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二项分布期望和方差推导
若随机变量
X~B(n,p)
，则
E(X)np
，
D(X)np(1p)

二项分布数学期望的证明：
kk1
k
注意到
kC
n
nC
n1
（ 证明：
kC
n

kn!n(n1)!n(n1)!
k1
nC
n1
）
k!(nk)!(k1)!(nk)!(k 1)![(n1)(k1)]!
00n22n2
11n1kk
kC
n
p(1p)
nk

所以
E(X) 0C
n
p(1p)
1C
n
p(1p)
2C< br>n
p(1p)
n1n1nn
(n1)C
n
p(1 p)
1
nC
n
p(1p)
0

01n1 12n2k1knk
nC
n
nC
n
nC
n


1
p(1p)
1
p(1p)
 1
p(1p)
n2n11n1n0
nC
n
p(1p) nCp(1p)

1n1
0n111n2k1k1n2n2< br>n1n1
np[C
n
C
n
C
n
(1p)
nk
C
n
(1p)
1
C
n
(1p)
0
]

1
(1p)
1
p(1p)
1
p
1
p
1
p
np[(1 p)p]
n1
ii
np
，故
E(X)

i C
n
p(1p)
ni
np
；
i0
n
二项分布方差的证明：
D(X)np(1p)

证明：
D(X)
nn

[xE(X)]
i
i1n
2
p
i


[x2x
i
E(X )E(X)]p
i


[x
i
2
p
i
2x
i
E(X)p
i
E
2
(X)pi
]

2
i
2
i1
i1
nn
n


xp
i


2x
i
E(X)p
i


E
2
(X)p
i
E(X
2
)E
2
(X)

2
i
i1i1i1
故任何离散随机变量的方差均满足式子：
D(X)E(X)E(X)

当随机变量
X~B(n,p)
时，
D(X)
22

i
i0
i
n
2ii
C
n
p(1 p)
ni
(np)
2



i(i1)C p(1p)
i
n
i
i0
n
n
ni


iCp(1p)
i
n
i0
22
n
niii
np
（注意
E(X)

iC
n
p (1p)
ni
np
）
22
i0
n

(i1)iCp(1p)
i
n
i
i2
ni i1ini
npnp


(i1)nC
n
n pn
2
p
2

1
p(1p)
i2
n
n

(i1)C
i2
n
i1
n1
p(1p)
inii2i2
npnp
n

(n1)C
n
(1p)
ni
npn
2
p
2

2
p
22
n
i2
n(n1)
C
i2
n
i2
n2
p(1p)
in ii2i2
npnp
n(n1)p

C
n
(1p)
ni
npn
2
p
2

2
p
22
2
n
i2
（指数之后凑组合数下标
n2
，利用展开式
(ab)
n2
i0
n2in2ii
< br>
C
n
ab
）
2
i0
n2
iin2i
npn
2
p
2

n(n1)p< br>
C
n2
p(1p)
2

n(n1)p
2
[p(1p)]
n2
npn
2
p
2
n(n1)p
2
npn
2
p
2
np(1 p)

推导过程用到二项式定理的展开式
(ab)
n

Ca
i
n
i0
n
nii
kk1
nCn
b
以及
kC
n1