人均收入-同学聚会邀请函

一、两角和与差的正弦、余弦和正切
1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)C
(α－β)
：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；
(2)C
(α＋β)
：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin _β；
(3)S
(α＋β)
：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_ αsin_β；
(4)S
(α－β)
：sin(α－β)＝sin_αcos_β－ cos_αsin_β；
tan α＋tan β
(5)T
(α＋β)
：tan(α＋β)＝；
1－tan αtan β
tan α－tan β
(6)T
(α－β)
：tan(α－β)＝。
1＋tan αtan β
2、二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)S
2α
：sin 2α＝2sin_αcos_α；
(2)C
2α
：cos 2α＝cos
2
α－sin
2α＝2cos
2
α－1＝1－2sin
2
α；
2tan α
(3)T
2α
：tan 2α＝。
1－tan
2
α
3、有关公式的逆用、变形等
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)；
1＋cos 2α1－cos 2α
22
(2)cosα＝，sinα＝；
22
(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)
2,
1－sin 2α＝(sin α－cos α)
2
，
π

α±

。 sin α±cos α＝2sin

4

4、函数f(α)＝acos α＋bsin α(a ，b为常数)，可以化为f(α)＝a
2
＋b
2
sin(α＋φ)或f(α) ＝a
2
＋b
2
cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定。
两个技巧
α＋β
(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α ＋β)－β；β＝
2
β

α
α－βα－β

α ＋

－

＋β

。 －；＝

2

2
22

(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等。
三个变化
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”。
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、
“升幂与 降幂”等。
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目
标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、
“配方与平方 ”等。
双基自测
1
1、下列各式的值为的是( )
4
π2tan 22.5°
A．2cos
2
－1 B．1－2sin
2
75° C. D．sin 15°
121－tan
2
22.5°
cos 15°

sin 2α
的值等于( )
cos
2
α
A．2 B．3 C．4 D．6
2
3、已知sin α＝，则cos(π－2α)等于( )
3
2、若tan α＝3，则
5115
B．－ C. D.
3993

π

1
4、设sin

＋θ

＝，则sin 2θ＝( )

4

3
7117
A．－ B．－ C. D.
9999
A．－
5、tan 20°＋tan 40°＋3tan 20° tan 40°＝________。
考向一 三角函数式的化简
1
2cosx－2cosx＋
2
1、化简。
π

π

2tan

－x

sin
2
< br>＋x


4

4




(sin α＋cos α－1)(sin α－cos α＋1)
2、化简：。
sin 2α




42
考向二 三角函数式的求值
1、已知0＜β＜
＋β)的值。



π

41

0，

，sin α＝，tan(α－β)＝－，求cos β的值。 2、已知α，β∈

2

53




π

tan x

3、已知tan

x＋

＝2，则的值为________。
4

tan 2x




β

π1

α

2
＜α＜π，且cos

α －

＝－，sin

－β

＝，求cos(α
2< br>
29

2

3

考向三 三角函数的求角问题
113π
1、已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，求β。
7142



ππ

2、已知α，β∈

－，

，且ta n α，tan β是方程x
2
＋33x＋4＝0的两个
2

2< br>根，求α＋β的值。



11
3、已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值。
27




考向四 三角函数的综合应用
1、已知函数f(x)＝2cos 2x＋sin
2
x。

π

（1）求f

的值； （2）求f(x)的最大值和最小值。

3





2、已知函数f(x)＝2sin(π－x)cos x。

ππ

（1）求f(x)的最小正周期； （2）求f(x)在区间< br>
－，

上的最大值和最
2

6
小值。




二、正弦定理和余弦定理
abc
1、正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正
sin Asin Bsin C
弦定理可以变形为：
(1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
abc
(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题。
2R2R2R

2、余弦定理：a
2
＝b
2
＋ c
2
－2bccos_A，b
2
＝a
2
＋c
2－2accos_B，c
2
＝a
2
＋b
2
－
b
2
＋c
2
－a
2
a
2
＋c
2－b
2
2abcos_C．余弦定理可以变形为：cos A＝，cos B＝，cos C
2bc2ac
a
2
＋b
2
－c
2
＝。
2ab
111abc1
3、S
△ABC
＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)²r(R是三角形外
2224R2
接 圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r。
4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，
则
A为锐角 A为钝角或直角
图
形

关
系
式
解
的
个
数
一条规律
在三角形中，大角对大边，大边对 大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角
也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B。
两类问题
在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任 一边，求其它边或
角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角。情况(2)中结果可能有一解、两
解、无解，应注意区分。余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三
边和其他两角 ；(2)已知三边，求各角。
两种途径
根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换。
双基自测
1、在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于( )
106
A．52 B．102 C. D．56
3
sin Acos B
2、在△ABC中，若＝，则B的值为( )
ab
无解 一解 两解 一解 一解 无解
a＜bsin A a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b

A．30° B．45° C．60° D．90°
3、在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
1
4、在△ABC中，a＝32，b＝23，cos C＝，则△ABC的面积为( )
3
A．33 B．23 C．43 D.3
5、已 知△ABC三边满足a
2
＋b
2
＝c
2
－3ab，则此三角 形的最大内角为________。
考向一 利用正弦定理解三角形
1、在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求角A，C和边c。


π
2、在△ABC中，若b＝5，∠B＝，tan A＝2，则sin A＝________；a＝________。
4
考向二 利用余弦定理解三角形
cos Bb
1、在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且＝－。
cos C2a＋c
（1）求角B的大小； （2）若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积。





A
2、已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2
＋
2
cos A＝0。
（1）求角A的值； （2）若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积。





考向三 利用正、余弦定理判断三角形形状
1、在△ABC中，若(a
2
＋ b
2
)sin(A－B)＝(a
2
－b
2
)sin C，试判断△ABC的形状。




abc
2、在△ABC中，若＝＝；则△ABC是( )
cos Acos Bcos C
A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角
形
考向四 正、余弦定理的综合应用

1、在△A BC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝
（1）若△ABC的面积等于 3，求a，b；
（2）若sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求△ABC的面积。




π
。
3
4
2、设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cos B＝，b＝2。
5
(1)当A＝30°时，求a的值；
(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值。




1、在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝3，b＝2，1
＋2cos( B＋C)＝0，求边BC上的高。












2、△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos
2
A
＝2a。
b
（1）求； （2）若c
2
＝b
2
＋3a
2
，求B。
a