西安一本大学-小学三年级寒假作业

倍角、半角、和差化积公式
一. 教学容：
3.1 和角公式
3.2 倍角公式和半角公式

二. 教学目的
1. 了解两角和与 差的余弦、正弦、正切公式的推导和证明过程，能够利用两角和与差的
余弦、正弦、正切公式进行简单的 三角函数式的求值、化简和证明，了解两角和与差的余弦、
正弦、正切公式的在联系；
2. 掌握倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的推导过程，能够利用倍角、半角的正弦、
余弦、正切公式进行 求值、化简和证明，了解倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的在联系。

三. 教学重点、难点
重点：能够推导并掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式及倍角、半角的正弦、余弦 、
正切公式，并应用上述公式进行求值、化简、证明。
难点：能够正确利用上述公式进行求值、化简、证明，并能解决简单实际问题。

四. 知识分析
（一）两角和与差的余弦
1、两角差的余弦公式
推导方法1：向量法
把看成是两个向量夹角的余弦，可以考虑利用两个向量的数量积来研究。 如图1，设的
终边分别与单位圆交于点 P
l
(，)，P
2
(，)，由于余弦函数是周期为 2π的偶函数，所以，我
们只需考虑的情况。

图1
设向量
则。
另一方面，由向量数量积的坐标表示，有

于是，对于任意的，都有上述式子成立。
推导方法2：三角函数线法
设
、
都是锐角，如图2 ，角的终边与单位圆的交点为 P
l
，∠POP
1
＝，则∠Pox
＝。过点P作 MN⊥x 轴于M，则OM即为的余弦线。在这里，我们想法用的三角函数线
来表示OM。

图2
过点P作PA⊥OP
1
于A，过点A作AB⊥x轴于B，过P作PC⊥ AB于C，则OA表示，
AP表示，并且∠PAC＝∠P
1
Ox＝
，于是
即


要说明此结果是否对任意角都成立，还要做不少推广 工作，并且这项推广工作的过程也
是比较繁难的，在此就不进行研究了。
2. 两角和的余弦公式
比较与，并且注意到与之间的联系：

则由两角差的余弦公式得：
即
3. 对公式的理解和记忆
（1）上述公式中的都是任意角。
（2）公式右端的两部分为同名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相反。
（3）要注意和（差）角的相对性，掌握角的变化技巧，如，等。

（二）两角和与差的正弦
1. 公式的导出

即

2. 公式的理解
（1）一样，对任意角均成立，是恒等式。
（2）“和差”公式是诱导公式的推广，诱导公式是“和差”公式的特殊形式。
如



（3）明确公式的区别与联系：


两公式右边均为两乘积项和差形式，但公式中，左边为角的“和”或“差”，右边 也为
两项之“和”或“差”，而公式中，左边为角的“和”或“差”，右边则为两项之“差”或
“和”，另外公式中右边两项均为角的异名函数之积，牢记公式，才能正确使用这些公式。
3. 函数的最值（ a 、b为常数，为任意角）
将函数化为一个三角函数形式可求最值，而此函数为两项 之“和”式，所以考虑应用两
角和与差的正弦、余弦公式，可化为一个三角函数形式，化简过程如下：




也可如下化简：





即
注：此处容与教材P143的例4是一种问题，但表示方法稍有不同，目的是要同 学们灵
活掌握，运用自如。

（三）两角和与差的正切
1. 正切公式的推导过程
当时，将公式的两边分别相除，有

当cosαcosβ≠0时，将上式的分子分母分别除以cosαcosβ，得：

由于，
在中以－β代β，可得

2. 公式的理解
（1）公式成立的条件
①公式在，α－β≠时成
立，否则是不成立的。
②当tanα、tanβ或tan( α±β)的值不存在时，不能使用公式，处理有关问题时，应改
用诱导公式或其他方法来解。
（2）公式的变形形式
①由得

②由得
；
。

（四）倍角公式
1. 本节中公式的证明过程较为简单，只要将中的β换作α即可得到的形式，再结合平方关
系可推得。
2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式及变形

另外，。
公式还可变形为升幂公式：
，
降幂公式：
以上公式中除且α≠外，其余公式中角α为任意角。

（五）半角的正弦、余弦和正切
1. 应用三个半角公式时，要特别注意根号前的符号，选取依据是所在的象限的原三角函数
的符号。同学们往往误认为是根据cosα的符号，确定，、的符号。
如α为第二象限角，且，则为第一或第三象限角，∴可正可负，可正可负，为正。

，

2. 公式，共有三个，即，显然公式由于符号问题有时不方便，后两个无 符号问题，但易记
混淆。对于后两个公式关键是明确公式的推导，如下：
，同理可推得，后两个公式在化简中往往起到事半功倍的效果。
3. 升幂公式：
降幂公式，，等同于倍角公式的升幂与降幂公式。
升降幂公式主要用于化简、求值、证明，在 应用时要根据题目的角的特点，函数的特点
及结构特点选取公式。一般地升幂的同时角减小，降幂的同时 角增大。
【典型例题】

例1.
解析：由

又由
得
由余弦的和角公式，得

，求的值。

点评：已知角的某一三角函数值，求该角的另 一三角函数值时，应注意角的终边所在的
象限，从而确定三角函数值的符号。

例2. 已知Rt△ACB中，两垂直边AC＝b，BC＝a，斜边AB＝c，周长为定值l，求斜边c
的最小值。
解析：Rt△ACB中∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c
则a＝c·sinA，b＝c·cosA



即当
时，斜边c最小，最小值为。
点评：（1）应用三角函数解决实际应 用题的最值问题，必须先写出函数关系式（三角形
式），再求最值。
（2）型如的函数均可化为（
θ
为确定数值），或化为，再利用三角函数的值域可求最值。

例3. 计算：（1）
解析：（1）解法1：



解法2：

（2）公式，可变形为





点评：（1）题（1）中的解法1是正用公式，从而将非特殊角75°的正 切化为两特殊角
45°与30°的正切，使问题得解；而题（1）中的解法2通过变换凑出两角和的正切 公式形
式，逆用公式使问题得到解决。题（2）是逆用公式求解的。
（2）公式可正 用、逆用、变形应用。应用公式解题时，由于所求式子与公式有一定距离，
可先变形、整理，再应用公式 。
（3）对于型如：（或）的式子，常常分子分母同时除以为（或）的形式，再化为（或）< br>的形式，再用公式即可。

例4. 设是方程的两实根。
求
解析：由题意知：
之值。



点评：（1）由tan(α＋β)＝如何求待求式

的值是 难点，而将待求式转化为的待求式是关键，如何转化呢？关键之关键是将原待求式看
成分母为“1”的分 式，而分母“1”又可表示为
（2）由，可求下列代数式的值：
型如，可化为；
型如，可化为；
型如，
可化为

例5. 解答下列各题：
（1）求的值；
（2）已知，求的值；
（3）求的值。
解析：（1）
；
（2）∵

故





（3）∵
点评：（1）对于第（1）题要 注意将变换成，再配以系数2，即可适合二倍角的正弦公式
的形式，利用二倍角的正弦公式求值；
对于第（2）题首先利用同角三角函数的关系求出的值，然后利用二倍角公式求出的值，
再利用同角三角函数的基本关系式求出的值。
对于第（3）题配上系数2，即为二倍角的正切公式，逆用二倍角正切公式即可。
（2）二倍角公式可正用、逆用、变形用，牢记公式及其特点才能正确灵活地使用二倍角
公式；
（3）二倍角正弦公式连续使用时要注意构造余弦的二倍角关系，类似地，可以证明恒等
式：

如求值sin10°·sin50°·sin70°，可以先化为cos20°·cos40°·cos80°
再化为
同学们可以试着求下面的式子的值：

例6. 已知，求的值。
解析1：∵





解析2：∵
平方得
∴sinα、cosα可看成方程的两根，
解方程，可得

点评：已知的一个三角函数值及所在象限，可求2的正弦、 余弦、正切，而本题已知三
角函数式，可先求出的值，再用二倍角公式，但要判断出，另外本题解法较多 ，认真研究可
以提高解题的灵活变形能力。

例7. 已知的值。
解析：∵




点 评：半角余弦公式的实质是等号左边的角是右边的角的，不一定是单角的形式，根号
前面的符号，由所在 象限来确定，如果没有给出限定符号的条件，根号前应保留正负两个符
号。

例8. 已知的值。
解析：解法1：∵

利用比例性质：

解法2：∵


又∵，
∴
解法3：原式


又∵，
∴
点评：（1）给值求值问题一般有两个思路：一是先化简（变形）三角式，再代入求值（法
2，法3）； 二是由已知变形，获得所求解的式子（法1），相比而言法2为通法，法1技巧
太高不易掌握，法3太麻 烦，但它与题型“由的值，求的值”有异曲同工之妙。
（2）法2中用到的化简技巧：，
，
在化简三角函数式中含有
“”时常用到。

（3）法1中的公式在化简三角式中也经常使用。

【模拟试题】

1. 下列四个命题中的假命题是（ ）
A. 存在这样的α和β的值使得

B. 不存在无穷多个α和β的值使得

C. 对于任意的α和β有

D. 不存在这样α和β的值使得

2. 化简的结果是（ ）
A. sin2x B. cos2x C. －cos2x D. －sin2x
3. 在△ABC中，若，则△ABC一定为（ ）
A. 等边三角形 B. 直角三角形
C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
4. 化简的结果为（ ）
A. 1 B. C. cosα D. sinαcosβ
5. 若
A. B. C. D.
6. 的值为（ ）
，则等于

A. B. C. 3 D.
7. 当时，的值是（ ）
A. 1 B. C. D.
8. 化简：＝（ ）
A. B. C. D.
9. 已知：等于（ ）
A. B. C. D.
10. 已知
11. 函数的最大值是___________。
12. 已知，则tanα＝__________。
13. 函数的最小正周期是__________。
14. 求值：。
15. 在锐角△ABC中，
（1）求证：tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC；
（2）化简：。
16. 已知函数。
（1）求f(x)的最小正周期；
（2）若的最大值、最小值。
17. 已知，求的值。
18. 求下列各式的值。
（1）；
（2）。

＝_________。