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三角函数和差化积记忆方法与巧记口诀

和差化积记忆口诀1：
正和正在先，sinα+sinβ=2sin[(α+β)2]·cos[(α-β)2]
正差正后迁，sinα-sinβ=2cos[(α+β)2]·sin[(α-β)2]
余和一色余，cosα+cosβ=2cos[(α+β)2]·cos[(α-β)2]
余差翻了天，cosα-cosβ=-2sin[(α+β)2]·sin[(α-β)2]
（前提是角度(α+β)2在前，(α-β)2在后的标准形式）

和差化积记忆口诀2：

正加正，正在前：sinα+sinβ=2sin[(α+β)2]·cos[(α-β)2]
余加余，余并肩 ：cosα+cosβ=2cos[(α+β)2]·cos[(α-β)2]
正减正，余在前：sinα-sinβ=2cos[(α+β)2]·sin[(α-β)2]
余减余，负正弦，cosα-cosβ=-2sin[(α+β)2]·sin[(α-β)2]

和差化积：有相关的口诀 正加正，正在前，余加余，余并肩 正减正，余在前，余减余，负正弦 反之亦然
注意事项在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方 可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是
高次函数，必须用降幂公式降为一次口诀正加正，正 在前，余加余，余并肩正减正，余在前，余减余，负正弦
反之亦然。
生动的口诀3：（和差化积）
帅+帅=帅哥[1]
帅-帅=哥帅
哥+哥=哥哥
哥-哥=负嫂嫂 反之亦然。
语文老师教的口诀4：
口口之和仍口口 cosα+cosβ=2cos[(α+β)2]·cos[(α-β)2]
赛赛之和赛口留 sinα+sinβ=2sin[(α+β)2]·cos[(α-β)2]
口口之差负赛赛 cosα-cosβ=-2sin[(α+β)2]·sin[(α-β)2]
赛赛之差口赛收 sinα-sinβ=2cos[(α+β)2]·sin[(α-β)2]
（前提是角度(α+β)2在前，(α-β)2在后的标准形式） ：

语文老师教的口诀5：
正弦加正弦，正弦在前面，sinα+sinβ=2sin[(α+β)2]·cos[(α-β)2]
正弦减正弦，余弦在前面，sinα-sinβ=2cos[(α+β)2]·sin[(α-β)2]
余弦加余弦，余弦全部见，cosα+cosβ=2cos[(α+β)2]·cos[(α-β)2]

余弦减余弦，余弦（负）不想见，cosα- cosβ=-2sin[(α+β)2]·sin[(α-β)2]
记忆方法和差化积公式的形式比较 复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出了各自的简单记忆方法。如何
只记两个公式甚至一个我们可 以只记上面四个公式的第一个和第三个。而第二个公式中的- sinβ=sin（β+π），
也就是sinα- sinβ=sinα+sin（β+π），这就可以用第一个公式解决。同理第四个公式中，
cosα- cosβ=cosα+cos（β+π），这就可以用第三个公式解决。如果对诱导公式足够熟悉，可以在运算时 把
cos全部转化为sin，那样就只记住第一个公式就行了。用的时候想得起一两个就行了。结果乘以 2这一点最简
单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值域都是[-1,1]，其积 的值域也应该是[-1,1]，而和
差的值域却是[-2,2]，因此乘以2是必须的。也可以通过其证 明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的
两项相同而造成有系数2，如：cos（α-β）-co s（α+β）=[(cosαcosβ+sinαsinβ）
-(cosαcosβ-sinαsinβ ）]=2sinαsinβ故最后需要乘以2。只有同名三角函数能和差化积无论是正弦函数
还是余弦函 数，都只有同名三角函数的和差能够化为乘积。这一点主要是根据证明记忆，因为如果不是同名三
角函数 ，两角和差公式展开后乘积项的形式都不同，就不会出现相抵消和相同的项，也就无法化简下去了。乘
积 项中的角要除以2在和差化积公式的证明中，必须先把α和β表示成两角和差的形式，才能够展开。熟知
要使两个角的和、差分别等于α和β，这两个角应该是（α+β）2和（α-β）2，也就是乘积项中角的形式。注意和差化积和积化和差的公式中都有一个“除以2”，但位置不同；而只有和差化积公式中有“乘以2 ”。
使用哪两种三角函数的积这一点较好的记忆方法是拆分成两点，一是是否同名乘积，二是“半差角” （α-β）
2的三角函数名。是否同名乘积，仍然要根据证明记忆。注意两角和差公式中，余弦的展开中 含有两对同名三
角函数的乘积，正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。所以，余弦的和差化作同名三 角函数的乘积；正弦
的和差化作异名三角函数的乘积。（α-β）2的三角函数名规律为：和化为积时， 以cos（α-β）2的形式
出现；反之，以sin（α-β）2的形式出现。由函数的奇偶性记忆这一 点是最便捷的。如果要使和化为积，那
么α和β调换位置对结果没有影响，也就是若把（α-β）2替换 为（β-α）2，结果应当是一样的，从而
（α-β）2的形式是cos（α-β）2；另一种情况可以 类似说明。余弦-余弦差公式中的顺序相反负号这是
一个特殊情况，完全可以死记下来。当然，也有其他 方法可以帮助这种情况的判定，如（0，π]内余弦函数的
单调性。因为这个区间内余弦函数是单调减的 ，所以当α大于β时，cosα小于cosβ。但是这时对应的（α+β）
2和（α-β）2在（0，π ）的范围内，其正弦的乘积应大于0，所以要么反过来把cosβ放到cosα前面，
要么就在式子的最 前面加上负号。