三角函数和差化积与积化和差公式(附证明和记忆方法)
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和差化积和积化和差公式
正弦、余弦的和差化积
sin
sin
2sin
<
br>22
sin
sin
2cossin
22
cos
cos
cos
2cos
2
cos
2
c
os
cos
2sin
2
sin
2
【注意右式前的负号】
证明过程
sin α+sin
β=2sin[(α+β)2]·cos[(α-β)2]的证明过程
sin(
α+β
)=sin
α
cos
β
+cos
α
sin
β
，
sin(
α-β
)=sin
α
cos
β-
cos
α
sin
β
，
将以上两式的左右两边分别相加，得
sin(
α+β
)+sin(
α-β
)=2sin
α
cos
β，
设
α+β=θ
，
α-β=φ
那么
，
22
把α，β的值代入，即得
sin
θ+
sin
φ=2
sin
cos
22
正切和差化积
tanα±tanβ=
sin(
)
cos
•cos
sin(
)
sin
•sin
cotα±
cotβ=
tanα+cotβ=
cos(
)
cos
•sin<
br>
cos(
)
cos
<
br>•sin
sin
sin
cos
cos
tanα-cotβ=
证明：左边=tanα±tanβ=
=
sin
•cos
cos
•sin
cos
•cos
sin(
)<
br>=右边
cos
•cos
=
在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；<
br>若是高次函数，必须用降幂公式降为一次
记忆口诀（正弦余弦）
正加正，正在前，余加余，余并肩
正减正，余在前，余减余，负正弦
生动的口诀：
帅+帅=帅哥
帅-帅=哥帅
咕+咕=咕咕
哥-哥=负嫂嫂
积化和差公式
<
br>sin
•sin
cos
cos
<
br>
（注意：此时差的余弦在和的余弦前面）
cos
cos
（注意：此时公式前有负号）
2
或写作：
sin
•sin
2
cos
cos
<
br>
cos
•cos
2
sin
sin
sin
•cos
2
sin
sin
cos
•sin
2
证明
积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。
即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明：
1
•
2sin<
br>
•sin
2
cos<
br>
cos
sin
sin
cos
cos
sin
sin
2
1
co
s
cos
<
br>
2
sin
•sin
其他的3个式子也是相同的证明方法。
结果除以2
这一点最简单的记忆方
法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值域都是[-1,1]，其和差
的值域应该是[-2,
2]，而积的值域确是[-1,1]，因此除以2是必须的。
也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如：
cos(α-β)-cos(α+β)
=12[(cosα·cosβ+sinα·sinβ)-(cosα·cosβ-sinα·sinβ)]
=2sinα·sinβ
故最后需要除以2。
使用同名三角函数的和差
无论乘积项中的三角函数是否同名，化为和差形
式时，都应是同名三角函数的和差。这一点主
要是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差
公式展开后乘积项的形式都不同，就不
会出现相抵消和相同的项，也就无法化简下去了。
使用哪种三角函数的和差
仍然要根据证明记忆。注意两角和差公式中，余弦的展开中含有
两对同名三角函数的乘积，正
弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。所以反过来，同名三角函数的乘积
，化作余弦的和差；异
名三角函数的乘积，化作正弦的和差。
是和还是差？
这是积化和差公式的使用中最容易出错的一项。规律为：“小角”β以cosβ的形式出现时，
乘积化为
和；反之，则乘积化为差。
由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。如果β的形式是cosβ，
那么若把β替换为-β，结
果应当是一样的，也就是含α+β和α-
β的两项调换位置对结果没有影响，从而结果的形式应当
是和；另一种情况可以类似说明。
正弦-正弦积公式中的顺序相反负号
这是一个特殊情况，完全可以死记下来。