宗教局-服务员工作总结

第三讲 和差倍半角公式及三角恒等变换
一、知识梳理
1、(1)两角和与差的余弦
cos(α＋β)＝________ _____________________________________，
cos(α－β )＝_____________________________________________.
(2)两角和与差的正弦
sin(α＋β)＝_____________________ ________________________，
sin(α－β)＝___________ __________________________________.
(3)两角和与差的正切
tan(α＋β)＝_____________________ ________________________，
tan(α－β)＝___________ __________________________________.
π
(α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋，k∈Z)
2
其变形为：
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．
2、辅助角公式
asin α＋bcos α＝a
2
＋b
2
sin(α＋φ)，
cos φ＝ ，


sin φ＝ ，
其中

b
tan φ＝，


a

角φ称为辅助角．
3、二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝________________；
(2)cos 2α＝______________＝ ________________－1＝1－________________；
kπ
ππ
(3)tan 2α＝________________________ (α≠＋且α≠kπ＋)．
242
4、公式的逆向变换及有关变形
sin 2α
(1)sin αcos α＝____________________⇒cos α＝；
2sin α
(2)降幂公式：sin
2
α＝______________ __，cos
2
α＝________________；
升幂公式：1＋cos α＝________________，1－cos α＝_____________；
变形：1±sin 2α＝sin
2
α＋cos
2
α±2sin αcos α＝________________________.
二、典型例题选讲
类型一、给角求值问题
例1、求值：
(1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]2sin
2
80°；
(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3·cos(θ＋15°)．
3sin 10°

·2sin 80°答案：(1)原式＝2sin 50°＋sin 10°·
1＋

cos 10°

cos 10°＋3sin 10°

·2 sin 80°＝

2sin 50°


＋sin 10°·
cos 10°

13

cos 10°＋sin 10°

·2cos 10°
22
＝

2sin 50°

＋2sin 10°·

cos 10°


1

2sin 10°sin 40°
2sin 60°3

·2cos 10°
2sin 50°＋
＝

＝·2cos 10°＝22sin 60°＝22×＝6.
cos 10°

cos 10°2
(2)原式＝sin[(θ＋45°) ＋30°]＋cos(θ＋45°)－3·cos[(θ＋45°)－30°]
3133
＝s in(θ＋45°)＋cos(θ＋45°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋45°)－sin(θ＋4 5°)＝0.
2222
类型二、给值求值问题
π3π
π3π
3 5
－α

＝，sin

＋β

＝，求sin(α＋ β)的值． 例2、已知0<β<<α<，cos


4

5

4

1344
ππ
π
3π
ππ
3π3 π
3
－α

＝sin

＋α

＝，∵0< β<<α<，∴<＋α<π，<＋β<π. 解 cos


4

4

5442444
ππ
3π3π
412
＋α
< br>＝－1－sin
2

＋α

＝－，cos

＋β

＝－1－sin
2

＋β

＝－. ∴co s


4

4

4

4< br>
513

π
＋α

＋

3π＋β

＝sin

π
＋α

cos

3π
＋β

＋cos

π
＋α

sin

3π
＋β

∴sin[π＋(α＋β)]＝sin

4

4

4

4
4

4

12
4535656
－

－×＝－.∴sin(α＋β)＝. ＝×

5

13

5136565
类型三、给值求角问题
α
1
π
2
例3、已知0<α<<β<π，tan ＝，cos(β－α)＝.
22210
(1)求sin α的值； (2)求β的值．
ααα
1
2sin cos 2tan 2×
2222
α
α
1
αα
4
2·

＝2sin cos ＝解 (1)∵tan ＝，∴sin α＝sin

＝＝＝.

2
< br>22221

2
5
2
α
2
α
2α

sin＋cos1＋tan
222
1＋

2

ππ
43
(2)∵0<α<，sin α＝，∴cos α＝.又0<α<<β<π，∴0<β－α<π.
2552
272
由cos(β－α)＝，得sin(β－α)＝.∴sin β＝sin[(β－α)＋α]
1010
723242522
＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α＝×＋×＝＝.
105105502
π
3
由<β<π得β＝
π.
24
类型四、三角函数式的化简
例4、求函数y＝7－4sin xcos x＋4cos
2
x－4cos
4
x的最大值和最小值．
解 y＝7－4sin xcos x＋4cos
2
x－4cos
4
x＝7－2sin 2x＋4cos
2
x(1－cos
2
x)
＝7－2sin 2x＋4cos
2
xsin
2
x＝7－2sin 2x＋sin
2
2x＝(1－sin 2x)
2
＋6，
由于函数z ＝(u－1)
2
＋6在[－1,1]中的最大值为z
max
＝(－1－1)< br>2
＋6＝10，最小值为z
min
＝(1
－1)
2
＋ 6＝6，故当sin 2x＝－1时，y取得最大值10，当sin 2x＝1时，y取得最小值6.
类型五、三角函数式的求值
ππ
1
ππ
1
例5、已知si n(＋2α)·sin(－2α)＝，α∈(，)，求2sin
2
α＋tan α－
－1的值．
44442tan α
ππππ
1
π
11
解 由sin(＋2α)·sin(－2α)＝sin(＋2α)·cos(＋2α)＝sin(＋4α)＝cos 4α＝，
44442224
1
ππ5π
∴cos 4α＝，又α∈(，)，故α＝，
24212
sin
2
α－cos
2
α
－2cos 2α
1
2
∴2sin
α＋tan α－
－1＝－cos 2α＋＝－cos 2α＋
tan αsin αcos αsin 2α
5π
2cos
6
53
5π
＝－cos－＝.
6
5π
2
sin
6


2

类型六、三角恒等式的证明
例6、已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x，tan β＝y，记y＝f(x)．
(1)求证：tan(α＋β)＝2tan α；(2)求f(x)的解析表达式；
(3)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域．
解：（1）由sin(2α＋β)＝3sin β，得sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]，
即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α，
∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α，∴tan(α＋β)＝2tan α.
tan α＋tan βx＋y
(2)解 由(1)得＝2tan α，即＝2x，
1－tan αtan β1－xy
xx
∴y＝.
2
，即f(x)＝
1＋2x1＋2x
2
(3)解 ∵角α是一个三角形的最小内角，
π
∴0<α≤，03
112
设g(x)＝2x＋
x
，则g(x)＝2x＋
x
≥22(当且仅当x ＝时取“＝”)．
2
2
故函数f(x)的值域为(0，]．
4
三、巩固训练
2cos 10°－sin 20°
ππππ
1、 求值：(1)；(2)tan(－θ)＋tan(＋θ)＋3tan(－θ)tan(＋θ)．
sin 70°6666
2cos30°－20°－sin 20°3cos 20°＋sin 20°－sin 20°
3cos 20°
解 (1)原式＝＝＝＝3.
sin 70°sin 70°sin 70°
ππππππ
(2)原式＝tan[(－θ)＋(＋θ) ][1－tan(－θ)·tan(＋θ)]＋3tan(－θ)tan(＋θ)＝3.
666666
π
1
＋α

＝2，tan β＝. 2、已知tan


4

2
sinα＋β－2sin αcos β
(1)求tan α的值；(2)求的值．
2sin αsin β＋cosα＋β
1＋tan α
π
1
＋α

＝2，得解 (1)由tan

＝2，即1＋tan α＝2－2tan α，∴tan α＝.

4

3
1－tan α
sinα＋β－2sin αcos βsin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β
(2)＝
2sin αsin β＋cosα＋β2sin αsin β＋cos αcos β－sin αsin β
11
－
32
－sin αcos β－cos αsin β－sinα－βtan α－tan β
1
＝＝＝－tan(α－β)＝－＝－＝.
117
cos αcos β＋sin αsin βcosα－β1＋tan αtan β
1＋×
32
510
3、若sin A＝，sin B＝，且A、B均为钝角，求A＋B的值．
510
510225
解 ∵A、B均为钝角且sin A＝，sin B＝，∴cos A＝－1－sin
2
A＝－＝－，
5105
5
3310
cos B＝－1－sin
2
B＝－＝－.∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B
10
10
25

310

5102
＝－×
－
－×＝.①
5102

10

5
ππ
7π
又∵224

4cos
4
x－2cos 2x－1
4、已知函数f(x)＝.
π

π

sin

4
＋x

sin

4
－x
< br>
3

11ππ
1
－

的值；(2) 当x∈

0，

时，求g(x)＝f(x)＋sin 2x的最大值和最小值． (1)求f


12

4
< br>2
2
2
1＋cos 2x－2cos 2x－1
cos2x2co s
2
2x2cos
2
2x
解(1)f(x)＝＝＝＝＝2cos 2x，
π

ππππ
cos 2x

s in

4
＋x

sin

4
－x

sin

4
＋x

cos

4
＋x

sin

2
＋2x

11π11π
π
－

＝2cos

－

＝2cos ＝3. ∴ f


12

6

6
ππ
π< br>π3π
2x＋

.∵x∈

0，

，∴2x ＋∈

，

， (2)g(x)＝cos 2x＋sin 2x＝2sin< br>
4

4

4

44

π
∴当x＝时，g(x)
max
＝2，当x＝0时，g(x)
min
＝1.
8
π
sinα＋
4
5
5、(1)已知α是第 一象限角，且cos α＝，求的值．
13
cos2α＋4π
π
3π3ππ
(2)已知cos(α＋)＝，≤α<，求cos(2α＋)的值．
45224
512
解 (1)∵α是第一象限角，cos α＝，∴sin α＝.
1313
π
2222
sinα＋sin α＋cos αsin α＋cos α
42222
132
∴＝＝＝＝＝－.
22
cos 2α14
cos2α＋4πcos
α－sinα
cos α－sin α
512
－
1313
πππ
2
(2)cos(2α＋)＝cos 2αcos－sin 2αsin＝(cos 2α－sin 2α)，
4442
π
3
3ππ
7
∵≤α<
π，∴
≤α＋<
π.
224 44
π
33
π
7
π
4
又cos(α＋)＝>0，故 可知
π<α＋
<
π，∴sin(α＋
)＝－，
4524445
πππ
4324
从而cos 2α＝sin(2α＋)＝2sin(α＋)cos(α＋)＝2×(－)×＝－.
2445525
ππ
37
sin 2α＝－cos(2α＋)＝1－2cos
2
(α＋)＝1－2×()
2
＝.
24525
π
22247312
∴cos(2α＋)＝(cos 2α－sin 2α)＝×(－－)＝－.
422252550


sin 2
x
1＋cos
x
6、求证：＝.
sin
x
＋cos
x
－1sin
x
－cos
x
＋1sin
x
2sin xcos x2sin xcos x
证明 因为左边＝＝
2

[sin x＋cos x－1][sin x－cos x－1]sinx－cos x－1
2
sin x1＋cos x
2sin xcos x2sin xcos xsin x
＝
2
＝＝＝
22
sinx－cosx＋2cos x－1－2cosx＋2cos x1－cos x1－cos x1＋cos x
sin x1＋cos x1＋cos x
＝＝＝右边．
sin
2
xsin x








4