和差化积、积化和差、万能公式资料
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正、余弦和差化积公式
指高中数学三角函数部分的一组恒等式
sin
α+sinβ=2sin[(α
+
β)2]·cos[(α
-
β)2]
sin α-sin
β=2cos[(α
+
β)2]·sin[
(
α
-
β)2]
cos α+cos
β=2cos[(α
+
β)2]·cos[
(
α
-
β)2]
cos α-cos
β=-2sin[(α
+
β)2]·sin[(α
-
β)2]
【注意右式前的
负号】
以上四组公式可以由积化和差公式推导得到
证明过程
sin α+sin
β=2sin[(α+β)2]·cos[(α-β)2]的证明过程
因为
sin(α
+
β)=sin αcos β+cos αsin β，
sin(α
-
β)=sin αcos β
-
cos αsin
β，
将以上两式的左右两边分别相加，得
sin(α
+
β)+sin(α
-
β)=2sin αcos
β
，
设
α
+
β
=
θ，α
-
β
=
φ
那么
α
=(
θ
+
φ
)2,
β
=（
θ
-
φ
）2
把α，β的值代入，即得
sin θ
+
sin φ
=2
sin[
(
θ
+
φ
)2
]cos[(θ
-
φ
）2
]
正切的和差化积
tanα±tanβ=sin(α±β)(cosα·cosβ)（附证明）
cotα±cotβ=sin(β±α)(sinα·sinβ)
tanα+cotβ=cos(α-β)(cosα·sinβ)
tanα-
cotβ=-cos(α+β)(cosα·sinβ)
证明：左边=tanα±tanβ=sinαcosα±sinβcosβ
=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)(cosα·cosβ)
=sin(α±β)(cosα·cosβ)=右边
∴等式成立
注意事项
在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必
须用诱导公式化为同
名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次
口诀
正加正，正在前，余加余，余并肩
正减正，余在前，余减余，负正弦
反之亦然
生动的口诀：（和差化积）
帅+帅=帅哥
帅-帅=哥帅
咕+咕=咕咕
哥-哥=负嫂嫂
反之亦然
记忆方法
和差化积公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出
了各自的简单记忆方法。
结果乘以2
这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值<
br>域都是[-1,1]，其积的值域也应该是[-1,1]，而和差的值域却是[-2,2]，因
此
乘以2是必须的。
也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相
同而造成有系数2，如：
cos(α-β)-cos(α+β)
=[(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)]
=2sinαsinβ
故最后需要乘以2。
只有同名三角函数能和差化积
无论是正弦函数还是余弦函数，都只有同名三角函数的和差能够化为乘
积。这一点主要是根
据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公
式展开后乘积项的形式都不同，就不会出现相抵消
和相同的项，也就无法化
简下去了。
乘积项中的角要除以2
在和差化积公式的证明中，必须先把α和β表示成两角和差的形式，
才能够展开。熟知要使两个角的和、
差分别等于α和β，这两个角应该是
(α+β)2和(α-β)2，也就是乘积项中角的形式。
注意和差化积和积化和差的公式中都有一个“除以2”，但位置不同；
而只有和差化积公式
中有“乘以2”。
使用哪两种三角函数的积
这一点较好的记忆方法是拆分成两点，一是是否同名乘积，二是“半差
角”(α-β)2的三角函数名。
是否同名乘积，仍然要根据证明记忆。注意两角和差公式中，余弦的展
开中含有两对同名三
角函数的乘积，正弦的展开则是两对异名三角函数的乘
积。所以，余弦的和差化作同名三角函数的乘积；
正弦的和差化作异名三角
函数的乘积。
(α-β)2的三角函数名规律为：和化为积时
，以cos(α-β)2的形
式出现；反之，以sin(α-β)2的形式出现。
由函
数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。如果要使和化为积，那么α
和β调换位置对结果没有影响，也就是若
把(α-β)2替换为(β-α)2，
结果应当是一样的，从而(α-β)2的形式是cos(α-β)
2；另一种情况可
以类似说明。
余弦-余弦差公式中的顺序相反负号
这是一个特殊情况，完全可以死记下来。
当然，也有其他方法可以帮助这种情况的判定，如(0,π
]内余弦函数的
单调性。因为这个区间内余弦函数是单调减的，所以当α大于β时，cosα
小
于cosβ。但是这时对应的(α+β)2和(α-β)2在(0,π)的范围内，
其正弦的乘积应大于
0，所以要么反过来把cosβ放到cosα前面，要么就
在式子的最前面加上负号。
积化和差公式
sinαsinβ=[cos(α
余弦前面）
或写作：sinαsinβ
前有负号）
cosαcosβ=[cos(α
sinαcosβ=[sin(α
cosαsinβ=[sin(α
证明
积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。
即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明：
-β)-cos(α+β)]2（注意：此时差
的余弦在和的
=-[cos(α+β)-cos(α-β)]2（注意：此时公式
-β)+co
s(α+β)]2
+β)+sin(α-β)]2
+β)-sin(α-β)]2
sinαsinβ=-12[-2sinαsinβ]
=-12[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]
=-12[cos(α+β)-cos(α-β)]
其他的3个式子也是相同的证明方法。
（参见和差化积）
作用
积化和差公式可以将两个三角函数值的积化为另两个
三角函数值的和
乘以常数的形式，所以使用积化和差公式可以达到降次的效果。
在历史上，对数出现之前，积化和差公式被用来将乘除运算化为加减运
算，运算需要利用三角函数表。
运算过程：将两个数通过乘、除10的方幂化为0到1之间的数，通过
查表求出对应的反三
角函数值，即将原式化为10^k*sinαsinβ的形式，套
用积化和差后再次查表求三角函数的值
，并最后利用加减算出结果。
对数出现后，积化和差公式的这个作用由更加便捷的对数取代。
记忆方法
积化和差公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出
了各自的简单记忆方法。
结果除以2
这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值<
br>域都是[-1,1]，其和差的值域应该是[-2,2]，而积的值域确是[-1,1]，因此
除
以2是必须的。
也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相
同而造成有系数2，如：
cos(α-β)-cos(α+β)
=(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)
=2sinαsinβ
故最后需要除以2。
使用同名三角函数的和差
无论乘积项中的三角函数是否同名，化为和差形式时，都应是同名三角
函数的和差。这一点主要是根据证
明记忆，因为如果不是同名三角函数，两
角和差公式展开后乘积项的形式都不同，就不会出现相抵消和相
同的项，也
就无法化简下去了。
使用哪种三角函数的和差
仍
然要根据证明记忆。注意两角和差公式中，余弦的展开中含有两对同
名三角函数的乘积，正弦的展开则是
两对异名三角函数的乘积。所以反过来，
同名三角函数的乘积，化作余弦的和差；异名三角函数的乘积，
化作正弦的
和差。
是和还是差？
这是积化和差公式的使用中最容易出错的一
项。规律为：“小角”β以
cosβ的形式出现时，乘积化为和；反之，则乘积化为差。
由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。如果β的形式是cosβ，那
么若把β替换为-β，结果应当是
一样的，也就是含α+β和α-
β的两项
调换位置对结果没有影响，从而结果的形式应当是和；另一种情况可以类似
说明。
正弦-正弦积公式中的顺序相反负号
这是一个特殊情况，完全可以死记下来。
当然，也有其他方法可以帮助这种情况的判定，如[0,π]内余弦函
数的单调性。因为这
个区间内余弦函数是单调减的，所以cos(α+β)不大
于cos(α-β)。但是这时对应的α和β
在[0,π]的范围内，其正弦的乘
积应大于等于0，所以要么反过来把cos(α-β)放到cos(
α+β)前面，要
么就在式子的最前面加上负号。
万能公式
【词语】：万能公式
【释义】：应用公式sinα=[2tan(α2)]{1+[tan(α2)]^2}
cosα=[1-tan(α2)^2]{1+[tan(α2)]^2}
tanα=[2tan(α2)]{1-[tan(α2)]^2}
将sinα、cosα、tanα代换成tan（α2）的式子，这种代换称为万能置换。
【推导】：（字符版）
sinα=2sin(α2)cos(α2)=[2sin(α
2)cos(α2)][sin(α2)^2+cos(α2)^2]=[2tan(α2)][1+(tanα
2)^2]
cosα=[cos(α2)^2-sin(α2)^2]=[c
os(α2)^2-sin(α2)^2][sin(a2)^2+cos(a2)^2]=[1-tan(α2
)
^2][1+(tanα2)^2]
tanα=tan[2*(α2)]=2tan
(α2)[1-tan(α2)^2]=[2tan(α2)][1-(tanα2)^2]