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《倍角公式 推导“和差化积”及“积化和差”公式》教学设计
教材：倍角公式，推导“和差化积”及“积化和差”公式
目的：继续复习巩固倍角公式，加 强对公式灵活运用的训练；同时，让学生
推导出和差化积和积化和差公式，并对此有所了解。
过程：
一、 复习倍角公式、半角公式和万能公式的推导过程：

11
例一、 已知

，
0
，tan =

，tan =

，求2 + 
37
2
（《教学与测试》P115 例三）
解：
tan2
2tan3
tan2tan

∴
tan(2)1

2
4
1tan
1t an2tan
3
22
，
0

22
7
∴
22
∴2 +  =
4
1
例二、 已知sin  cos = ，
2
，求
tan
和tan的值
22
2tan1tan
2
1
2

2

1
解：∵sin  cos = ∴

2
2
1tan
2
1tan
2
22
又∵tan2 < 0，tan < 0 ∴
化简得：
tan
2

41612
4tan 30
∴
tan27

22
22


∴
tan0
即
tan27

2222
∵
2
∴

2

2(27)

427

2 7

47

tan
2
3
2
1(27)1047527
1tan
2
二、 积化和差公式的推导
1
sin( + ) + sin(  ) = 2sincos  sincos =[sin( + )
2
+ sin(  )]
1
sin( + )  sin(  ) = 2cossin  cossin =[sin( + )
2
 sin(  )]
1
cos( + ) + cos(  ) = 2coscos  coscos =[cos( + ) +
2
cos(  )]
2tan

1
cos( + )  cos(  ) =  2sinsin  sinsin = [cos( + )
2
 cos(  )]
这套公式称为三角函数积化和差公式，熟悉结构，不要求记忆，它的优点在< br>于将“积式”化为“和差”，有利于简化计算。（在告知公式前提下）
例三、 求证：sin3sin
3
 + cos3cos
3
 = cos
3
2
证：左边 = (sin3sin)sin
2
 + (cos3cos)cos
2

11
= (cos4  cos2)sin
2
 + (cos4 + cos2)cos
2

22
1111
= cos4sin
2
 +cos2sin
2
 +cos4cos
2
 +cos2cos
2

2222
111
= cos4cos2 + cos2 = cos2(cos4 + 1)
222
1
= cos22cos
2
2 = cos
3
2 = 右边
2
∴原式得证
三、 和差化积公式的推导

若令 +  = ，   = φ，则

，

代入得：
22
1 1
sincos[sin()sin()](sinsin)< br>
22222222

cos
∴
sinsin 2sin

22

sinsin2cossin

22

coscos2coscos

22

coscos2sinsin

22< br>这套公式称为和差化积公式，其特点是同名的正（余）弦才能使用，它与积
化和差公式相辅相成， 配合使用。
1
1
例四、 已知cos  cos  = ，sin  sin =

，求sin( + )
2
3
的值
1
1
sin
① 解：∵cos  cos  = ，∴
2sin
2
222
11
sin
② sin  sin  =

，∴
2cos
3223
 33
0
∴
tan
∴
tan
∵
sin
22222
3
2tan2< br>22

12
∴
sin()
9
13
1tan
2
1
24

四、 小结：和差化积，积化和差
五、 作业：《课课练》P36—37 例题推荐 1—3
P38—39 例题推荐 1—3
P40 例题推荐 1—3