厦门大学在职研究生-总经理助理岗位职责

制作老师：丁道昌
Long Wen Education

课题十一：倍角公式，推导“和差化积”及“积化和差”公式
教学第一环节：衔接阶段
 回收上次课的教案，检查学生的作业，做判定。
 了解家长的反馈意见
 通过交流，了解学生思想动态，稳定学生的学习情绪
 了解学生上次学习的情况，查漏补缺，为后面的备课方向提供依据
教学第二个环节：教学内容
一、复习倍角公式、半角公式和万能公式的推导过程：
例一、已知

2

，
0
，tan =


3
4
1
3
，tan =

1
7
，求2 + 
1
又∵
7
4
tan2
解：
2tan
1tan
3
2
2

∴
tan(2)

2
tan2tan
1tan2 tan
tan2 < 0，tan < 0 ∴
22
，

1
2
0
∴
22
∴2 +  =

2

例二、 已知sin  cos = ，
2
，求
tan
1
2
和tan的值
2
2tan

2
2
1tan

2
1tan

2

2

2

1


2
2
1612
2
27
解：∵sin  cos = ∴
1tan

2

2
化简得：
tan2

2
4tan

2
30

2
∴
tan
∴
tan

4

∵
2
∴
2tan

2
2
0
即
tan
27

2
27

tan 
1tan

2

2(2
1(2
7)
7)
2

427
1047

527
4
3
7

三、积化和差公式的推导
sin( + ) + sin(  ) = 2sincos  sincos =[sin( + ) + sin(  )]
2
1
1
2
1
2
sin( + )  sin(  ) = 2cossin  cossin =[sin( + )  sin(  )]
cos( + ) + cos(  ) = 2coscos  coscos =[cos( + ) + cos(  )]
cos( + )  cos(  ) =  2sinsin  sinsin = [cos( + )  cos(  )]
2
1这套公式称为三角函数积化和差公式，熟悉结构，不要求记忆，它的优点
在于将“积式”化为“和差 ”，有利于简化计算。（在告知公式前提下）
把您的孩子当成我们自己的孩子

制作老师：丁道昌
Long Wen Education

四、和差化积公式的推导
若令 +  = ，   = φ，则

sin

2
cos

2

1
2
[sin(

2

< br>2
，

2

2

代入得： 2
)]
1
2
(sinsin)

2
)sin(


∴
sinsin2sin
 
2
2
cos

2

sinsi n2cos

2

sin
2

< br>coscos2cos

coscoscos 2sinsin
222

这套公式称为和差化积公式，其特点是同名的正（余）弦才 能使用，它与
积化和差公式相辅相成，配合使用。
二、已知cos  cos  =
1
2
，sin  sin =

1
2
1
3
1
3
，求sin( + )的值
sin
sin

2

2
1
2
解：∵cos  cos  =
sin  sin  =

∵
sin

2
，∴2sin
，∴
2cos

2

2

2

3
2
①
1
3

②

3
2
0
∴
tan
∴
tan

2

2tan

2
∴
sin()
1 tan
2


2
2
1
3
2

12

9
13
4
教学第三个环节：知识总结 积化和差公式和和差化积公式
教学第四个环节：知识应用环节
一、求证：sin3sin
3
 + cos3cos
3
 = cos
3
2
证：左边 = (sin3sin)sin
2
 + (cos3cos)cos
2

= 
= 
=
=
1
2
1
(cos4  cos2)sin
2
 +
1
2
1
2
(cos4 + cos2)cos
2

11
222
1
2
12
cos4sin
2
 +cos2sin
2
 +cos4cos
2
 +cos2cos
2

cos4cos2 +
1
2
cos2 =
1
2
cos2(cos4 + 1)
cos22cos
2
2 = cos
3
2 = 右边∴原式得证

2
教学第五个环节：布置作业
1、试求函数
ysinxcosx2sinxcosx2
的最大值和最小值。 若
x[0,]
呢？
2、已知tan = 3tan( + )，


6
，求sin(2 + )的值。
把您的孩子当成我们自己的孩子