小学奥数教程(最完美)8447
收入证明怎么写-护理部主任职责
1．和差倍问题
【和差问题】 【和倍问题】 【差倍问题】
已知条件
几个数的和与差 几个数的和与倍数 几个数的差与
倍数
公式适用范围
已知两个数的和，差，倍数关系
公式?
①(和－差)÷2=较小数较小数＋差=较大数
和－较小数=较大
数
②(和＋差)÷2=较大数较大数－差=较小数
和－较大数=较小
数
和÷(倍数＋1)=小数 小数×倍数=大数 和－小数=大数
差÷(倍数-1)=小数 小数×倍数=大数 小数＋差=大数
关键问题
求出同一条件下的和与差 和与倍数差与倍数
2．年龄问题的三个基本特征：
①两个人的年龄差是不变的；
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；
③两个人的年龄的倍数是发生变化的；
3．归一问题的基本特点：
问题中有一个不
变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用
“照这样的速度”……等词语来表示。
关键问题
根据题目中的条件确定并求出单一量；
4．植树问题
基本类型?
①在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树；
②在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树；
③在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树；④封闭曲
线上植树。
基本公式
棵数=段数＋1?棵距×段数=总长
棵数=段数－1?棵距×段数=总长
棵数=段数
棵距×段数=总长
关键问题 确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系
5．鸡兔同笼问题
基本概念 鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把
假设错的那部分置换出来；
基本思路
①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：
②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；
③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；
④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式
①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）
÷（兔脚数－鸡脚数）
②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）
÷（兔脚数一鸡脚数）
关键问题 找出总量的差与单位量的差。
6．盈亏问题
基本概念
一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：
按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的
标准不同，造
成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．
基本思路 先将
两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异
造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然
后根据
题意求出对象的总量．
基本题型
①一次有余数，另一次不足；基本公式：总份数＝（余数＋不
足数）÷两次每份数的差
②当两次都有余数；基本公式：总份数＝（较大余数一较小余
数）÷两次每份数的差
③当两次都不足；基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不
足数）÷两次每份数的差
基本特点 对象总量和总的组数是不变的。
关键问题 确定对象总量和总的组数。
7．牛吃草问题
基本思路 假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的
吃法
，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可
确定草的生长速度和总草量。
基本特点 原草量和新草生长速度是不变的；
关键问题 确定两个不变的量。
基本公式 生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短
时间牛头数）÷（长时间-
短时间）； 总草量=较长时间×长时间
牛头数-较长时间×生长量；
8．周期循环与数表规律
周期现象
事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出
现。
周期
我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
关键问题 确定循环周期。
闰年
一年有366天；①年份能被4整除；②如果年份能被100
整除，则年份必须能被400整除；
平年 一年有365天；
①年份不能被4整除；②如果年份能
被100整除，但不能被400整除；
9．平均数
基本公式?
①平均数=总数量÷总份数
总数量=平均数×总份数总份数=
总数量÷平均数
②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数
基本算法?
①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算.
②基准数法：根据给出的数之间的关系
，确定一个基准数；一
般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标
<
br>准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些
差的平均数；最后求这个差的平
均数和基准数的和，就是所求的平
均数，具体关系见基本公式②。
10．抽屉原理
抽屉原则一
如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必
有一个抽屉中至少放有2个物体。
例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整
数的和，那么就有以下四种情况：
①4=4+0+0?②4=3+1+0?③4=2+2+0?④4=2+1+1
观察上面四种
放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有
那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一
个抽屉
中至少放有2个物体。
抽屉原则二
如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，
那么必有一个抽屉至少有:
①k=[nm
]+1个物体：当n不能被m整除时。
②k=nm个物体：当n能被m整除时。
理解知识点?[X]表示不超过X的最大整数。
例：4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；
关键问题
构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，
而后依据抽屉原则进行运算。
11．定义新运算
基本概念
定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有
多种基本（混合）运算。
基本思路 严格按
照新定义的运算规则，把已知的数代入，转
化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算
。
关键问题 正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项?
①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序；
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
12．数列求和
等差数列
在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样
的一列数，就叫做等差数列。
基本概念?
首项：等差数列的第一个数，一般用表示；
项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示；
公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；
通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；
数列的和：这一数列全部数字的和，一般用sn表示．
基本思路
等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d, n,sn,,通项公式中
涉及四个量，如果己知其中三
个，就可求出第四个；求和公式中涉
及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。
基本公式 通项公式：an= +（n－1）d； 通项＝首项＋（项
数一1)?×公差；
数列和公式：sn= ( a1+an )×n÷2；
数列和＝（首项＋末项）
×项数÷2；
项数公式：n= (an -a1 )÷d＋1；
项数=（末项-首项）÷公差
＋1；
公差公式：d =（an -a1?）÷（n－1）；
公差=（末项－首项）
÷（项数－1）；
关键问题 确定已知量和未知量，确定使用的公式；
13．二进制及其应用
十进制 用0～9十个数字表示，逢10进1；不同数位上的数
字表示不同的含义，十位上的2表示20，百位上的2表示200。
所以234=200+30+4=
2×100+3×10+4。
二进制
用0～1两个数字表示，逢2进1；不同数位上的数字
表示不同的含义。
十进制化成二进制?
①根据二进制满2进1的特点，用2连续去除这个数，直到
商为0，然后把每次所得的余数按自
下而上依次写出即可。?
②先找出不大于该数的2的n次方，再求它们的差，再找不大
于这个
差的2的n次方，依此方法一直找到差为0，按照二进制展
开式特点即可写出。
14．加法、乘法原理和几何计数
加法原理 如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中
有
m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法，……，在第
n类方法中
有mn种不同方法，那么完成这件任务共有：m1+
m2+......+mn?种不同的方法。
关键问题 确定工作的分类方法。
基本特征 每一种方法都可完成任务。
乘法原理
如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1
步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总
有m2种
方法……不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn?种方法，
那么完成这件任务
共有：m1×?m2×.......?×mn?种不同的方法。
关键问题 确定工作的完成步骤。
基本特征 每一步只能完成任务的一部分。
直线
一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的
轨迹。
直线特点：没有端点，没有长度。
线段 直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。
线段特点：有两个端点，有长度。
射线 把直线的一端无限延长。
射线特点：只有一个端点；没有长度。
①数线段规律：总数＝1+2+3+…+（点数一1）；
②数角规律=1+2+3+…+（射线数一1）；
③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：
④数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数
15．质数与合数
质数
一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫
做质数，也叫做素数。
合数
一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫
做合数。
质因数
如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这
个数的质因数。
分解质因数 把一个数用
质数相乘的形式表示出来，叫做分解
质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结<
br>果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式?N=a1^r1×a2^r2×a3^r3×...
...
×an^rn，其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数，且
a1
(rn+1)
互质数 如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。
16．约数与倍数
约数和倍数 若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就
叫做a的约数.
公约数
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最
大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
最大公约数的性质?
①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。
②几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
③几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。
④几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这
几个数的最大公约数乘以m。
例如：12的约数有1、2、3、4、6、12；
18的约数有：1、2、3、6、9、18；
那么12和18的公约数有：1、2、3、6；
那么12和18最大的公约数是：6，记作（12，18）=6；
求最大公约数基本方法
①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
②短除法：先找公有的约数，然后相乘。
③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个
余数，就是所求的最大公约数。
公倍数
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最
小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
例如：12的倍数有：12、24、36、48……；
18的倍数有：18、36、54、72……；
那么12和18的公倍数有：36、72、108……；
那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36；
最小公倍数的性质?
①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
②两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘
积。
求最小公倍数基本方法?
①短除法求最小公倍数；
②分解质因数的方法
17．数的整除
基本概念和符号
整除 如果一个整数a，除以一个自然数b，得到
一个整数商c，
而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
常用符号
整除符号“|”，不能整除符号“ ”；因为符号“∵”，
所以的符号“∴”；
整除判断方法
①能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
②能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整
除。
③能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125
整除。
④能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
⑤能被7整除：?
A.末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之
差能被7整除。
B.逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整
除。
⑥
能被11整除：?A.末三位上数字所组成的数与末三位以前的
数字所组成的数之差能被11整除。?B
.奇数位上的数字和与偶数位
数的数字和的差能被11整除。
C.逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
⑦能被13整除：?A.末三位
上数字所组成的数与末三位以前的
数字所组成的数之差能被13整除。?B.逐次去掉最后一位数字并减
去末位数字的9倍后能被13整除。
整除的性质
①如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整
除。
②如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。
③如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
④如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数
整除。
18．余数及其应用
基本概念
对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，
且0
①余数小于除数。
②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。
③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c
的余数的和除以c的余数。
④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的
余数的积除以c的余数。
19．余数、同余与周期
同余的定义
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m
同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m
同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。
同余的性质
①自身性：a≡a(mod m)；
②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)；
③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡?c(mod
m)；
④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod
m)，a-c≡b-d(mod m)；
⑤相乘性：若a≡?b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡?b
×d(mod m)；
⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m)；
⑦同倍性:若a≡?b(mod m)，整数c，则a×c≡?b×c(mod m
×c)；
关于乘方的预备知识
①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b
②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md
被3、9、11除后的余数特征
①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡
n(mod 9)或（mod
3）；
②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示
M的各个偶数数位上数字
的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod
11)；
费尔马小定理
如果p是质数（素数），a是自然数，且a不
能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。
20．分数与百分数的应用
基本概念与性质
分数
把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。
分数的性质
分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0
除外），分数的大小不变。
分数单位
把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。
百分数 表示一个数是另一个数百分之几的数。
常用方法
①逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思
考。
②对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对
应关系
③转化思维方法：把一类应用题转化成另一类应用题进行解
答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系
；把不同的标准（在
分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。常
见的处理
方法是确定不同的标准为一倍量。
④假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量
假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进
行调整，求出最后结果。
⑤量不变思维方法：在变化的各个量当中，总有一个量是不变
的，不论其他量如何变化，而这个量是始终
固定不变的。有以下三
种情况：A、分量发生变化，总量不变。B、总量发生变化，但其
中有的
分量不变。C、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量
不变化。
⑥替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单
一化、量率关系明朗化。
⑦同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处
理。
⑧浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。
21．分数大小的比较
基本方法
①通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小
和分母的关系比较。
②通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小
和分子的关系比较。
③基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。
④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或
分母越大的分数值越大。
⑤倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大
小，除了运用以上方法外，可以用同倍率的
变化关系比较分数的大
小。（具体运用见同倍率变化规律）
⑥转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后
进行比较。
⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1进行比
较。
⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比
较。
⑨倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。
⑩基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。
22．分数拆分
将一个分数单位分解成两个分数单位之和的公式
①?1n=1(n+1)+1n(n+1)；
②?1n=an(a+b)+bn(a+b)，其中a,b为n的两个因数。
23．完全平方数
完全平方数特征
①末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。
②除以3余0或余1；反之不成立。
③除以4余0或余1；反之不成立。
④约数个数为奇数；反之成立。
⑤奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。
⑥奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。
⑦两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。
平方差公式?a^2-b^2=(a+b)(a-b)
完全平方和公式?(a+b)^2=a^2+b^2+2ab
完全平方差公式?(a-b)^2=a^2+b^2-2ab
24．比和比例
比
两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，
比号后面的数叫比的后项。
比值
比的前项除以后项的商，叫做比值。
比的性质
比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除
外），比值不变。
比例
表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或
比例的性质
两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，ad=bc。
正比例
若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的商
不变时），则A与B成正比。
反比例
若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍（AB的积
不变时），则A与B成反比。
比例尺
图上距离与实际距离的比叫做比例尺。
按比例分配 把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。
25．综合行程
基本概念
行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、
时间、路程三者之间的关系.
基本公式
路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度
=时间
关键问题
确定运动过程中的位置和方向。
相遇问题 速度和×相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）
追及问题 追及时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）
流水问题
顺水行程=（船速+水速）×顺水时间 逆水行程=（船
速-水速）×逆水时间
顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速
静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2?水速=（顺水速度-逆水
速度）÷2
流水问题关键 确定物体所运动的速度，参照以上公式。
过桥问题
关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。
主要方法 画线段图法
基本题型 已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时
间、追及时间）、
速度（速度和、速度差）中任意两个量，求第三
个量。
26．工程问题
基本公式
①工作总量=工作效率×工作时间
②工作效率=工作总量÷工作时间
③工作时间=工作总量÷工作效率
基本思路
①假设工作总量为“1”（和总工作量无关）；
②假设一个方便的数为工作总量（一般是它们
完成工作总量所
用时间的最小公倍数），利用上述三个基本关系，可以简单地表示
出工作效率及
工作时间.
关键问题 确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关
系。
经验简评 合久必分，分久必合。
27．逻辑推理
基本方法简介
①条件
分析—假设法：假设可能情况中的一种成立，然后按照
这个假设去判断，如果有与题设条件矛盾的情况，
说明该假设情况
是不成立的，那么与他的相反情况是成立的。例如，假设a是偶数
成立，在判断
过程中出现了矛盾，那么a一定是奇数。
②条件分析—列表法：当题设条件比较多，需
要多次假设才能
完成时，就需要进行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条件全
部表示在一个
长方形表格中，表格的行、列分别表示不同的对象与
情况，观察表格内的题设情况，运用逻辑规律进行判
断。
③条件分析——图表法：当两个对象之间只有两种关系时，就
可用连线表示两个对象之间
的关系，有连线则表示“是，有”等肯
定的状态，没有连线则表示否定的状态。例如A和B两人之间有<
br>认识或不认识两种状态，有连线表示认识，没有表示不认识。
④逻辑计算：在推理的过程中除了
要进行条件分析的推理之
外，还要进行相应的计算，根据计算的结果为推理提供一个新的判
断筛
选条件
⑤简单归纳与推理：根据题目提供的特征和数据，分析其中存
在的规律和方法，并从特
殊情况推广到一般情况，并递推出相关的
关系式，从而得到问题的解决。
28．几何面积
基本思路 在一些面积的计算上，不能直接运用公式的情况下，
一般需要对图形进行割补，平移
、旋转、翻折、分解、变形、重叠
等，使不规则的图形变为规则的图形进行计算；另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。
常用方法
1.?连辅助线方法
2.?利用等底等高的两个三角形面积相等。
3.?大胆假设（有些点的设置
题目中说的是任意点，解题时可
把任意点设置在特殊位置上）。
4.?利用特殊规律
①等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。（斜边的
平方除以4等于等腰直角三角形的面积）
②梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。
③圆的面积占外接正方形面积的78.5%。
29．立体图形
30．时钟问题—快慢表问题
基本思路
①按照行程问题中的思维方法解题；
②不同的表当成速度不同的运动物体；
③路程的单位是分格（表一周为60分格）；
④时间是标准表所经过的时间；
⑤合理利用行程问题中的比例关系。?