社会实践活动内容-见习报告的格式

第四章：三角函数

第二单元 和差倍角公式测试题
一、选择题：
1．(05春北京)在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，则△ABC一定是
( )
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形
2cos10°－sin20°
2．的值是
sin70°

1
A．
2
( )
B．
3

2
C．3

D．2


sinx cosx
3．f(x)＝的值域为
1＋sinx＋cosx
( )
A．(―3―1,―1) ∪(―1, 3―1)
－3－13－1
C．(,)
22

－2－12－1
B．[,―1] ∪(―1, )
22
－2－12－1
D．[,]
22

π
4
4．已知x∈(－,0)，cosx＝，则tan2x等于
25

7
A．
24
θθ
A．tan＜cot，
22
( )
7
B．－
24
θθ
B．tan＞cot，
22
24
C．
7
24
D．－
7
5．(2004春北京)已知sin(θ＋π)＜ 0，cos(θ－π)＞0，则下列不等关系中必定成立的是( )
θθθθ
C．sin＜cos， D．sin＞cos．
2222

παα
5
π
6．(04江苏)已知0＜α＜，tan＋cot＝，则sin(α－) 的值为
22223

4＋33
A．
10
( )
4－33
B．
10
33－4
C．
10
4＋33
D．－
10

4m－6
7．等式sinα＋3cosα＝有意义，则m的取值范围是
4－m

7
A．(－1,)
3
( )
7
B．[－1,]
3
7
C．[－1,]
3
7
D．[―,―1]
3
8．在△ABC中，tanA tanB＞1是△ABC为锐角三角形的
( )
A．充要条件 B．仅充分条件 C．仅必要条件
件
D．非充分非必要条
3
9．已知α.β是锐角，sin α＝x，cosβ＝y，cos(α＋β)＝－，则y与x的函数关系式为( )
5
A．y＝―
C．y＝―
343
1―x
2
＋x (＜x＜1)
555
B．y＝―
34
1―x
2
＋x (0＜x＜1)
55
343
1―x
2
―x (0＜x＜＝
555
34
D．y＝―1―x
2
―x (0＜x＜1＝
55

1
10．已知α∈(0,π)，且sinα＋cosα＝，则tanα的值 为
5

4
A．－
3
( )
43
B．－ 或－
34
3
C．－
4

43
D． 或－
34
A＋B
11．(05全国)在△ABC中，已 知tan＝sinC，则以下四个命题中正确的是
2
( )
(1)tanA ·cotB＝1．(2)1＜sinA＋sinB≤2．(3)sin
2
A＋cos
2
B＝1．(4)cos
2
A＋cos
2
B＝sin
2
C．
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
12．(2003⑷) 函数
y2sinx(sinxcosx)
的最大值为 ( )
（A）
12
（B）
21
（C）
2
（D）2
二、填空题：
π
13．(03上 海)若x＝是方程2cos(x＋α)＝1的解，α∈(0,2π)，则α＝＿＿＿＿＿＿．
3
14．已知cosθ＋cos
2
θ＝1，则sin
2
θ＋sin
6
θ＋sin
8
θ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
15．函数y＝5sin(x＋20°)－5sin(x＋80°)的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
︵︵︵︵
16．若圆内接四边形的四个顶点A、B、C、D把圆周分成AB∶BC∶CD∶DA ＝4∶3∶8∶5，
则四边形四个内角A、B、C、D的弧度数为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿。
三、解答题
βαππ
12
17．设cos(α－)＝－，sin( －β)＝，且＜α＜π，0＜β＜，求cos（α＋β）．
292322




18．已知f(x)＝2asin
2
x－22asinx＋a＋b的定义域是[0,




ππ
19．(04湖北)已知6sin
2
α＋sinαcosα－2cos
2
α＝0，α∈[,π]，求sin(2α＋)的值 ．
23




20．(05北京)在△ABC中，sinA＋cosA＝
积．
2
，AC＝ 2，AB＝3，求tanA的值和△ABC的面
2
π
]，值域是[－5,1]，求a、 b的值．
2

21．在矩形ABC D中，AB＝a，BC＝2a，在BC上取一点P，使得AB＋BP＝PD，求tan∠
APD的值．




2πα
22．是否存在锐角α和β，使α＋2β＝ ①，且tantanβ＝2－3②，同时成立？若存
32
在，求出α和β的值；若不存在，请说 明理由．

参考答案：
1．B 由2sinAcosB＝sin( A＋B)

sin(B－A)＝0

B＝A．
2cos(30°―20°)―sin20°3cos20°
2．C 原式＝＝＝3．
cos20°cos20°
π
3．B 令t＝sin x＋cos x＝2sin(x＋)∈[―2,―1]∪(―1, 2)．
4
t
2
－1< br>2
t－1－2－12－1
则f(x)＝＝∈[,―1]∪(―1, )．
22 2
1＋t
θθ
cos
22
θθ2cosθθ
4．D．5．B ∵sinθ＞0，cosθ＜0，tan－cot＝－＝－＞0．∴tan
222
θθsinθ
cossin
22
sin
θ
＞cot．
2
6．B tan
ααπ
125433
＋cot＝＝．∴sinα＝．cosα＝． sin(α －)＝sinα－cosα＝
22
sinα
255322
4－33
．
10
7．C 8．A
9．A y＝cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα
343
＝―1―x
2
＋x＞0

4x＞31―x
2

＜x＜1．
555
10．A 解：当α∈(0,
πππ
)时，sinα＋cosα＝2sin(α＋)＞1．故α∈(,π)．
242
∴sinα＞0,cosα＜0．且|sinα|＞|cosα|∴|tanα|＞1．
由(sinα＋cosα)
2
＝
2tanα
1242443
sin2α＝－

＝－tanα＝－或tanα＝－(舍)．

2525
1＋tan
2
α
2534
A＋B1－cos(A＋B)1＋cosC π
11．B 解：由tan＝＝＝sinC。∴cosC＝0，C＝．
2sinC2sin(A＋B)
ππ
∴A＋B＝．故①式＝tan
2
A≠1。②式＝s inA＋cosA＝2sin(A＋)∈(1，2)，
24
③式＝2sin
2
A≠1，④式＝cos
2
A＋sin
2
A＝1＝sin
2
C．
12．Ａ 解：


y2sin
2
x2sin xcosx1cos2xsin2x12sin

2x

1 2
。
4

4π
13．。 14．1 解：cosθ＝si n
2
θ，∴sin
6
θ＝cos
3
θ，sin
8< br>θ＝cos
4
θ．
3
∴sin
2
θ＋sin
6
θ＋sin
8
θ＝cosθ＋cos
3
θ＋cos
4< br>θ＝cosθ＋cos
2
θ(cosθ＋cos
2
θ)
＝cosθ＋cos
2
θ＝1．
15．7 解：y＝3sin(x＋20 °)＋5[sin(x＋20°)cos60°＋cos(x＋20°)sin60°]
1153＝sin(x＋20°)＋cos(x＋20°)＝7sin(x＋20°＋φ)≤7．
22

16．
2ππ4π3π8π
11

13π9π7π
,,,，解∵＝．故四条弧所对圆心角分别为，，，
101010
4＋3＋8＋5
1 0
20
202020
5π
．
10
1
3π8π111
8π5π13π9π7π
四内角分别为(＋)＝π．(＋)＝，，．
212020
α＋ββα
17．分析：∵＝(α―)―(－β)．
222
πππβπαπ
解：∵α∈(,π)β∈(0, )．∴＜α－＜π，－＜－β＜．
2242422
ββ
45
αα
1 25
∴由cos(α－)＝－得sin(α－)＝，由sin(－β)＝．得cos(－β)＝． 29292323
α＋ββα
7575
2
239
∴cos＝co s[(α―)―(―β)]＝…＝．∴cos(α＋β)＝2×()－1＝－．
2222727729
18．解：令sinx＝t，∵x∈[0,
＋b．

b＝－5

a＝6

b＝1

a＝－6

当a＞0时，则

当a＜0时，则



．

a＋b＝1

b＝－5


a＋b ＝－5

b＝1
π
2
]．∴t∈[0,1]． f(x)＝g(t) ＝2at
2
－22at＋a＋b＝2a(t－)
2
22
π
2 1
19．解：依题知α≠，cosα≠0．方程可化为6tan
2
α＋tanα－2＝ 0．tanα＝－或 (舍)．

232
πππ
3
∴sin(2α ＋)＝sin2αcos＋cos2α·sin＝sinαcosα＋(cos
2
α－sin< br>2
α)
3332
sinαcosαtanα
3
cos
2
α－sin
2
α
3
1－tan
2
α
6 53
＝
2
＋·＝＋×＝－＋．
1326
sinα＋cos
2
α
2
cos
2α＋sin
2
α1＋tan
2
α
2
1＋tan
2
α
20．解：sinA＋cosA＝2cos(A－45°)＝
21
， ∴cos(A－45°)＝．
22
6＋2
，
4
∵0°＜A＜180°，∴A－45°＝60°，A＝105°，
∴tanA＝tan(60°＋45°)＝―2―3， sinA＝sin(60°＋45°)＝
6＋2
311
∴S
△
ABC
＝AC·AB．sinA＝×2×3× ＝(6＋2)．
2244
2a
21．解：如图作PE⊥AD于E．设BP＝X．

则x＋a＝(2a－x)
2
＋a
2
，∴x＝，
3
A
24
＋
33
2a4
∴AE＝BP＝，DE＝ PC＝a，∴tan∠APD＝tan(∠
1
＋∠
2
)＝＝18．
3324
1－×
33
α
tan＋tanβ
2
απα
22．解1：由①得＋β＝，∴tan(＋β)＝＝3．
232
α
1－tantanβ
2
B
E
D
1 2
P
C
αα
将②代入得tan＋tanβ＝3－3．∴t an,tanβ是方程x
2
―(3―3)x＋2－3＝0的两根．
22

απα
解得x
1
＝1，x
2
＝2－3．若tan＝1，则 α＝与α为锐角矛盾．∴tanβ＝1, tan＝2－3，
222
ππα
∴β＝．代入①得α＝．满足tan＝2－3．
462
αππ3－tanβ
解2：由①得＝－β，代入②得：tan(－β)·tanβ＝2－3

·tanβ＝2
233
1＋3tanβ
－3．

tan
2
β―(3―3)tanβ＋2－3＝0；tanβ＝1或2－3．
ππ
若tanβ＝1，则β＝，α＝．
46
απππ
若tanβ＝ 2－3．代入②得cot＝1，则α＝不合题意．故存在α＝，β＝使①、
2264
②同时成立 ．