新三国台词-江西农业大学南昌商学院教务网

关于和差化积以及积化和差的两句口诀
sin
和差前后积，
cos< br>和差
cos
负
sin


一、阐述
1）观察 和差化积 以及 积化和差 公式，找到共同规律，编成最简口诀。
2）“正弦”有“正”字，和“正负号”的“正”字一样，故口诀中必须避免“正”字。
3） 口诀的最主要原则是朗朗上口：应如“一价氢氯钾钠银；二价氧钙钡镁锌，三铝四硅
五价磷；二三铁，二 四碳，二四六硫都齐全……”一般直接明了。
4）口诀中要体现普遍性以及特殊性。比如两组各自填入 的角度模式都是一致的，而特殊
点在于都有一条公式是带有负号的。
5）不要纠结于字母
，而是进行广义化，犹如小学各种小东西的形象化加减计算；应
该更加注重公式的主体 部分以及其相对位置。亦不要给公式进行编号。
注：若是纠结于字母而记忆字母公式，弊端有如你背诵 了圆锥曲线各种表达式后遇到考试
题目故意颠倒了字母顺序一般难受，亦有如几何分析故意颠倒了坐标系 一样尴尬。

二、规律
观察如下积化和差 以及 和差化积公式：
si ncos=
1

sin



sin< br>





2

1
cossin=

sin



sin






2

1
coscos=

cos



cos




2
1
sinsin=

cos



cos

< br>



2

sin+sin=2sin



cos



22
< br>sinsin=2cos



sin



22

coscos=2cos

< br>
cos



22





coscos=2sinsin
22

最主要的规律：“和必同名，和积互逆”
1）“和必同名”（注：减去一个数相当于加上一个负数，作差本质还是作和，差即是和）
我们看到无论是和差化积还是积化和差公式中，关于“和”那一边只有
sinsin< br>、
coscos
均没有出现
sincos
、
co ssin

可见关于“和差”其实只有同名函数之间的和差，若是不同名便是辅助角公式的事了。

2）“和积互逆”，和差化积四条公式与积化和差四条公式是一一对应且互逆的，这就为我们
记 忆公式提供了方便，我们把重点放在和差化积，相对复杂的积化和差也就很容易写出来了。
我们口诀只需 记住函数名即可。至于填入的

还是他们的加减除2等都是简单的印象记
忆罢了。

三、总结公式 “
sin
和差前后积，
cos
和差cos
负
sin
”
1）首先关注
sinsin
即“
sin
和差”，口诀一“
sin
和差前后积”的形象记忆其实是

sin
和 差
| |
前 后 积

我们认为“sin”是比较“主要的”，所谓的“前后”就是，sin和cos相乘时，si n在前
还是在后，如下
sin



cos



为 前积 对应
22
sin
和
cos




sin



为 后积 对应
22
sin
差
由口诀“
sin
和差前后积”迅速写出：
sin+sin=sin

sinsin=cos


再填入内容可得：

cos

sin和 — 前积

sin

sin差 — 后积
sin+sin =2sin



cos



22

sinsin=2cos



sin< br>


22

从而写出积化和差公式中的 前积、后积公式：
sincos=sin

cossin=sin

再填入内容可得：

+sin



-sin


sincos=
1

sin



sin






2

1

cossin=
< br>sin



sin




2

2）关注
coscos
即“co s和差”，口诀二“
cos
和差
cos
负
sin
”其形象记 忆其实是
cos
和 差
| |
cos -sin
其中关于cos+cos其公式中，函数名全是cos


cosco s



=2cos
2


2sin
2



cos
cos 和 — cos
2
而关于cos-cos其公式中，变换后函数名全是sin 加多一个负号


cos

cos=



sin
cos 差 — 负sin
2
由口诀“
cos
和差
cos
负
s in
”迅速写出：

coscos

coscos
再填入内容可得：
=

c

os
=

s
cos 和 — cos
c

o


n
cos 差 — 负sin
in

s

i

s

coscos=2cos



cos




22



 
coscos=2sinsin

22
从而写出 cos cos 和 sin sin 化成和差的公式：
coscos=cos

sinsi n=

cos


再填入内容即可：

+cos



cos



1

cos



cos





2

1
sinsin=

cos
< br>

cos






2

coscos=

四、关于应用
积化和差和差化 积公式应用的前提是对规律“和必同名，和积互逆”的把握，看到规律
且应用公式后有利于下一步操作的 就可以用。题目千变万化，首先要多默写公式，熟稔于心。

揭阳邱金元纪念中学2014届高三一班
黄国盛
写于2019年12月26日