商务短信-评职称工作总结

和差化积和积化和差公式
1、
正弦、余弦的和差化积

sin

sin

2sin




22






sin

sin

2cossin
22
cos




cos

cos

2cos< br>


2
cos



2

cos

cos

2sin



2
sin



2
【注意右式前的负号】
证明过程
sin α+sin β=2sin[(α+β)2]·cos[(α-β)2]的证明过程


sin(α
+
β)=sin αcos β+cos αsin β，
sin(α
-
β)=sin αcos β
-
cos αsin β，
将以上两式的左右两边分别相加，得
sin(α
+
β)+sin(α
-
β)=2sin αcos β
，

设 α
+
β
=
θ，α
-
β
=
φ





那么


，



22
把α，β的值代入，即得






sin θ
+
sin φ
=2
sin


cos
22
2、正切和差化积





tanα±tanβ=
sin(



)


cos

cos

sin(



)

sin

sin

cotα± cotβ=
tanα+cotβ=
cos(



)


cos

sin< br>
cos(



)

cos
< br>sin

sin

sin



cos

cos

tanα-cotβ=

证明：左边=tanα±tanβ=
=
sin

 cos

cos

sin


cos

cos

sin(



)
=右边
cos

cos

=

在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公 式化为同名；
若是高次函数，必须用降幂公式降为一次

3、积化和差公式

sin

sin



cos





cos






（注意：此时差的余弦在和的余弦前面） < br>
cos





cos
< br>




（注意：此时公式前有负号）
2
或写作：
sin

sin


2

cos





c os







cos

cos


2

sin





sin






sin

cos

< br>2

sin





sin< br>






cos

sin


2
证明
积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。
即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明：
1


2si
nsi

n


2


cos

cos

sin

sin




cos

cos

sin

sin





2
1



co s





cos


< br>



2

si

nsi

n
其他的3个式子也是相同的证明方法。

结果除以2
这一点最简单的记忆方 法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值域都是[-1,1]，其和差
的值域应该是[-2, 2]，而积的值域确是[-1,1]，因此除以2是必须的。
也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如：
cos(α-β)-cos(α+β)
=12[(cosα·cosβ+sinα·sinβ)-(cosα·cosβ-sinα·sinβ)]
=2sinα·sinβ
故最后需要除以2。