积化和差 和差化积 倍角公式 半角公式
五环的颜色-望庐山瀑布李白
1. 积化和差公式
证明方法:用和(差)角公式将右边展开即得公式.
积化和差公式记忆口诀
积化和差角加减,二分之一排前边
正余积化正弦和,余正积化正弦差
余弦积化余弦和,正弦积化负余差
2. 和差化积公式
sinα+sinβ=2sin[(α+β)2]·cos[(α-β)2]
sinα-
sinβ=2cos[(α+β)2]·sin[(α-β)2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)2]·cos[(α-β)2]
cosα-
cosβ=-2sin[(α+β)2]·sin[(α-β)2] 【注意右式前的负号】
和差化积公式记忆口诀
和差化积2排前,半角加减放右边
正弦和化正余积,正弦差化余正积
余弦和化余弦积,余弦差化负正积。
以上四组公式可以由积化和差公式推导得到
证明过程
sin α+sin β=2sin[（α+β）2]·cos[（α-β）2]的证明过程
因为
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ，
将以上两式的左右两边分别相加，得
sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ，
设α+β=θ，α-β=φ
那么
α=（θ+φ）2，β=（θ-φ）2
把α，β的值代入，即得
sinθ+sinφ=2sin[（θ+φ）2]cos[(θ-φ）2]
正切的和差化积
tanα±tanβ=sin（α±β）(cosα·cosβ）（附证明）
cotα±cotβ=sin（β±α）(sinα·sinβ）
tanα+cotβ=cos（α-β）(cosα·sinβ）
tanα-
cotβ=-cos（α+β）(cosα·sinβ）【注意右式前的负号】
证明：左边=tanα±tanβ=sinαcosα±sinβcosβ
=(sinα·cosβ±cosα·sinβ）(cosα·cosβ）
=sin（α±β）(cosα·cosβ）=右边
∴等式成立
3.半角公式
sin(A2)=√((1-cosA)2)
sin(A2)=-√((1-cosA)2)
cos(A2)=√((1+cosA)2)
cos(A2)=-√((1+cosA)2)
tan(A2)=√((1-cosA)((1+cosA))
tan(A2)=-√((1-cosA)((1+cosA))
ctg(A2)=√((1+cosA)((1-cosA))
ctg(A2)=-√((1+cosA)((1-cosA))