十四中-退伍军人简历

和差化积、积化和差、万能公式
正、余弦和差化积公式
指高中数学三角函数部分的一组恒等式
sin
α
+sin
β
=2sin[(
α+β
)2]·cos[(
α-β
)2]
sin
α
-sin
β
=2cos[(
α+β
)2]·sin[
(α-β
)2]
cos
α
+cos
β
=2cos[(
α+β
)2]·cos[
(α-β
)2]
cos
α
-cos
β
=-2sin[(
α+β)2]·sin[(
α-β
)2] 【注意右式前的
负号】
以上四组公式可以由积化和差公式推导得到
证明过程






















sin α+sin β=2sin[(α+β)2]·cos[(α-β)2]的证明过程
因为
sin(
α+β
)=sin
α
cos
β
+cos
α
sin
β
，
sin(
α-β
)=sin
α
cos
β-
cos
α
sin
β
，
将以上两式的左右两边分别相加，得
sin(
α+β
)+sin(
α-β
)=2sin
α
cos
β，

设
α+β=θ
，
α-β=φ

那么
α=(θ+φ)2, β=（θ-φ）2

把α，β的值代入，即得
sin
θ+
sin
φ=2
sin[
(θ+φ)2
]cos[(
θ-φ）2
]
正切的和差化积
















tanα±tanβ=sin(α±β)(cosα·cosβ)（附证明）
cotα±cotβ=sin(β±α)(sinα·sinβ)
tanα+cotβ=cos(α-β)(cosα·sinβ)
tanα- cotβ=-cos(α+β)(cosα·sinβ)
证明：左边=tanα±tanβ=sinαcosα±sinβcosβ
=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)(cosα·cosβ)
=sin(α±β)(cosα·cosβ)=右边
∴等式成立
注意事项
在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必
须用诱导公式化为同 名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次
口诀
正加正，正在前，余加余，余并肩
正减正，余在前，余减余，负正弦
反之亦然

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和差化积、积化和差、万能公式












生动的口诀：（和差化积）
帅+帅=帅哥
帅-帅=哥帅
咕+咕=咕咕
哥-哥=负嫂嫂
反之亦然
记忆方法
和差化积公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出
了各自的简单记忆方法。
结果乘以2
这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值< br>域都是[-1,1]，其积的值域也应该是[-1,1]，而和差的值域却是[-2,2]，因
此 乘以2是必须的。
也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相
同而造成有系数2，如：
cos(α-β)-cos(α+β)
=[(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)]
=2sinαsinβ
故最后需要乘以2。
只有同名三角函数能和差化积
无论是正弦函数还是余弦函数，都只有同名三角函数的和差能够化为乘
积。这一点主要是根 据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公
式展开后乘积项的形式都不同，就不会出现相抵消 和相同的项，也就无法化
简下去了。
乘积项中的角要除以2
在和差化积公式 的证明中，必须先把α和β表示成两角和差的形式，
才能够展开。熟知要使两个角的和、差分别等于α和 β，这两个角应该是
(α+β)2和(α-β)2，也就是乘积项中角的形式。
注意和 差化积和积化和差的公式中都有一个“除以2”，但位置不同；
而只有和差化积公式中有“乘以2”。
使用哪两种三角函数的积
这一点较好的记忆方法是拆分成两点，一是是否同名乘积，二是“半差
角”(α-β)2的三角函数名。

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和差化积、积化和差、万能公式
是否同名乘积， 仍然要根据证明记忆。注意两角和差公式中，余弦的展
开中含有两对同名三角函数的乘积，正弦的展开则 是两对异名三角函数的乘
积。所以，余弦的和差化作同名三角函数的乘积；正弦的和差化作异名三角函数的乘积。
(α-β)2的三角函数名规律为：和化为积时，以cos(α-β)2的形
式出现；反之，以sin(α-β)2的形式出现。
由函数的奇偶性记忆这一点是最便 捷的。如果要使和化为积，那么α
和β调换位置对结果没有影响，也就是若把(α-β)2替换为(β- α)2，
结果应当是一样的，从而(α-β)2的形式是cos(α-β)2；另一种情况可
以 类似说明。
余弦-余弦差公式中的顺序相反负号
这是一个特殊情况，完全可以死记下来。
当然，也有其他方法可以帮助这种情况的判定，如(0,π ]内余弦函数的
单调性。因为这个区间内余弦函数是单调减的，所以当α大于β时，cosα
小 于cosβ。但是这时对应的(α+β)2和(α-β)2在(0,π)的范围内，
其正弦的乘积应大于 0，所以要么反过来把cosβ放到cosα前面，要么就
在式子的最前面加上负号。
积化和差公式
sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]2（注意： 此时差的余弦在和的
余弦前面）
或写作：sinαsinβ=-[cos(α+β)- cos(α-β)]2（注意：此时公式
前有负号）
cosαcosβ=[cos(α-β)+cos(α+β)]2
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]2
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]2
证明














积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。
即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明：
sinαsinβ=-12[-2sinαsinβ]
=-12[(cosαcosβ- sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]
=-12[cos(α+β)-cos(α-β)]
其他的3个式子也是相同的证明方法。
（参见和差化积）
作用
积化和差公式可以将两个三角函数值的积化为另两个 三角函数值的和
乘以常数的形式，所以使用积化和差公式可以达到降次的效果。

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和差化积、积化和差、万能公式
在历史上，对数出现之前，积化和差公式被用来将乘除运算化为加减运
算，运算需要利用三角函数表。
运算过程：将两个数通过乘、除10的方幂化为0到1之间的数，通过
查表求出对应的反三 角函数值，即将原式化为10^k*sinαsinβ的形式，套
用积化和差后再次查表求三角函数的值 ，并最后利用加减算出结果。
对数出现后，积化和差公式的这个作用由更加便捷的对数取代。
记忆方法
积化和差公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出
了各自的简单记忆方法。
结果除以2
这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值< br>域都是[-1,1]，其和差的值域应该是[-2,2]，而积的值域确是[-1,1]，因此
除 以2是必须的。
也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相
同而造成有系数2，如：
cos(α-β)-cos(α+β)
=(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)
=2sinαsinβ
故最后需要除以2。
使用同名三角函数的和差
无论乘积项中的三角函数是否同名，化为和差形式时，都应是同名三角
函数的和差。这一点主要是根据证 明记忆，因为如果不是同名三角函数，两
角和差公式展开后乘积项的形式都不同，就不会出现相抵消和相 同的项，也
就无法化简下去了。
使用哪种三角函数的和差
仍然要根据证明记 忆。注意两角和差公式中，余弦的展开中含有两对同
名三角函数的乘积，正弦的展开则是两对异名三角函 数的乘积。所以反过来，
同名三角函数的乘积，化作余弦的和差；异名三角函数的乘积，化作正弦的和差。
是和还是差？
这是积化和差公式的使用中最容易出错的一项。规律为：“ 小角”β以
cosβ的形式出现时，乘积化为和；反之，则乘积化为差。
由函数的奇偶 性记忆这一点是最便捷的。如果β的形式是cosβ，那
么若把β替换为-β，结果应当是一样的，也就 是含α+β和α-β的两项

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和差化积、积化和差、万能公式
调换位置对结果没有影响，从而结果的形式应当是和；另一种情况可以类似
说明。
正弦-正弦积公式中的顺序相反负号
这是一个特殊情况，完全可以死记下来。
当然，也有其他方法可以帮助这种情况的判定，如[0,π]内余弦函
数的单调性。因为这 个区间内余弦函数是单调减的，所以cos(α+β)不大
于cos(α-β)。但是这时对应的α和β 在[0,π]的范围内，其正弦的乘
积应大于等于0，所以要么反过来把cos(α-β)放到cos( α+β)前面，要
么就在式子的最前面加上负号。
万能公式


【词语】：万能公式
【释义】：应用公式sinα=[2tan(α2)]{1+[tan(α2)]^2}
cosα=[1-tan(α2)^2]{1+[tan(α2)]^2}
tanα=[2tan(α2)]{1-[tan(α2)]^2}
将sinα、cosα、tanα代换成tan（α2）的式子，这种代换称为万能置换。
【推导】：（字符版）

sinα=2sin(α2)cos(α2)=[2sin(α 2)cos(α2)][sin(α2)^2+cos(α2)^2]=[2tan(α2)][1+(tanα
2)^2]

cosα=[cos(α2)^2-sin(α2)^2]=[c os(α2)^2-sin(α2)^2][sin(a2)^2+cos(a2)^2]=[1-tan(α2 )
^2][1+(tanα2)^2]
tanα=tan[2*(α2)]=2tan (α2)[1-tan(α2)^2]=[2tan(α2)][1-(tanα2)^2]


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