何晶晶图片-试用期合同

标准
市海淀区高三第二学期期末练习
数学
2003．5
学校______________班级____________________________

参考公式：
三角函数的和差化积与积化和差公式：
sin
< br>sin

2sin



22






sin

sin
2cossin
22






cos

cos

2coscos
22






cos

cos

2sinsin
22
棱台体积公式：
cos




1
V
台体
h( SSS

S

)

3
其中S，S′分别表示棱台的上、下底面的面积；h表示高
1
sin
cos

[sin(



)sin(



)]

2
1
cos
sin

[sin(



)sin(



)]

2
1
cos

cos

[sin(



)cos(



)]

2
1
sin

sin

[cos(



)cos(



)]

2
球体积公式：
4
V
球


R
3

3
其中R表示球的半径

第I卷（共50分）
一、选择题：本大 题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。
（1）在复平面，复数


13
i
对应的向量为
OA
，复数

2
对应的向量为
OB
。
22
那么向量
AB
对应的复数是（）
（A）1 （B）-1
（C）
3i
（D）
3i

文案

标准
（2）（理科学生作）
tg(arcsin)
的值为（）
（A）
322
（B）
322

（C）
22
（D）
22

（文科学生作）函数
yx2x
的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为（）
（A）{-1，0，3}（B）{0，1，2，3}
（C）{y|-1≤y≤3}（D）{y|0≤y≤3}
（3）在等比数列
{an
}
中，
a
1
a
2
1
，
a
3
a
4
9
，那么
a
4
a
5
等于（）
（A）27 （B）-27
（C）81或-36 （D）27或-27
（4）将函数
y
2
1
2
1
3
3
的图象C向左平移一个单位后，得到y=f(x)的图象
C
1
， 若曲线
C
1
xa
关于原点对称，那么实数a的值为（）
（A）1 （B）-1
（C）0 （D）-3
（5）（理科学生作）在极坐标 系中与圆

8sin

相切的一条直线的方程是（）
（A）
cos

4
（B）

sin

 4

（C）

cos

8
（D）
sin

4

（文科学生作）过点（2，1）的直线中，被
xy2x4y0
截得的最长弦所在
的直线方程是（）
（A）3x-y-5=0（B）3x+y-7=0
（C）x+3y-5=0（D）x-3y+1=0
（6）将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中 ，每个宿舍至少安排2名学生。那么互不相
同的分配方案共有（）
（A）252种（B）112种
（C）70种 （D）56种
（7）设平面

平面

l
，点A、B∈平面α，点C∈平面β，且A、B、C均不 在
直线l上。给出四个命题：
①
22
lAB

lAC

②





平面
平面ABC

lAC

lBC

③
< br>



l平面ABC
④
ABll平面ABC

ABBC

其中正确的命题是（）
文案

标准
（A）①与②（B）②与③
（C）①与③（D）②与④ （8）函数f(x)是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数。若f(x)在[-1，0]
上是减函数，那么f(x)在[2，3]上是（）
（A）增函数 （B）减函数
（C）先增后减的函数 （D）先减后增的函数
x
2
y
2
（9）设双曲线
2

2
1
（a>0，b>0）的实轴长、虚轴长、 焦距依次成等差数列。
ab
那么这个双曲线的离心率e等于（）
（A）2 （B）3
（C）
54
（D）
33
2
（10）设函数< br>f(x)2cosx3sin2xa
（a为实常数）在区间
[0,
2
]
上的最小值
为-4，那么a的值等于（）
（A）4 （B）-6
（C）-4 （D）-3


第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
（11）将 棱长为1的正方体木块加工成一个体积最大的球，那么这个球的体积为
_______________ _。
x
2
y
2
1
上到两个焦点距离之积最小的点的坐 标是________________。（12）椭圆
259
（13）不等式
lo g
1
x1log
1
x1
的解集为_____________ ___。
22
（14）已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c。若a=1 ，∠B=45°，△
ABC的面积S=2，那么△ABC的外接圆的直径等于____________ ____。

三、解答题：本大题共6个小题，共84分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。
（15）（本小题满分12分）
已知等差数列
{a
n
}
的 前n项和为
S
n
，且
a
2
1
，
S
11
33
，
（Ⅰ）求
{a
n
}
的通项公式；
{b
n
}
是等比数列；（Ⅱ）设
b
n
()
n
，且数列
{b
n
}
的前n项和为
T
n
，求证：并求
limT
n
n
1
2
a
的值。
（16）（本小题满分14分）
设在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b， c且满足
2a2c(31)b

文案

标准
（Ⅰ）求证：
2cos
ACB
(31)sin
；
22
（Ⅱ）（理科学生作）若A=2C，试求角B的值。
（文科学生作）若A+C=90°，试求角C的值。

（17）（本小题满分16分）
如图，在正四棱柱
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，
AA
1
1
AB
，点E，M分别为
A
1
B
，
C
1
C
2
的中点，过点
A
1
，B，Ｍ三点的平面
A< br>1
BMN
交
C
1
D
1
于点N
（Ⅰ ）求证：EM∥平面
A
1
B
1
C
1
D
1< br>；
（Ⅱ）求二面角
BA
1
NB
1
的正切值；
（Ⅲ）（理科学生作）设截面
A
1
BMN
把该正四棱柱截成的两个几 何体的体积分别为
V
1
，
V
2
(V
1
V
2
)
，求
V
1
:V
2
的值。
（ 文科学生作）设
A
1
A1
，求棱台
MNC
1
B A
1
B
1
的体积V。


（18）（本小题满分12分）
用分期付款的方式购买一批总价为2300万元的住房，购买 当天首付300万元，以后每
月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%。若 首付300万元之后
的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少万元？全 部贷款
付清后，买这批房实际支付多少万元？

（19）（本小题满分16分）
已知曲线C的方程为：
kx(4k)yk1(kR)

（Ⅰ）若曲线C是椭圆，求k的取值围；
（Ⅱ）若曲线C是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程；
（Ⅲ）（ 理科学生作，文科学生不作）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P，Q关于
直线l：y=x-1对称， 若存在，求出过P，Q的直线方程；若不存在，说明理由。
文案
22

标准

（20）（本小题满分14分）
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，
f(x)
7x

2
xx1
（I）求当x<0时，f(x)的解析式；
（Ⅱ）试确定函数y=f(x)（x≥0）的单调区间，并证明你的结论；
（Ⅲ）（理科学生 作，文科学生不作）若
x
1
2
，且
x
2
2
证明：
|f(x
1
)f(x
2
)|2
。





高三数学第二学期期末练习
参考答案及评分标准
2003．5

一、选择题（每小题5分，共50分）
1．D2．A3．D4．B5．A6．B7．D8．A9．C10．C

二、填空题（每小题4分，共16分）
（11）


6
1
8
（12）（±5，0）
（13）
{x|0x}

（14）
52


三、解答题（共84分）
（15）（本小题满分12分）
解：（I）设
{ a
n
}
的公差为d，则
a
2
a
1
d 1
，
S
11
11a
1

解得：
a
1

1110
d33

2
11

d
…………………………………………4分
22
11n
∴
a
n
(n1)
………………………………………6分
222
11
（Ⅱ）
b
n
()
2
b
n1
()
22
nn1
2
………………………… ………………8分
文案

标准
n1n1
b
n 1
1
2

2
1
2
2
∵
()( )(nN)

b
n
222
∴
{b
n
}
是等比数列，公比
q
2
2
b
1

……… …………………10分
2
2
limT
n

n
b
1

1q
2
2
1
2
2
2 1
…………………………12分
（16）（本小题满分14分）
解：（I）由< br>2a2c(31)b
得
2(sinAsinC)(31)sinB
…………2分
ACACBB
cos(31)(2sincos)
……………………4分
2222
BACAC
∵
coscos(90)sin0

222
ACB
即
2cos(31)sin
（*）………… …………………………6分
22
22sin
（Ⅱ）依条件A=2C得
B 180(AC)1803C

C3
(31)cosC
……………………8分
22
CCCC3
∵
sin0
，
2sincos(31)sincosC

22222
1
故
sinC(31)sinC(2cosC1)
…………………………10分
2
（*）式可以化为
2cos
∵sinC≠0 ∴
2cosC1
2
31
31

则：
co sC
3
且
0C180
………………………………12分
2
∴C=30°，A=60°，推得B=90°…………………………………14分
（Ⅱ）（文科）若A+C=90°则
BAC
4545C
…………………… ……8分
22
（*）式可以化为
2cos(45C)(31)sin45

即
sinCcosC
31
…………………………12分
2
推得
sin2C
文案
3
且0°<2C<180°故C=30°或60°…………………14分
2

标准
（17）（本小题满分16分）
（I）证明：设< br>A
1
B
1
的中点为F，连接EF，
FC
1

∵E为
A
1
B
的中点
1
B
1
B

2
1
又
C
1
MB
1
B

2
∴
EF
∴
EFMC
1

∴四边形
EMC
1
F
为平行四边形
∴
EMFC
1
…………………………2分
∵
EM平面A
1
B
1
C
1
D
1
，
FC
1
平面A
1
B
1
C
1
D
1

∴EM平面
A
1
B
1
C
1
D
1< br>…………………………………………4分



（Ⅱ）解：作
B
1
HA
1
N
于H，连接BH < br>∵
BB
1
平面A
1
B
1
C
1D
1
，∴
BHA
1
N

∴
BHB
1
为二面角
BA
1
NB
1
的平面角…………… ……………………………7分
∵
EM平面A
1
B
1
C1
D
1
，
EM平面A
1
BMN

平 面
A
1
BMN平面A
1
B
1
C
1
D
1
A
1
N
，∴
EMA
1
N

文案

标准
又∵
EMFC
1
，∴
A
1
NFC
1

又∵
A
1
FNC
1
，∴四边形
A
1
FC
1
N
是平行四边形
∴
NC
1
A
1
F
…………………………………………1 0分
设
AA
1
a
，则
A
1
B
1
2a
，
D
1
Na

在
RtA1
D
1
N
中，
A
1
NA
1
D
1
2
D
1
N
2
5a
，∴
s inA
1
ND
1

2
5
4
5
A
1
D
1
2


A
1
N
5
在
RtA
1
B
1
H
中，
B
1< br>HA
1
B
1
sinHA
1
B
1
2aa

在
RtBB
1
H
中，
tgBH B
1

BB
1
a5
……………………12分

4
B
1
H4
a
5
（Ⅲ）延长
A
1
N
与
B
1
C
1
交于P，则P∈平面
A1
BMN
，且P∈平面
BB
1
C
1
C

又∵平面
A
1
BMN平面BB
1
C
1
C BM
∴P∈BM
即直线
A
1
N
，
B
1
C
1
，BM交于一点P
又∵平面
MNC
1
平面 BA
1
B
1
，∴几何体
MNC
1
BA
1
B
1
为棱台（没有以上这段证明，
不扣分）
∵
S
A
1
BB
1

1111
2aaa
2

S
MNC
1
aaa
2

2224
棱台
MNC
1
BA
1
B
1
的高为
B
1
C
1
2a

∴
V
1
< br>1117
2a(a
2
a
2
a
2
a
2
)a
3
…………………………14分
3446
∴V
2
2a2aa
7
6
a
3

17
6
a
3

∴
V
1
7

………………………………16分
V
2
17
（Ⅲ）（文科）∵
A
1
A1
，∴
A
1
B
1
B
1
C
1
2NC
1
BB
1
1
C
1
M
1

2
S
MNC
1

文案
1

S
BA
1
B
1
1
…………………………14分
4

标准
V
1117
2(11)
…………………………………………16分
3446

（18）（本小题满分12分）
解：购买时付款300万元，则欠款2000万元，依题意分 20次付清，则每次交付欠款的
数额顺次构成数列
{a
n
}
，……… …………………………………2分
故
a
1
10020000.01120
（万元）
a
2
100(2000100)0.01119
（万元）
a
3
100(20001002)0.01118
（万元） < br>a
4
100(20001003)0.01117
（万元）……… …………………………4分
… … …
a
n
100[2000100(n1)]0.01120(n1)121n
（万元）
(1n20,nN)
…………………………7分
因此
{a
n
}
是首项为120，公差为-1的等差数列，
故
a
10
12110111
（万元）………………8分
a
20
12120101
（万元）
20次分期付款的总和为
S
20

(a
1
a
20
)20
(120101)20
2210
（万元）……………………11分
22
实际要付300+2210=2510（万元）…………………………………………12分
答：略

（19）（本小题满分16分）
（I）当k=0或k=-1或k =4时，C表示直线；……………………………………1分（文
科2分）
当k≠0且k≠-1且k≠4时方程为

x
2
y
2
1
（1）………………………………………………3分（文科5分）
k1k1
k4k
文案

标准

k 1

k
0


k1
方程（1）表示椭圆的充要 条件是

即是00

4k
< br>k1k1

k

4k

………………………… …………………………6分（文科8分）
（Ⅱ）方程（1）表示双曲线的充要条件是
即k<-1或-14
（i ）当k<-1或k>4时，双曲线焦点在x轴上，
a
2
k1k1
0

k4k
k1k1
2
，
b
，
kk4
其一条渐近线的斜率为
分）
b

a
k< br>3
得k=6…………………………8分（文科12
k4
（ii）当-1a
2
k1k1
2
，
b 
，
4kk
其一条渐近线的斜率为
（文科14分）
a

b
k
3
，得k=6（舍）…………………………10分
k4
x
2
y
2
1
………………………………………………1 1分综上得双曲线方程为（文科
77
62
16分）
（Ⅲ）若存在，设直线PQ的方程为：y=-x+m

yxm
22< br>4x4mx2m70
（2）……………………13分 消去y，得

2 2

6x2y7
m

x

3mm

0
2
设P，Q的中点是
M(x
0
,y
0
)
，则

，M的直线l上，∴
1
，
22

y
3m
0

2

解得
m
1
，方程（2）的△>0，∴存在满足条件的P、Q，直线PQ的方程为
2
1
yx
……………………………………………………16分
2

（20）（本小题满分14分）
解：（I）若x<0则-x>0，
文案

标准
∵f(x)是偶函数，∴
f(x)f(x)
7(x)

2
(x)(x)1

7x
(x0)
…………………………… ………3分（文科5分）
2
xx1
（Ⅱ）设
x
1
，< br>x
2
是区间
[0,)
上的任意两个实数，且
0x
1
x
2
，
则
f(x
1
)f(x
2
)
7x
1
7x
2


22
x
1
x
1
1x
2
x
2
1

7(x
1
x
2
)(x
1
x
2
1)
………………………………5分（文科8分）
2
(x
1
2< br>x
1
1)(x
2
x
2
1)
2
当
0x
1
x
2
1
时
x
1
x
2
0
，
x
1
x
2
10
而
x
1
x
1
10
及
2
x
2
x
2
10

∴
f( x
1
)f(x
2
)0
即f(x)在[0，1]上为减函数……… ……………………………7分（文
科11分）
同理，当
1x
1
 x
2
时，
f(x
1
)f(x
2
)0
，
即f(x)在
(1,)
上为增函数………………………………9分（文科14分）
（Ⅲ）∵f(x)在
(1,)
是增函数，由x≥2得
f(x)f(2) 2

又
xx10
，-7x<0∴
f(x)
2
7x
0
，
x
2
x1
∴
2f( x)0
………………………………………………11分
∵
x
1
，
x
2
2
∴
2f(x
1
)0
且2f(x
2
)0
即
0f(x
2
)2

∴
2f(x
1
)f(x
2
)2
∴
|f(x
1
)f(x
2
)|2
…………………… …………14分
囿有篇幅，每题只给出一种解法，若有其它作法，请酌情相应给分。
文案