户外活动注意事项-冬至日期

08物理与电子信息科学学院 韦华 教案

lg2=0.3010
lg3 =0.4771

lg5=0.6990
lg7=0.8451

2．有理数指数幂
（1）幂的有关概念
①正数的正分数指数幂:
a
m
n

n
a
m
(a0,m、nN

,且n1)
;
m
n
②正数的负分数指数幂:
a

1
a
m
n

1
n
am
(a0,m、nN

,且n1)

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（2）有理数指数幂的性质
①a
r
a
s
=a
r+s
(a>0,r、s∈Q);
②(a
r
)
s
=a
rs
(a>0,r、s∈Q);
③(ab)
r
=a
r
b
s
(a>0,b>0,r∈ Q);.
3．指数函数的图象与性质
y=a
x
图象
a>1 0

定义域
值域
性质
R
（0，+

）
（1）过定点（0，1）
（2）当x>0时，y>1;
x<0时,0(2) 当x>0时，0x<0时, y>1
(3)在（-

，+

）上是增函数 （3）在（-

，+

）上是减函数
注：如图所示，是指数函数（ 1）y=a
x
,（2）y=b
x,
（3）,y=c
x
（4） ,y=d
x
的图象，如何确定

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底数a,b,c,d与1之间的大小关系？

提示：在图中作直线x=1，与 它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即
c
1
>d
1
>1> a
1
>b
1
,∴c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆 时针方向变大。
（二）对数与对数函数
1、对数的概念
（1）对数的定义 x
N
如果
aN(a0且a1)
，那么数
x
叫做以
a
为底，
N
的对数，记作
xlog
a
，其中a
叫做对数的底数，
N
叫做真数。
（2）几种常见对数
对数形式
一般对数
常用对数
自然对数
特点
底数为
a
底数为10
底数为e
记法
a0,且a1

log
a
N

lgN

lnN



2、对数的性质与运算法则
1a
（1）对数的性质（
a0,且a1
）：①
log
a
0
，②
log
a
1
，③
a
log
a
NN
，④
log
a
a
N
。
（2）对数的重要公式：
①换底公式：
log
b
N
Nlog
a
N
(a,b均为大于零且不等于1,N0)
；
l og
a
b
②
log
a

b
1
。
log
b
a
（3）对数的运算法则：
如果
a0,且a1
，
M0,N0
那么
①
log
a
(MN)log
a
Mlog
a
N
；
②
log
a
M
log
a
Mlog
a< br>N
；
N

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n
③
log
a
Mnlog
a
M(nR)
；
④
log
a
m
b
n

n
log< br>a
b
。
m
3、对数函数的图象与性质
a1

图
象

性
质
（1）定义域：（0,+

）
（2）值域：R
（3）当x=1时，y=0即过定点（1，0）

（4）当
0x1
时，
y(,0)
；
当
0a1


（4）当
x1
时，
y(,0)
；
x1
时，
y(0,)
当
0x1
时，
y(0,)

（5）在（0,+

）上为减函数 （5）在（0,+

）上为增函数
注：确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系
提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。

∴0

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两角和公式
和差化积公式及其推导过程
一 和差化积公式
sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)2]cos[(θ-φ)2]
sinθ- sinφ=2cos[(θ+φ)2]sin[(θ-φ)2]
cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)2]cos[(θ-φ)2] 、
cosθ- cosφ=-2sin[(θ+φ)2]sin[(θ-φ)2]
和差化积公式由积化和差公式变形得到，
积化和差公式是由正弦或余弦 的和角公式与差角公式通过加减运算
推导而得。 推导过程：
二 推导过程 ：
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
把两式相加得到：sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ
所以，sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]2
同理，把两式相减，得到：
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]2
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
把两式相加，得到：
cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ
所以，cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]2
同理，两式相减，得到

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sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]2
这样，得到了积化和差的四个公式:
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]2
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]2
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]2
sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]2
有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化
积的四个公式.我们把上述四个公式中的 α+β =θ, α-β = φ, 那 么
α=(θ+φ)2， β=(θ-φ)2
把 α, β 分别用 θ, φ 表示就可以得到和差化积的四个公式:
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]2
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]2
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]2
sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]2
变形为
2sin[(θ+φ)2]cos[(θ-φ)2] =sinθ+sinφ
2cos[(θ+φ)2]sin[(θ-φ)2] =sinθ-sinφ
2cos[(θ+φ)2]cos[(θ-φ)2] =cosθ+cosφ
-2sin[(θ+φ)2]sin[(θ-φ)2]= cosθ-cosφ