等比数列和等差数列公式
我的父亲母亲影评-洛神赋
等比数列：是一种特殊数列。
它的特点是：从第2项起，每一项与前一项的比都是一个常数。称为公比，
符号为q。
公
比公式
根据等比数列的定义可得：
通项公式
我们可以任意定义一个等比数列
这个等比数列从第一项起分别是
a
2
= a
1
q，
a
3
= a
2
q =
a
1
q
2
，
a
4
=
a
3
q = a
1
q
3
，
，
以此类推可得，等比数列
a
n
= a
n − 1
q =
a
1
q
n − 1
，
的 通项公式为：
，
公比为q，则有：
求和公式
对于上面我们所定义的等比数列，即数列。
我们将所有项进行累加。
于是把称 为等比数列的和。记为：
如果该等比数列的公比为q，则有：
（利 用等比数列通项公式） (1)
先将两边同乘以公比q，有：
(1)式减去该式，有：
(q −
1)S
n
= a
1
− a
1
q (2)
然后进行一定的讨论
n
当时，
而当q = 1时，由(2)式无法解得通项公式。
但我们可以发现，此时：
= na
1
综上所述，等比数列的
求和公式为：
经过推导，可以得到另一个求和公式：当q≠1时
（更正：分母为1-q）
当
由于当
时, 等比数列无限项之和
及 n 的值不断增加时,q
n
的 值便会不断减少而且趋于0,因此无限项之和:
（更正：分母为1-q）
性质
如果数列是
等比数列，那么有以下几个性质：
证明：当时，
对于， 若， 则
证明：
∵
∴
数列
等比中项：在等比数列中，从第二项起
，每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。即等比
中 有三项，，， 其中， 则有
在原等比数列中，每隔k项
数列。
取
出一项，按原来顺序排列，所得的新数列仍为等比
也 成等比数列。
等差数列
等差数列是数列的一种。在等差数列中，任何相邻两项的差相等。该差值称为公差。例如数列
就是一个等差数列。 在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之差都
等于2，即公差为2。
通 项公式
如果一个等差数列的首项标为， 公差标为， 那么该等差数列第项
的表达式为：
.
等差数列的任意两项之间存在关系：
等差中项
给定任一公差为的 等差数列
项加后一项的和的値为该项的两倍。 例：
。
从第二项开 始，前一
证明：
设，
则
∵
∴
证毕
(矛 盾)
等差数列的和
等差数列的和称为等差级数。
公式
一个公差为d的等差数列前n项的级数为：
等差级数在中文教科书中常表达为:
一个等差数列的和等于其首项与末项的和乘以项数除以2。
通常认为数学家高斯在很小的时候就发现这个公式。在他三年级的时候，他的老师让学生们做从1加 到
100的习题。高斯很快发现数列的规律，用上面的公式得出了5050的答案。但显然可以肯定的是，
在远远
比这更早的古希腊甚至古埃及，就已经有人掌握了 等差数列的这种求和的方法。
证明
将一个等差级数写作以下两种形式：
将两公式相加来消掉公差d:
整理公式，并且注意 ， 我们有:
.
证毕
等差数列的积
等差数列的积较其和的公式复杂。给定一首项为
数列，其前项 的积写作：
，
公差为 且其首项为正整数 的等差
其中
为的次上升阶乘幂。
注意，该公式对于首项不是正数的等差数列并不适用。等差数列的积
的公式是基于阶乘定义的一个推广。
等比，等差数列，规律（公比，公差）从第二项开始算起，第n项 a
n
的
公比q（次数），
公差d（系数）的值为 n-1
。即意味着公比，公差是从第二项开始算起的，而不是从第一
项。
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