)-cos(α-β)]
其他的3个式子也是相同的证明方法。

4、万能公式


2tan
2
,tan
2


1tan
2
22

2sincos2tan
s in
22

2
证：
sin
 
1
sin
2
cos
2
1tan
2
2 22

cos
2
sin
2
1tan
2cos
22

2

cos< br>
1
sin
2
cos
2
1tan
2
222

2sincos2tan
sin
22
2

tan

cos
c os
2
sin
2
1tan
2
222
注意：
1、上述三个公式统称为万能公式。
2、 这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、 正切，即：所以利用它对
三角式进行化简、求值、证明，可以使解题过程简洁
3、上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小。

二、应注意的问题

1、两角差的余弦公式是本章中其余公式的基础，应记准该公式的形式.
2tan
2 、倍角公式
cos2

2cos
2

112sin
2

有升、降幂的功能，如果升幂，

1tan
2
2
,cossin

1tan
2
1tan
2
2
则角减半，如果降幂，则角加倍，根据条件灵活选用.
3、公式的“三用”（顺用、逆用、变用）是熟练进行三角变形的前提.
3、整体原则 -------从角度关系、函数名称差异、式子结构特征分析入手，寻求
三角变形的思维指向；

4、角度配凑方法 ，其中

,

是任意角。

(



)



(< br>


)



2




2

2



2


2



2


2

(



)(



) (



)(



)2(


三、例题讲解

例1 已知α，β均为锐角， sinα=
< br>



)2(



2



2
)
510
，sin
< br>
，求α+β的值。
510

解析：由已知条件有cosα=< br>23
5，cos

10
，且0＜α+β＜π。
510
又cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
23510
5×10×
510510
2



＞0，
2

所以




4
n

x)
2
,(nZ)

sin(3

x)cos(x

)tan(x
)cot(
例2已知
f(x)
（１）求
f(
cos(n

x)
52

);

3
3

4
（２）若
cos(

),
求
f(

)
的值．
25
解当
n2k(nZ)
时，
f(x)
sinxcosxtanxcotx
sinx;

cosx
sinxcosxtanx(tanx)
sinxtan
2
x.

cosx
3

4

cos(

)sin

,sin

.

25
故当n为偶数时，
当
n2k1(kZ)
时，
f (x)
52

52

4

3
)si nsin,
3332

4
f(

)sin

;
5
f(
当n为奇数时，
52

52
52

4

4

33
)sin tan
2
.sintan
2
,
333332

sin
2

9
2
f(

)sin

tan

sin

.
2
cos

16
f(

21
例 3已知
sin(



),sin(



).

35
（１）求
tan

cot

的值；
（２） 当



(
解（１）

,),



(,)
时，求
sin2

的值．
2222


2

sin

cos

cos

sin

,

< br>3

1
［方法１］

sin

cos

cos

sin

,


5
137
sin

cos

,cos
< br>sin

.
3030
从而，
tan

co t


sin

cos

13
.

cos

sin

7
sin

cos

,

cos

sin


［ 方法２］设
xtan

cot


sin(
< br>

)10
,且
sin(



)3
sin(



)
sin(


)
cos

cos

tan

t an



sin(



)
sin(



)
tan

tan
< br>cos

cos

tan

1
x1tan

,
tan

1
x1
tan< br>

x11013
,tan

cot

x.

x137
（２）由已知可得


sin2

sin[(



)(



)]< br>
sin(



)cos(



)cos(



)sin(



)


465
.
15

11
例4已知
cos(



),cos(



),
求
tan

tan

的值.
22
解
1

cos

cos

sin

sin

,

2


cos

cos

sin

sin


1
,


3

51
cos

cos

,sin

sin

.
1212
tan

tan< br>

sin

sin

1
.

cos

cos

5
11
例5已知
si n

cos

,cos

sin

,
求
sin(



)
的值.
23
解 将两条件式分别平方，得
1
sin
2
2sin

cos

cos
2

,4

1
cos
2

2cos

s in

sin
2

.
9
将上面两式相加，得
13
,
36

59
sin(



).
72
22sin(



)
例6
sin7cos15sin8
的值等于 （ ）
cos7sin15sin8
2323
D．
22
A．
23
B．
23
C．
解
sin(15
0
8
0
)cos15
0
sin8
0
原式
cos(15
0
8
0
)sin15
0
sin8
0
sin15
0
cos80
cos15
0
sin8
0
cos15
0
sin8
0

cos15
0
cos8
0
sin1 5
0
sin8
0
sin15
0
sin8
0

tan45
0
tan30
0
000
tan15t an(4530)
1tan45
0
tan30
0
23.< br>故选B.

例7 已知cos(α－β)=
，sin2，2、
都是锐角，求cos(α+β)的值。
解析：由已知条件有
1
0＜2＜，又sin2,
23
1< br>则cos21sin
2
21()
2
3

22
。
3
1
2
1
3

11

因为0＜sin2α=
＜
，所以0＜2α＜，所以0＜α＜。 ①
1 2
32
6
又因为0＜β＜



，所以

＜-β＜0 。 ②由①、②得

＜α-β＜。
22
212又因为cos（α-β）=

1
，所以
＜



＜0
。
2
2
=

3
。
2
所以sin()1cos
2
()
从而cos(α+β)= cos[2α-(α-β)]
=cos2αcos(α-β)+sin2αsin(α-β)

22113
×× （）
3232
223
。
6



11

评析：本例通过0＜sin2α=
＜
，发现了隐含条件：0＜α＜，将α-
32
12

1
β的范围缩小 为
＜



＜
，进而由cos(α-β)= ,将α-β 的范围确定
212
2
为


2
＜



＜0
，从而避免了增解。
例8 已知


2222
x
2
33x40
的两个根，求α+β的值。
＜
＜

，

＜

＜

，且 tanα,tnaβ是一元二次方程

解析：由已知条件得tanα+tanβ=
33＜0
，tanαtanβ=4＞0，
所以tanα＜0，tanβ＜0。

又因为


2
2
＜

＜

2

2
，< br>
2
＜

＜

2
，
所以
＜＜0，＜＜0,
所以-π＜α+β＜0。
又因为tan(α+β)=
33
tan

tan

3
=
14
1tan

tan

2
所以α+β=


。
3
评析：本例根据韦达定理tanα+tanβ=
33
，tanαtanβ=4，挖掘出了隐
含条件tanα＜0,tanβ＜0，知
＜＜0
，
＜＜0
，得出了α+β的确切范
围，从而顺利求解。

例9 已知
tan

3
，求①

解：①

sin2


cos

2sin

cos


cos

2tan
17
②
sin2


cos

．
222
1
sin


cos

t an

1
10
2
22

2

2
sin

2cos

2
；②
sin2


cos

．
5cos

sin
< br>sin

2cos

tan

2
5=

；
5cos

sin

5tan

2

1
例10 已知
sin

cos

，
，
求sin

cos

的值．

（0，

）
3
1
25
解：
sin

cos


12sin

cos


1
2sin

cos

8
0（）
1-2sin

cos


3
9
9
9
2
25
(sin

cos< br>
)

，
9
又因为（

）及
< br>
，所以


，即
sin

cos

0
，
（，

）
（0，

）
2
5
所以
sin

cos


．
3

2
注：“已知
sin

cos

”与 “未知< br>sin

cos

”的联系是“
(sin

cos

)

=
(sin

cos

)
4sin

cos

”，从而目标是求出
sin

cos

的值．
4
例11 已知
s in

，tan(



)1,
且

是第二象限的角，求
tan

．
5
4
解：∵
是第二象限的角，
sin

，

5
34
∴
cos


，即
tan


， < br>53
2


∴
tan

=
ta n[(



)

]
=

tan(



)tan

7
．
1tan(



)tan

注：“未知
”与“已知

”和“已知



”的联系显 然是“

(



)

”．

124

3

例12 已知
cos(



),cos(



),且



,
求sin2

．
13524


3


3

解：∵



,
∴




,





,

24442
124又
cos(



),cos(



),

135
所以可知



是 第一象限的角，



是第三象限的角．
3
2
5
∴
sin(



)1
cos
2(



),
sin(


)1
cos
(



),

5
13
∴
sin2

sin[(



)(



)]sin(


< br>)cos(



)cos(


< br>)sin(



)
，


3

12
(
4
)
5
56
．
51351365
注：“未知
2

”与“已知



”和“已知



”的联系显然是
“
2

(



)(


)
”．
11
cos(



)
．例13 已知
sin

sin

，
求（１）（２）
c os

cos

，
cos(

-
< br>)，
43
解：解法一：
11
22
sin

sin



sin

2sin

 sin


sin


……①
416
1 1
22
cos

cos



cos< br>
2cos

cos


cos

……②
39
263
①＋②得：
cos(

-

)
＝

；
288
11
②－①得：< br>cos2

cos2

2cos(



)
，
916
7
即
2cos(



)cos(



)2cos(



)
，
144
77

所以
cos(



)
＝．
288[cos(

< br>
)1]25
解法二：把已知和差化积得：
1





1
sin

sin


2sincos
……③
4224
1





1
cos

cos



2coscos
……④
3223
25
2



，
③
２
＋④
２
得：
4
co s

2144
25
即
2[1cos(



)

，
144

263
．
288



3
③÷④得：
tan
< br>24
∴
cos(



)=-
2

7
．
2



25
1
tan
2
注：求
cos(

-

)
利用方法一简 单，求
cos(



)
利用方法二简单．一般地，
已知两角的正余弦的和与差，求两角和与差的正余弦，往往采用和差化积或者平
方后求和与差．
【 课堂练习1】
1．cos105°的值为 （ ）
∴
cos(



)
＝
A．
6 ＋2
B．
4
6 －2
C．
4
2 －6

4
1
tan
2



－6 －2
D．
4
π
2．对于任何α、β∈（0，），sin(α+β)与sinα+sinβ的大小 关系是 （ ）
2
A．sin(α+β)＞sinα+sinβ B．sin(α+β)＜sinα+sinβ
C．sin(α+β)=sinα+sinβ D．要以α、β的具体值而定
3π
3．已知π＜θ＜，sin2θ=a，则sinθ+cosθ等于 （ ）
2
A．
a+
1 B．－
a+
1 C．
a
2
+
1 D．±
a
2
+
1
11
4．已知tanα=，tanβ=，则cot(α+2β)= ．
33
1
5．已知tanx=，则cos2x= ．
2
【 课堂练习2】
求下列各式的值
1．cos200°cos80°+cos110°cos10°= ．
1
2．（cos15°+3 sin15°）= ．
2
3．化简1+2cos
2
θ－cos2θ= ．
4．cos(20°+x)cos(25°－x)－cos(70°－x)sin(25°－x)= ．

11
5．－ = ．
1－tanθ1＋tanθ

【课后反馈1】
1．已知0＜α＜
（ ）
242424
A．0 B．0或 C． D．0或－
252525
2．
sin7°+cos15°sin8°
的值等于 （ ）
cos7°－sin15°sin8°
A．2+3 B．
2+3 2－3
C．2－3 D．
22
π34
＜β＜π，sinα=，cos(α+β)=－，则sinβ等于
255
3． △ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C的大小为
（ ）
A．
π5ππ5ππ2π
B． C． 或 D． 或
666633
π1
4．若α是锐角，且sin(α－)= ，则cosα的值是 ．
63
5．cos
π2π3π
coscos = ．
777
11
6．已知tanθ=，tanφ=，且θ、φ都是锐角．求证： θ+φ=45°．
23




44π
7．已知cos(α－β)=－，cos(α+β)= ，且（α－β）∈（，π），α +β
552
∈（
3π
，2π），求cos2α、cos2β的值．
2

11tanα
8． 已知sin(α+β)= ，且sin(π+α－β)= ，求．
23tanβ





【课后反馈2】
1．cos75°+cos15°的值等于 （ ）
A．
6 6 2 2
B － C． － D．
2222
2 2
（sin17°+cos17°），b=2cos
2
13°－1，c= ，则 （ ）
22
2．a=
A．c＜a＜b B． b＜c＜a C． a＜b＜c D． b＜a＜c
1+sin2θ-cos2θ
3．化简= ．
1+sin2θ+cos2θ



4．化简sin(2α+β)－2sinαcos(α+β)= ．


ACAC
5．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，则tan+tan+3 tantan的值
2222
为 ．

6．化简si n
2
A+sin
2
B+2sinAsinBcos(A+B)．



7 化简sin50°(1+3 tan10°)．

8 已知sin(α+β)=1，求证：sin(2α+β)+sin(2α+3β)=0．







参考答案：
【 课堂练习1】
13
1． C 2． B 3． B 4． 5．
25
【 课堂练习2】
12 2
1．－ 2． 3． 2 4． 5．tan2θ
222

【课后反馈1】
1． C 2． C 3． A 4．
26 －11
5． 6．略
68
7． cos2α=－
71
，cos2β=－1 8．
255
【课后反馈2】
1． A 2． A 3． tan θ 4． sinβ 5． 3 6． sin
2
（A＋B）．
7. 1 8 .略．

2sincos
5
sin3cos
例14 已知，求3cos 2 + 4sin 2 的值。
2sincos
5
∴cos   0 (否则 2 =  5 )
sin3cos
2tan1
5
解之得：tan  = 2 ∴
tan3
解 ：∵
3(1tan
2
)42tan3(12
2
)42 27

∴原式

5
1tan< br>2
1tan
2
12
2
12
2

【 课堂练习1】
1. ．已知sin
x
=
xx
4< br>，且
x
是锐角，求
sincos
的值。
22
5












2. 下列函数何时取得最值？最值是多少？
①
ysin2xcos2x




②
y2sinxcos2x





③
ycos(2x






【课后反馈1】
2
)2cos(x)

77

1. 求函数
f(x)cos
2
xsinx< br>在
[,]
上的最小值。
44

参考答案：
【 课堂练习1】

1、
(
355
,)
55
11313
,y
min
)
、
(y
ma x
,y
min
)
、
(y
max
3,ymin
)

22222
【课后反馈1】
2、
(y
max

1．
(
12
)

2
2．