爱国格言-交通安全教案

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三角函数式的化简

要求是:项数最少三角函数种类最少函数次数最低尽可能不带根号 能求值得
要求出值.
一: 定义法
tanxsinxtanxsinx
例1. 化简

tanxsinxtanxsinx
yy
解: 设点
P( x,y)为角x终边上一点,且OPrx
2
y
2
,则
sinx ,tanx.

rx
yyyy

yrxy
2
r
2
x
2
xrxr

原式0

yyyy
rxyy(rx)

xrxr
二: 弦切互化法
x1tan
2
x
22
例2.
化简tan2x(sinxtanxtancosx)

2
21t anx
sin
2
x
x
2
x
1
sin2s in
2
sin2xsinx
cosx

sin2x
(1
22
)cos2x

(1)
解: 原式

2
sinx
cos2xcos2xcosx
cos
x
cosx1
2
cos
2
x
sin2x1

cos2x2sin2x

cos2xcosx
三: 变用公式
例3.
化简tan15
o
tan25
o
tan2 5
o
tan50
o
tan50
o
tan15
o

解: 原式
tan25

(tan15

tan50

)tan50

tan15


tan25

tan(15

50

)(1ta n15

tan50

)tan50

tan15
(1tan15

tan50

)tan50

tan15

1

tan

tan

说明: 公式
tan(


)
在解题中运用非常灵活.常常变形为
1

tan

tan


tan

tan

tan(



)(1 tan

tan

)
来使用.
四: 连锁反应法
例5.
化简sin6

sin42

sin66o
sin78
o

cos6

sin6
< br>cos12

cos24

cos48

解: 原式
sin6cos48cos24cos12



co s6
1
1
sin96

sin12

cos12

cos24

cos48

1
16
=
2









cos6cos616
说明: 此题分子分母同乘以
cos6

,从而连续逆用倍角公式,达到多次化角的目地.
五: 升降次法
例6.
化简cos
2
(xy)cos
2
(xy)cos2xcos2y

1cos(2x2y)1cos(2x2y)
cos2xcos2y
解: 原式

22
1

1[cos(2x2y)cos(2x2y)]cos2xcos2y

2



1

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1cos2xcos2ycos2xcos2y1

311
例7.
化简:cos2xcos4x

828
解: 原式
311
(2cos
2
x1)(2cos
2
2x1 )
828
3131
cos
2
x(2cos
2
x1)
2
cos
2
x(4cos
4
x4cos< br>2
x1)
4444
12cos
2
xcos
4< br>x(1cos
2
x)
2
sin
4
x

六: 基本技巧
1sin2

cos2

例8 (1)
化简:

1sin2

cos2

( 1cos2

)sin2

2sin
2

2 sin

cos

2sin

(sin

cos

)

解: 原式


2
(1 cos2

)sin2

cos

2sin

cos

2cos

(sin

cos

)

tan

(2)
已知tanx2,求sin2xcos2x的值.

解:
tanx2,sinx2cosx

sin2xcos2x2s inxcosx2cos
2
x14cos
2
x2cos
2< br>x1

66

6cos
2
x111

sec
2
x1tan
2
x
61
1

145
角的变换
角的变换，一般包括角的分解和角的组合，角的分解即把一个 角分成几个角的
和或差，而角的组合即把几个角通过和或差组合成一个角。
sin

例1、已知sin=4sin(+),求证：tan(+)=。
cos

4
证明：将角分解成=(+)由sin[(+ )]=4sin(+)得：
sin(+)coscos(+)sin=4sin (+)
sin

即sin(+)(cos4)=cos(+)si n从而tan(+)=。
cos

4
例2、若3tan=2tan(+)，则sin(2+)=5sin。
证明：由条件有 3sincos(+)=2sin(+)cos，6sincos(+)=4sin(+ )cos，
从而sincos(+)+cossin(+)=5[sin(+)c ossincos(+)]，即
sin(2+)=5sin。
sin2x 2sin
2
x
37

7


例3、已知cos(+x)=，，求的值。
x
1tanx
5124
4

sin2xsin(x)
2
sin2x2sinx2sinx(co sxsinx)
4

解：


cosxsinx< br>
1tanx
cos(x)
cosx4
37

7

5

4

xx2

，从 而有sin(+x)= 。而cos(+x)=>0，，于是
5124645
44
注意到

2

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74
()
3
2
77

2

5

28
。 cos2(+x)=2cos(+x)1=2()1= sin2x=于是原式=
25
3
75
52525
44
5
以上解题过程，紧紧抓住角的变捣，是灵 活解题之关键，因此要注意分析思考角的
关系，找出差异实现转化。
43
11

例4、已知：+(，)，(0，)，且sin()=，cos(+)= ，
7
14
22
求。
53
1
解：先求2，而2=(+)()，由题可得：cos()=，sin(+)=，
14
7
cos2=cos[(+)()]=cos(+)co s()+sin(+)sin() =
111
5343
1
+=
7
147
14
2

又<+<，0<< 0<(+)()=2<2=即=。
2236
例5、求(1+ta n1
0
)(1+tan2
0
)(1+tan3
0
)
(1tan45
0
)
的值。
解：由1
0
+440
=2
0
+43
0
=

22
0+23
0
及
(1+tan1
0
)(1+tan44
0
)=1+(tan1
0
+tan44
0
)+tan1
0
tan44
0

=1+tan(1
0
+44
0
)(1

tan1
0
tan44
0
)+tan1< br>0
tan44
0
=1+1

tan1
0
44
0
+ tan1
0
44
0
=2，
同理有：(1+ tan2
0
)(1+tan43
0
)=

(1+tan2 2
0
)(1+tan23
0
)=2因而原式=2
23
。

一般地，若A
B
=n (n为奇数)，均可考虑用
4
tan
tan

tan(



)(1 tan

tan

)
化简。
2cos20
0
2sin20
0
1
0
例6、求tan25的值。
2cos20
0
2sin20
0
 1
2cos20
0
sin25
0
2sin20
0
sin25
0
sin25
0
解：上式即为
00000
2cos20cos252sin20cos25cos25
分子< br>=sin45
0
+sin5
0
cos45
0
+co s5
0
sin25
0
=sin5
0
+(sin85
0
sin25
0
)=sin5
0
+2cos55
0sin30
0
=cos8
5
0
+cos55
0
=2cos70
0
cos15
0
，同理：分母=2cos70
0sin15
0
，原式=cot15
0
=2+
3
。
和（差）角范围问题
在三角解题中经常遇到确定和（差）角范围的问题，学生常因确定和（差 ）角范围
的偏差导致解题失误。本文举例说明这类问题的处理方法。
一. 合理选用公式来确定
例1 已知α，β均为锐角， sinα=
解析：由已知条件有cosα=
β)=cosαcosβ-sinαsinβ
510
，sin


，求α+β的值。
510
2 3
5，cos

10
，且0＜α+β＜π。又cos(α+
510

3

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23510
5×10×
510510
2

＞0，
2

所以





4
二. 借用其他三角函数来确定
合理选用公式，仅对两角和（差）的范围在相邻两个象限时起作用，而对于其 它情
形，可通过两角和（差）的两个三角公式，来确定两角和（差）的范围。
35
， 且α，β都是第二象限角，试确定2α+β，2α-
sin

,cos
< br>
513
β所在象限。
解析：由条件α，β都是第二象限角，则有

412
,sin


。
513
所以si n2

2sin

cos

34
2××（）
55
24
，
25
cos


37< br>cos2

12sin
2

12×()
2< br>
。
525
例2 已知
因为2α+β，2α－β都可能落在三个象限， 单独使用正（余）弦和差角公式，从
值的符号都不能决定2α+β，2α－β的象限，但同时使用正弦、 余弦的和差角公式，
即可解决。
由cos(2α+β)=cos2αcosβ－sin2αsinβ
752412
× ()()×
25132513
知2α+β在一、四象限。
253
＞ 0，
325

又sin(2α+β)=sin2αcosβ+cos2αsinβ < br>（
245712
）×（）×
25132513
204
＞0
325

知2α+β在一、二象限。综上知2α+β在第一象限。同理可确定2α-β在第三象
限。
三. 挖掘隐含条件来确定
例3 已知cos(α－β)=
，sin2，2、
都是锐角，求cos(α+β)的值。

4 < br>1
2
1
3

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解析：由已知条件有
1< br>0＜2＜，又sin2,
23
1
则cos21sin
2< br>21()
2
3

22
。
3

11


因为0＜sin2α=
＜
，所以0＜2α＜，所以0＜α＜ 。 ①
12
32
6
又因为0＜β＜


，所以

＜-β＜0 。 ②由①、②得

＜α-β＜。
22
212
又因为cos（α-β）=

1
，所以
＜



＜0
。
2
2
=

3
。
2
所以sin() 1cos
2
()
从而cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]= cos2αcos(α-β)+sin2αsin(α-

β)

22113
××（）
3232
223
。
6

11

评析：本例通过0＜sin2α=
＜
，发现了隐含条件：0＜α＜，将α-β的范
32
12

1
围缩小为
＜



＜
，进而由cos(α- β)= ,将α-β的范围确定为
2122


2
＜


＜0
，从而避免了增解。
，且tanα,tnaβ是一元二次方程
2222
x
2
33x40
的两个根，求α+β的值。解析：由 已知条件得tanα+tanβ=
33＜0
，
，
例4 已知


＜

＜

＜

＜

tanαtanβ=4＞0，所以tnaα＜0，tanβ＜0。又因为


2
2

2
＜

＜

2
，< br>
2
＜

＜

2
，
所以
＜＜0，＜＜0,
所以-π＜α+β＜0。又因为tan(α+β)=
=
33
2
3
所以α+β=


。
14
3
tan

tan


1ta n

tan

评析：本例根据韦达定理tanα+tanβ=
3 3
，tanαtanβ=4，挖掘出了隐含条件
tanα＜0,tanβ＜0，知
＜ ＜0
，
＜＜0
，得出了α+β的确切范围，从而顺利求
解。

5

2

2

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条件三角函数式的求值
例1、已知
tan

3
，求①
sin

2cos

2
；②
sin2


cos

．
5cos

sin

sin
< br>2cos

tan

2
5
解：①=
< br>；
5cos

sin

5tan

2
22
sin2


cos

2sin
< br>cos


cos

2tan

17< br>2
②
sin2


cos


．
222
1
sin


cos

ta n

1
10
1
例2、已知
sin

c os

，
，
求sin

cos

的值 ．

（0，

）
3
1
25
解：sin

cos


12sin

c os


1
2sin

cos


8
0（）1-2sin

cos


3< br>999
2
25

(sin

cos
< br>)
9
，
又因为（

）及


，所 以

（，

）
，即
sin（0，

）< br>
c

os
2
5
sin

c

os
．
3
=
(sin

cos< br>
)
4sin

cos

”，从而目标是求出< br>sin

cos

的值．
2

，
0
所以
注：“已知
sin

cos

”与 “ 未知
sin

cos

”的联系是“
(sin

cos

)

4
例3、
sin

，tan(



)1,
且

是第二象限的 角，求
tan

．
5
434
解：∵

是 第二象限的角，
sin

，
∴
cos

，即
ta

n
，∴
553
tan

=
tan[(



)

]

tan(



)tan

7
． =
1tan(



)tan

注：“未知< br>
”与“已知

”和“已知



”的联系 显然是“

(



)

”． 124

3

例4、
cos(



),cos(



),且



,
求sin2

．
13524

3


3

12
解：∵




,
∴




,




,
又
cos(



),

2444213
4
cos(


),
所以可知



是第一象限的角，



是第三象限的角．
5
53
22
∴
sin (



)1
cos
(



),sin(



)1
cos
(


),

135
∴
sin2

sin[(



)(


)]sin(



)cos(


< br>)cos(



)sin(


< br>)
，
3124556
()
．
51351 365
2
注：“未知
2

”与“已知



”和“已知



”的联系显然是
“
2

(



)(



)< br>”．
11
cos

cos

，
例5、 已知
sin

sin

，
求（１）
cos(< br>
-

)，
（２）
cos(



)
．
43
解：解法一：

6

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22

sin

2sin

sin


sin


……①
416
1122
cos

cos



cos

2cos

cos


cos


……②
39
263
①＋②得：
cos(

-
)
＝

；
288
11
②－①得：
cos2

cos2

2cos(


)
，
916
7
即
2cos(



)cos(



)2cos(


)
，所以
cos(



)
＝< br>144
77

．
288[cos(



)1]25
解法二：把已知和差化积得：
1


< br>

1
sin

sin


< br>2sincos
……③
4224
1




1
cos

cos


2coscos
……④
3223
2525263
2



③
２
＋④
２
得：
4
cos
即
2[1cos(



)
∴
cos(



)=-
．
，，
2144144288
2



1
tan



3< br>2

7
． ③÷④得：
tan
∴
cos(



)
＝
2



24
25
1
tan
2
注：求
cos(

-

)
利用方法一简单，求
cos(



)
利用方法二简单．一般地，已知两
角的正余弦的和与差，求两角和与差的正余弦，往往采用和差化积或 者平方后求和与差．
积化和差与和差化积
sin

sin


1、积化和差公式： sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β) cosαcosβ=
[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)] cosαsinβ=
[sin(α+β)-sin(α-β)]
积化和差公式是由正弦或 余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得。其中
后两个公式可合并为一个：
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]
2、和差化积公式
sinθ+sinφ=2sin
cosθ+cosφ=2cos
cos
cos
sinθ- sinφ=2cos
cosθ-cosφ=-2sin
sin
sin


和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是：
①其中前两个公式可合并为一个：sinθ+sinφ=2sincos
②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换
元”思想。
③只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如

7

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果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积。
④合一变形也是一种和差化积。
⑤三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分 解，因此，因式分解在代数中
起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用。
3、积 化和差与积差化积是一种孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两
者的交替使用。如在一般情 况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后
应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化 简或计算。和积互化公式其基本功能在于：
当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角； 结构将变化，因此有可能
产生互消项或互约因式，从而利于化简求值。正因为如此“和、积互化”是三角 恒等变
形的一种基本手段。
[例题选讲]
1、求下列各式的值
①cos40°+cos60°+cos80°+cos160° ②cos23°-cos67°+2sin4°+cos26°
③csc40°+ctg80° ④cos271°+cos71°cos49°+cos249°
解：①cos40°+cos60°+cos80°+cos160° =+cos80°+2cos100°cos60° =
+cos80°-cos80°=
②cos23°-cos67°+2
(sin30°-sin22°)=sin22°+
+=
=
sin4°cos26° =2sin45°sin22°+
-sin22°=

=
=


③csc40°+ctg80°=
=
=
=2cos30°=
④解法一：cos271°+cos71°cos49°+cos249°
=(cos71°+cos49°)2-cos71°cos49°
=(2cos6 0°cos11°)2-(cos120°+cos22°)=cos211°+-
cos22°=co s211°+-(2cos211°-1)
=cos211°+-cos211°+=
解法二：cos271°+cos71°cos49°+cos249°
=
cos22°++
+(cos120°+cos22°)+=+cos142°-+
=+(cos142°+cos98°)++cos22° =+cos120°cos22°+cos22°=
解法三设x=cos271°+cos71°cos49°+cos249°
y=sin271°+sin71°sin49°+sin249°
则x+y=2(cos71°cos49°+sin71°sin49°) =2+cos22°

x-y=(cos271°-sin271°)+(cos71°cos49°-sin71°sin4 9°)+(cos249°-sin249°)

8

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=cos142°+cos120°+cos98°=-+(cos142°+cos98°) =-
+2cos120°cos22°=--cos22° 联立二式得x=
2、已知sinα+sinβ=
解：
cosα+cosβ=求tgαtgβ的值
①2+②2得 2+2(sinαsinβ+cosαcosβ)=
∴cos(α-β)= ②2-①2得 cos2α+cos2β+2(cosαcosβ-sinαsinβ)=- ∴
2cos(α+β) cos(α-β)+2cos(α+β)=-∴2·cos(α+β)+2cos(α+β)=-∴
co s(α+β)=-
-)= 又sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]=-(-
cosαcosβ=[cosα+β)+cos(α-β)]=[-+]=- ∴tgαtgβ=
=-=-
3、设函数f(x)=asinωx+bcosωx+1 (a、b≠0 ω＞0 )的周期是π，f(x)有最大
值7且f()=+4
(1)求a、b的值 (2)若α≠kπ+β (k∈z) 且α、β是f(x)=0的两根求tg(α+β)
的值。
解：(1)∵f(x)=
asin+bcos+1=
sin(ωx+φ)+1 ∴
+4 ∴a= b=6

=π 1+=7 由条件
(2)由
两式相减得 a(sin2α-sin2β)+b(cos2α-cos2β)=0
2a[sin(α-β)cos(α+β)]+2b[-sin(α+β)sin(α-β)]=0
∵α≠kπ+β (k∈z) ∴α-β≠kπ (k∈z) ∴acos(α+β)-bsin(α+β)=0
∴tg(α+β)===
) (0≤x≤)的最值
)+cos(-)]=cos(4x+
)≤
)+
4、求函数y=cos2xcos(2x+
解：y=cos2xcos(2x+
∵0≤x≤
∴-+
∴
≤y≤
) =[cos(4x+
≤4x+≤ ∴-1≤cos(4x+
∴ymax= ,ymin=
两角和与差的三角函数·积化和差与和差化积

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1 把下列各式化为和或差的形式：



求值：sec50°+tg10°。


2 求值：sin6°sin42°sin66°sin78°。
解[法一] sin6°sin42°sin66°sin78°


[法二] sin6°sin42°sin66°sin78°

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注 积化和差、和差化积两套公式的运用灵活性较大。既要注意公式 的正确选择，
又要认真考虑项与项之间的适当组合。
3 在△ABC中，求证：sin2
A+sin
2
B+sin
2
C=2cosAcosBcosC +2
解 因为A+B+C=180°，所以C=180°-(A+B)。于是，sin
2< br>A+sin
2
B+sin
2
C


4 求函数



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下面讨论函数y的最小值：








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