和差化积积化和差万能公式
成都七中实验学校-祝老师的祝福语怎么写
正、余弦和差化积公式
指部分的一组
sin
α
+sin
β
=2sin[(
α+β
)2]·cos[(<
br>α-β
)2]
sin
α
-sin
β
=2cos[(
α+β
)2]·sin[
(α-β
)2]
cos
α
+cos
β
=2cos[(
α+β
)2]·cos[
(α-β
)2]
cos
α
-cos
β
=-2sin[(
α+β
)2]·sin[(
α-β
)2] 【注意右式前的负号】
以上四组公式可以由公式推导得到
证明过程
sin
α+sin β=2sin[(α+β)2]·cos[(α-β)2]的证明过程
因为
sin(
α+β
)=sin
α
cos
β
+cos
α
sin
β
，
sin(
α-β
)=sin
α
cos
β-
cos
α
sin
β
，
将以上两式的左右两边分别相加，得
sin(
α+β
)+sin(
α-β
)=2sin
α
cos
β，
设
α+β=θ
，
α-β=φ
那么
α=(θ+φ)2,
β=（θ-φ）2
把α，β的值代入，即得
sin
θ+
sin
φ=2
sin[
(θ+φ)2
]cos[(
θ-φ）2
]
正切的和差化积
tanα±tanβ=sin(α±β)(cosα·cosβ)（附证明）
cotα±cotβ=sin(β±α)(sinα·sinβ)
tanα+cotβ=cos(α-β)(cosα·sinβ)
tanα-
cotβ=-cos(α+β)(cosα·sinβ)
证明：左边=tanα±tanβ=sinαcosα±sinβcosβ
=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)(cosα·cosβ)
=sin(α±β)(cosα·cosβ)=右边
∴等式成立
注意事项
在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用化为
同名；若是
高次函数，必须用降为一次
口诀
正加正，正在前，余加余，余并肩
正减正，余在前，余减余，负正弦
反之亦然
生动的口诀：（和差化积）
帅+帅=帅哥
帅-帅=哥帅
咕+咕=咕咕
哥-哥=负嫂嫂
反之亦然
记忆方法
和差化积公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出了各自的
简单记忆方法。
结果乘以2
这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值域
都是
[-1,1]，其积的值域也应该是[-1,1]，而和差的值域却是[-2,2]，因此乘以2是
必须
的。
也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成
有系数2，如：
cos(α-β)-cos(α+β)
=[(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)]
=2sinαsinβ
故最后需要乘以2。
只有同名三角函数能和差化积
无论是正弦函数还是余弦函数，都只有同名三角函数的和差能够化为乘积。这一
点主要是根
据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公式展开后乘积项的
形式都不同，就不会出现相抵消
和相同的项，也就无法化简下去了。
乘积项中的角要除以2
在和差化积公式的证明中
，必须先把α和β表示成两角和差的形式，才能够展
开。熟知要使两个角的和、差分别等于α和β，这两
个角应该是(α+β)2和
(α-β)2，也就是乘积项中角的形式。
注意和差化积和
积化和差的公式中都有一个“除以2”，但位置不同；而只有和差
化积公式中有“乘以2”。
使用哪两种三角函数的积
这一点较好的记忆方法是拆分成两点，一是是否同名乘积，二是“半差
角”(α-β)2的三角函数名。
是否同名乘积，仍然要根据证明记忆。注意两角和差公式中，余弦的展开中含有
两对同名三
角函数的乘积，正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。所以，余弦的
和差化作同名三角函数的乘积；
正弦的和差化作异名三角函数的乘积。
(α-β)2的三角函数名规律为：和化为积时，以co
s(α-β)2的形式出现；反
之，以sin(α-β)2的形式出现。
由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。如果要使和化为积，那么α和β调换
位置对结果没有影响，也就
是若把(α-β)2替换为(β-α)2，结果应当是一样的，
从而(α-β)2的形式是cos(α-
β)2；另一种情况可以类似说明。
余弦-余弦差公式中的顺序相反负号
这是一个特殊情况，完全可以死记下来。
当然，也有其他方法可以帮助这种情况的判定，如(0,π
]内余弦函数的单调性。
因为这个区间内余弦函数是单调减的，所以当α大于β时，cosα小于cos
β。但是
这时对应的(α+β)2和(α-β)2在(0,π)的范围内，其正弦的乘积应大于0，所以
要么反过来把cosβ放到cosα前面，要么就在式子的最前面加上负号。
积化和差公式
sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]2（注意：此时差的余弦在和的余弦前面
）
或写作：sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]2（注意：此时公式前
有负号）
cosαcosβ=[cos(α-β)+cos(α+β)]2
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]2
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]2
证明
积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。
即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明：
sinαsinβ=-12[-2sinαsinβ]
=-12[(cosαcosβ-
sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]
=-12[cos(α+β)-cos(α-β)]
其他的3个式子也是相同的证明方法。
（参见）
作用
积化和差公式可以将两个三角函数值的积化为另两个三角函数
值的和乘以常数的
形式，所以使用积化和差公式可以达到降次的效果。
在历史上，出现之前，积化和差公式被用来将乘除运算化为加减运算，运算需要
利用三角函数表。
运算过程：将两个数通过乘、除10的方幂化为0到1之间的数，通过查表求出对
应的反三
角函数值，即将原式化为10^k*sinαsinβ的形式，套用积化和差后再次查
表求三角函数的值
，并最后利用加减算出结果。
对数出现后，积化和差公式的这个作用由更加便捷的对数取代。
记忆方法
积化和差公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出了各自的
简单记忆方法。
结果除以2
这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin
和cos的值域都是
[-1,1]，其和差的值域应该是[-2,2]，而积的值域确是[-1,1]，
因此除以2是必须
的。
也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成
有系数2，如：
cos(α-β)-cos(α+β)
=(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)
=2sinαsinβ
故最后需要除以2。
使用同名三角函数的和差
无论乘积项中的三角函数是否同名，化为和差形式时，都应是同名三角函数的和
差。这一点主要是根据证
明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公式展开后
乘积项的形式都不同，就不会出现相抵消和相
同的项，也就无法化简下去了。
使用哪种三角函数的和差
仍然要根据证明记忆。注意
两角和差公式中，余弦的展开中含有两对同名三角函
数的乘积，正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积
。所以反过来，同名三角函数的
乘积，化作余弦的和差；异名三角函数的乘积，化作正弦的和差。
是和还是差？
这是积化和差公式的使用中最容易出错的一项。规律为：“小角”β以co
sβ的
形式出现时，乘积化为和；反之，则乘积化为差。
由函数的奇偶性记忆这一点是
最便捷的。如果β的形式是cosβ，那么若把β替
换为-β，结果应当是一样的，也就是含α+β和α
-β的两项调换位置对结果没有影
响，从而结果的形式应当是和；另一种情况可以类似说明。
正弦-正弦积公式中的顺序相反负号
这是一个特殊情况，完全可以死记下来。
当然，也有其他方法可以帮助这种情况的判定，如[0,π]内余弦函数的单调
性。因为这
个区间内余弦函数是单调减的，所以cos(α+β)不大于cos(α-β)。但是
这时对应的α和β
在[0,π]的范围内，其正弦的乘积应大于等于0，所以要么反过来
把cos(α-β)放到cos(
α+β)前面，要么就在式子的最前面加上负号。
万能公式
【词语】：万能公式
【释义】：应用公式sinα=[2tan(α2)]{1+[tan(α2)]^2}
cosα=[1-tan(α2)^2]{1+[tan(α2)]^2}
tanα=[2tan(α2)]{1-[tan(α2)]^2}
将sinα、cosα、tanα代换成tan（α2）的式子，这种代换称为万能置换。
【推导】：（字符版）
sinα=2sin(α2)cos(α2)=[2sin(α2)co
s(α2)][sin(α2)^2+cos(α2)^2]=[2tan(α2)][1+(tanα2)^2
]
cosα=[cos(α2)^2-sin(α2)^2]=[cos(α2)^2
-sin(α2)^2][sin(a2)^2+cos(a2)^2]=[1-tan(α2)^2][1+(
tanα2)^2]
tanα=tan[2*(α2)]=2tan(α2)[1-tan(α
2)^2]=[2tan(α2)][1-(tanα2)^2]