太原五中-窝心什么意思

和差化积公式在三角函数中的综合运用
和差化积公式与积化和差公式是两角 和差三角函数公式基础上利用导出的两组公式，对于和差化积公
式，考虑两个同名正弦或余弦三角函数值 之和或差，将两个角度表示为两个角度的和与差的形式，然后利
用两角和差正余弦三角函数公式展开运算 ，即可得到两个角度三角值乘积的形式，如
cos

cos

，< br>，将这两个角度关系代入上式，得到
22





，而积化和差公式推导遵循相反的运算过程。和差化积公式是不宜机械
cos
cos

2sinsin
22
记忆的，也没有这种必要，因为在解题 中不断练习公式的推导过程，并在不同的问题中尝试运用公式另辟



< br>
2




2
、

< br>






新解法而对公式运用达到灵 巧熟练的地步。从公式的推导过程可见角度恒等式





2




2
、
是和差关系向乘积关系转化的关 键，只要两角和差正余弦公式能熟练无误地运用，这两
22
组公式便可以熟练、快速而准确的导 出，因此，熟练掌握公式的推导方法比公式结果有更重要的价值。









和差化积公式在实际三角函数问题中具有广泛的 运用，特别是在三角求值问题中和边角关系复杂的三
角形问题中，很多用两角和差三角函数公式无法解决 的问题能顺利解决，还能得到更一般的结论，这无疑
对探索相关一类问题的一般解法具有重要意义。下面 将举例介绍和差化积与积化和差公式在三角求值问题
和解斜三角形问题中的综合运用，通过不同问题的求 解过程，系统地认识这两组公式在解题中的效用和适
用范围。
一．在三角求值问题中的运用．
例1：实数
x,y,z
满足关系：
sinxsinyasinzcos xcosyacosz0
(
a
为正数). (Ⅰ)求证：
T(x,y,z)tan(xyz)tanxtanytanz
为定值的充要 条件是
a1
. (Ⅱ)设
f(x,y,z)
ta n(xyz)
(a
2
2)tanxtany
，求这样的
a< br>，使得
f(x,y,z)1
.
tanz

sinxsinyasinz
．

cosxcosyacosz

（Ⅰ）证明：（1）必要性：
(a)
(b)

(a)sinxsiny
xy2tanz
得．
tanz
，即
tantanz
．
tan(xy)
(b)cosxcosy
21tan
2
z
因此，
tan(xy)tanz3tanztan
3
z
tan(xyz)

1tan(xy)tanz13tan
2
z
（1-1）
另外，
xy
1tan
2
z
2
．
c os(xy)
2
1tanz
2
xy
1tan
2
1tan
2
2
（1-2）
(a)(b)
得
2
a
2
cos(xy)1

2
（1-3）
为了书写方便，以下出现
tanz
的地方简记为
s
．
由（1-2）和（1-3）得

1s
2
a
2
1 a
2
11s
2
cosxcosy
与
sinxsin y
．
2(1s
2
)42422(1s
2
)

以上两式相除，得到
sinxsinya
2
4a
2
s
2
.
tanxtany
cosxcosya
2
(a
2
4)s< br>2
（1-4）
联合（1-1）和（1-4）可得
T(x,y,z)tan(xyz)tanxtanytanz

3ss< br>3
a
2
4a
2
s
2
s.
1 s
2
a
2
(a
2
4)s
2
（1-5）
上式为定值，则必等于0．即有

a
2
4
3
．
2
a
a0
，则
a1
，必要性得证；
（2）充 分性：若
a1
，由（1-5）知
T(x,y,z)tan(xyz)tan xtanytanz0
．充分性显然成立．
（Ⅱ）解：记
ttan
2< br>z
，
ka
2
．由（1-3）知
0a
2
 4
，即
0k4
.
设
f(x,y,z)h(t)
3tk4kt
，
t0
．
(2k)
13tk(k4)t

818(2k)
2
11k(2k)
．
h(t)313tk4(k4)tk3k4
32(1k)

(2k5)t 1

(t1)
88(k2)
2
h(t)
． (3t1)
2
[(k4)tk]
2
(3t1)
2
[(k4)tk]
2
'

下面首先考虑一系列可能成为
h(t )
在
(0,)
的最小值的点：

对应的函数值：

t00,t,t1
.
h(0)limh(t)3
t0 0
(2k)(k4)1k
，h()limh(t)(2k)；h(1)1 k
．
t
k3k4
分别将以上各式代入不等式
h(t) 1
，解不等式组：
h(0)1
且
h()1
且
h(1)1
，并注意
0k4
，得

517k2
.
2
1

1

k 10k17
1
，解不等式并与上述
k
的解因此，
t
在函数
h(t)
定义域中，而
h


k1
5 2k

52k

集取交集得
517k1
，即
517a1
．

1

例2：设函数
f(x)sin(2x)cos
2
xsin(x )cosxsin(2x)sin(2x).
(Ⅰ)< br>33263
1
解关于
x
的不等式
2f(x)cos
2
2x
.
4
(Ⅱ)定义在
R
上的函数
g(x)
和常数
(





,


)满足关系式
g(x)g(x

)2f(x)
一个的解析式和对应的

值.
解：（Ⅰ）首先化简
f(x)
的表达式．
2
.试求
g(x)
4

1

1



1



f( x)sin(2x)(1cos2x)

sin(2x)sin



coscos(4x)

232

33

4

62


1


13
sin(4x)sinsin4x,
4

33
< br>8

4
1

cos(4x)
46
< br>
2f(x)cos
2
2x

1
，即
4

1
cos(4x)cos4x
，
62
2sin(4x

12
)sin
62

111

62
1
，
sin(4x)
，
sin(4x) 

，
2122124
122

由三角函数图像知，以上 不等式等价于

为

17

11

5< br>
2k

4x2k

(kZ)
，于是原 不等式的解
121212

2f(x)

8

k

k

x(kZ)
．
232
(Ⅱ)
21

2

2

115

sin(4x)

cos(2x

)sin(2x

)
.
42

32

2424
即
g(x)g(x

)cos(2x
11

5
)sin(2x)
．
2424
下面说明
g(x)
的两种不同表达式：
（1）
g (x)cos(2x
（2）
g(x)sin(2x
11

5

3

5

或；
)
，则
g (x

)sin(2x)
，于是


24248
8
5

11

5

3

或.
)
，则
g(x

)cos(2x)
，于是< br>

24248
8


例3：设函数
f (x)cos(

x

)
满足关系式：
f(x)3f (x

)sin

2x

，其中

是与
x
无关的常数，
6

且
cos

 1
.
（Ⅰ）求

的值.


（Ⅱ）解关于
x
的不等式
f(2x)f

x


3




f

.


3



解：设
f(x)sin(2x

)
，则
sin(2x

) 3sin(2x

2

)sin

2x

，
6


按
sin(
3sin(2x
2

)2cos(2x
)
的两种不同取值分析如下：
122
)sin()
.
122122


（1）若
sin(

3
5

，注意
si n

1
，
得


)
4k

(kZ)
.
1222
6



此时
sin(2x

2

)cos(2x
即
于是
（2）若
sin(
)
.
122


5

53
sin(

)cos(2x



)0
.
2244244

4



5

5

n

(nZ)
，

n

(nZ)
；
2412

3
7

，注意
sin

1
，则


)
4k

(kZ)
.
此时
1222
6
)
.
122

sin(2x

 2

)cos(2x
即



5

53
cos(

)sin(2x



)0
.
2244244

4



5

5

n

(nZ)
，
n

(nZ)
.
24212
综合（1）（2）可知


待求解不等式为：
5

7

.
n

(nZ)
,可取


126
sin(4x
7

11

11

4

2

1
，即
co s(4x)cos(2x)
.
)sin(2x)sin
66633 2
1551
2

1
或
u
.
)，不等式化简为：
2u
2
u0
，解之得
u
4 4
32
设
ucos(2x
cos
4

6

152

2

51
，
cos()co s
，因此，最后求解不等式：
cos
554554

即


2

2

2

4

2

6

2n

2x2n
< br>或
2m

2x2m

，
535535< br>2

8

11

14

n

xn

(nZ)
或
m

xm

(mZ)
.
15151515
二．在解斜三角形问题中的综合运 用.
例4：
ABC
面积是它周长平方的
1ABC
，若
A ,B,C
表示它的三个内角, 试求
cotcotcot
的值.
122 22
解：设三角形的三条对边为
a
，
b
，
c
由题意 得
由
a:b:csinA:sinB:sinC
得
由于
sinA sinBsinC2sin

11
(abc)
2
absinC
.
122
11
(sinAsinBsinC)
2
sinAsinBsinC
.
122
ABABC

ABAB

cossinC 2cos

coscos


222

22< br>
4cos
ABC
coscos.

222

AB
tan
CAB
ABC1
22
得 于是
tan tantan
，由
tancot
AB
22
2223
t antan
22
1tan

cot
ABCABC
cotcotcotcotcot3
.
222222
例5：对于任意三个在



,


之间的角

,

,

，判断“
cos< br>
cos

cos

4sin
sin

sin

sin

0
”是“







”成立的何种条件.

2< br>sin

2
sin

2
1
，
解：这是一个充要条件，证明如下：
必要性显然成立，下面说明充分性。
cos

cos

2cos

或
c os



2
cos
cos



2
，由
cos

cos

cos

4sin

2
sin

2
sin
2
1
得
cos



2



2
sin
2

2
(cos
< br>

2
2
cos



2
)sin

2
，
(cos



2< br>sin)(cos
2



sin)0
.
2
)sin(
4




而
244







 




coscos()2cos()cos( ).
2224444
cos()2sin(
22








);
4

根据如上的等式关系，显然，
(cos



2
sin)(cos
2



2
sin)0
等价于下面条件：
2






 (4k1)

(kZ)
或





(4m1)

(mZ)
或





(4n1)

(nZ)
或





(4p1)

(pZ)
，其中后面三个关系式根 据

，

，

在原等式中位置的轮换对称性不妨设为





(4m1)

(mZ)
成立.
若





(4m1)

(mZ)
成立，由

，当
sin

，

，
sin

同时为0时，
sin

0
，





,


可见，这与
sin

sin

sin

0矛盾，于是
sin

，
sin

不同时为0，此时，< br>






，而
sin

sin

sin

sin

sin< br>
sin(



)4coscoscos0
，这是与条件相矛盾的，因此，
222





(4m1)

(mZ)
，后三种角度关系都不成立，只能是







（注意

，
< br>，

不能同时
取

值）。充分性证毕。
例6：ABC
的三边长成等差数列，且最大角与最小角之差为
120
o
，求三 角形的三边之比.
解：设
ABC
三对边为
a
、
b
、
c
(abc)
，则
ABC
.


sinAsinC2sin
ACAC
．
cos
22
2

.
3
三边长成等差数列得
sinAsinC2sinB
,且
CA
因此
2sin
A C
AC


cos2sin(AC)
，
cos2
23
cos

3

1
．即
cos< br>
A



1
．

24
3

4


由于
0A


3
，既有


15


153

sin

A


，
sinAsin

A


．
3

433

8

B15BB15
A C

BBAC1
，
sinB2sincos
．

，
sincos
，
cos
24228
222224< br>由
sinAsinC2sinB
得
sinC
153
．
8
ABC
三边长之比为
a:b:csinA:sinB:sinC153:15:153
．
例7：非直角三 角形
ABC
中,
A,B,C
为其三个内角，且
sin
2< br>Acos
2
B
512




cos(2C),B

0,


423

2

(Ⅰ)求
A
的大小.
(Ⅱ)若
111BC
，求
sin
的值.

sinBsinCsinA2
512

cos(2C)
，得
423
11

cos(2C)
．
423
解： (Ⅰ)由
sin
2
Acos
2
B


即
sin(AB)sin(AB)
sinCsin(AB)sinCsi n(C)
，
3
sin(AB)sin(C)
，
cos( B)sin(A)0
．
333
A



因为
B
是锐角，于是
(Ⅱ)将
sinA

将
BC

3
 0
，
A

3
．
3112323
代入题设表达式 ，或
sinBsinCsinBsinC0
.即
2sinBsinC33
2sin
BCBC3
cos

cos(BC)cos(B C)

0
，
223
23
2
BCBC3
sinsin0
.
3222
2

代入得
3
由上式解得
sin
BC153
．

24< br>11sinB

A


C


例 8：在
ABC
中，
A,B,C
对边为
a,b,c
，

，试求
sin



cos

< br>
的值
cab

24

24

11sinB
解：由

得
cab
即
sinAsinC sinAsinC
，
2sin
或
11
1
，
sinCsinA
ACAC1
cos

cos(AC)cos( AC)

，
222
2
ACAC

co s

sin

1
.
22


由于
ac
，
CA
，则
sin

AC AC

C

A
cos2cos()sin()0
，于是
224242

A


C


1
sin



cos




.

24

24

2
例9 ：且
cos

AC


a,b,c
分别是三角形
ABC
的三条对边，
的最大值.
解：由题设条件有
cos(AC)
或
113
15ac1

，试求


6



2
sinA

sinC


4
8b4

15sinAsinC1

.
8sin
2
B4
1

16

cos(AC)

sin
2
B1 5

cos(AC)cos(AC)

.
4
< br>令
scosB
，
tcos(AC)
，以上等式写为
(1 6t4)(1s
2
)15(ts)
，
11
1t4115 1

或

(t)st1


16s4< br>
0
，
s
或
s
.

44
44t1444t1

由于
s1
，则

cos
s
11
，
cosB
.
44
BAC10BAC6
，
sincos
.
sin
224224

11sinAsinC

sinA

sinC

sinAsinC

(sin AsinC)

2
ACAC

2sincos
22
.
1ACAC
2
(cos(AC)cos(AC))2

cossin

222
1x
2
1x
2< br>10
AC

设
xsin
，
f(x)
,
x
.
4
2
11656
(12x
2
)2

x

2


2


xx
2
28482
x
3
(

2

1110
f (x)
.
sinA

sinC

2
116< br>)x

36
82
f

(x)
，将


代入上式，并令
f

(x)0
得方程：
4
65
1x
2
(x
2
x

2
)
2
28

注意到
x
x
3
199119
x0
，或
(x)(x
2
x)0
.
44222
10
1
，上述方程的解为
x
0
 
.
4
2
143
111
，的最大值为
f(x)< br>在
x
处取得最大值，
f(x)
max
f()
215
2sinA

sinC

101230< br>.
f()
2215

例10：在< br>ABC
中，
A
、
B
、
C
为其三个内角，若
cosAsinB1
2tanC
，试求
tanC
的值. sinAcosB2

AB

AB
cosAcos( B)2cos()cos()
cosAsinB

C
22442解：
tan()
.
sinAcosB
sinAsin(< br>
B)2cos(
AB


)sin(
AB< br>

)
42
22424
CC
14tan

C1
22

1
. 题设条件等价于即
tan()2t anC
，

422
1tan
C
1tan
2< br>C
2
22
tan
解以上方程，得
tan
C13

，
tanC
.
234
例11：在
ABC
中，
ABC
，则“
sinAsinBs inCcosAcosC2
3
”是“
sinB
”的何种条件

cosAcosBcosCsinAsinC3
解：这是一个充要条件，说明如下：
由题设第一个命题得
sinAsinBsinC3(cosAcosBcosC)
；


2sin(
sin(A)sin(B)sin(C)0
； < br>333
2sin(
AB

AB

)coss in(C)0
；
2323

C


C< br>
AB

)

cos()cos0
，即
26

262



由于
ABC，则
C
sin(
A

B

C
)sin()sin()0
.
262626

3
，< br>A
2cos

3
，于是
sin(
B

)0
，
B
.
263
ACACB
cos2tan
cosAcosC
22
tan
B
，按题设的另一 个命题有
tan
B

2

2
，另一方面，

sinAsinC
2sin
AC
cos
AC
223
1tan
2
B
222
即
tan
B3
< br>，则
B
，可见这两个命题互为充要的条件.

23
3315
1
例12：在
ABC
中，
(ca)ab
2
，且
sin2Asin(AC)
.
8
5
（Ⅰ)求
cos2Acos(AC)
的值.
（Ⅱ）求
C
的大小.
1
解：由
(ca)ab
2
得
5


1
(sinAsinC)sinAsin
2
B
；
5
2sinAsin
ACAC4ACAC
；
cossin
2
cos
2
22522

即

记
tcos
2sinAsin
cos
AC
，则
2
AC4ACAC
；
sin
2
cos
2522
AC3AC4ACAC
.
cos(1cos
2< br>)cos
22522
cos
3AC49
t
3
 t
.
255
而
sin2Asin(AC)2sin


AC3AC2
，设
f(t)(4t
3
9t)1 t
2
，
0t1
，
cos
225
sin2Asin(AC)f(t)
.
2

t2
f

(t)

(12t
2
9)1t
2
(4t
3
9t)

(8t
2
3)(2t
2
3)
.
2
5
1t
2

51t
取
t
0

631 5
得
f

(t
0
)0
，
f(t
0
)
.
48
3156
在
(0,1)
有唯一的实 解
t
，
8
4
由
f

(t)
可以 判断，
f(t
0
)
为
f(t)
在
(0,1)
上的最小值，即方程
f(t)
cos
ACB6AC10
，
s in
.
sin
22424
3ACAC3153AC363A C10
得
cos
，
sin
.注意这里的“±”是本题产
si n
2282828
生多解的原因，在下面的解题过程中将得到两个符合题设条件的三角 形.
由
2cos
求解
cos2Acos(AC)
：

cos2Acos(AC)2sin
3ACCA5
sinm
.
228
1
下面分两种情况求解
C
：
(ca)ab2
得
ca
，即
AC
.
5
(ⅰ)若
sin
3AC10
.

28
10
53ACAC3ACAC1
.
cos 2Acos(AC)
，
cos2Acoscossinsin
，
cosA
4
822224
则


(ⅱ)若
s in
cos(AC)
15
7
，
sin(AC)
；
8
8
10
；
8
cosCcos(AC)cosAs in(AC)sinA
Carccos
3AC10
.

28
10
.
8
cos2Acos(AC)15
53ACAC3ACAC7
，
cos2Acos
.
cossinsin
，
cosA
4
822228

则

cos(AC)
15
1
，
sin(AC)
， < br>4
4
cosCcos(AC)cosAsin(AC)sinA0
，
C

2
.
例13：在
ABC
中，
a ,b,c
为
A,B,C
的对边，且有关系：
(b
2
a2
)(2sinA1)c
2
.
（Ⅰ）求
ABC
的最大角的取值范围.
（Ⅱ）若
ABC
为锐角三角形，且
A

6
，求
12sinBcosA7sinC
7
3sinA
的取值范围.
4
16．解 （Ⅰ）由条件知
BA
，
(b
2
a
2
)(2sinA1)c
2
等价于：

上式简化如下：




或
(cos2Acos2B)(2sinA1)2sin
2
C
；
sin(AB)sin(BA)(2sinA1)sin
2
C
； < br>(sin
2
Bsin
2
A)(2sinA1)sin
2
C
；
2sin(BA)sinAsin(AB)sin(BA)
；
sin(BA)sinAcosBsinA
；
A


A


cos

B

sin
< br>

0
．
24

24

所 以
B
A






， 可得
A2B
，由
BA
得
B

,

．
2422

42

3
比较
B
与
C
大小关系：
C

3B
.
2
< br>
3


3

3


（ ⅰ）若
CB
，则
B

,

，最大角
C
的取值范围是：

,

；
4884

3


（ⅱ）若
CB
，则最大角
B的取值范围是：

,

．

82

（Ⅱ）设
f(cosB)12sinBcosA7sinC

12
< br>73
sinA
，
cosB


2
,
2


．
4

f(cosB)12sinBsin2B7sin3B

6cosB
73
cos2Bcos3B.
4
73
cos2B
4


f(x)
对
x
求导数得

12

73
2
73
x,
，
f(x)4xx 3x


．
22
24

3
f

(x)12x
2
73x3(3x3)(4x3)
，

13

32

5

73
< br>,，
3，2
可看出：
f(x)
在

单调递减，在单调 递增．的值域是：，这既
f(x)



36

23

32

2


是题意所求．

从以上不同问题的解答过程中可以清楚地看出积化和差公式是如何 从不同角度将一个复杂问题转化
成几个子问题分而治之，联合各种三角函数公式联合求解子问题，还可看 出对于一个综合问题，如何变换
整体与局部看问题的角度，将子问题合并，联系具体问题条件与要求，最 终解决全部问题。另外，在解三
角形问题中，和差化积公式不是完全适用于所有问题，在有的问题中，以 边长关系给出的条件不妨考虑运
用三角形中的余弦定理，条件往往可以得到很大简化。


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地址：北京市海淀区中关村南大街5号北京理工大学机电学院116信箱，
100081.
撰稿人：
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王永洪
由于撰稿时间匆忙，不足之处诚望指教。