兰州商学院陇桥学院-联谊会方案

邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者， 凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无 钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。
第三 章 3.1 3.1.1 3.1.1 两角差的余弦公式

A级 基础巩固
一、选择题
5ππππ
1．coscos＋cossin的值是(C)
126126
A．0
C．
2

2
1
B．
2
D．
3

2
5ππ5ππ5πππ2
[解析] 原式＝coscos＋sin·sin＝cos(－)＝cos＝．

2．cos285°等于(A)
A．
C．
6－2

4
2－6

4
B．
6＋2

4
2＋6

4
6－2
．
4
D．－
[解析]cos285°＝cos75°＝cos(45°＋30°)＝
3．在△
ABC中，若sin
A
sin
B
A
cos
B
，则△
ABC
是(D)
A．等边三角形
C．锐角三角形
B．直角三角形
D．钝角三角形
[解析] 由题意，得cos
A
cos
B
－sin
A
sin
B
>0．
即cos(
A
＋
B
)>0，－cos
C
>0，cos
C
<0．
π
又0<
C
<π，故<
C
<π，△
AB C
为钝角三角形．
2
4．化简sin(
x
＋
y
) sin(
x
－
y
)＋cos(
x
＋
y
)c os(
x
－
y
)的结果是( B )
A．sin2
x

C．－cos2
x

B．cos2
y

D．－cos2
y

[解析] 原式＝cos(
x
＋
y
)cos(
x
－
y
)＋sin(
x
＋
y
)·sin(
x
－
y
)＝cos[(
x
＋
y
)－(
x
－
y
)]
＝cos2
y
．
3
5．已知sin(30°＋α)＝，60°<α<150°，则cosα＝(A)
5
3－43
A．
10
3＋43
B．
10

邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书 者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰： “无钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。
4－33
C．
10
4＋33
D．
10
[解析]∵60°<α<150°，∴90°<30°＋α<180°，
4
∴cos(30°＋α)＝－，
5
又cosα＝cos[(30°＋α)－30°]
43313－43
＝c os(30°＋α)cos30°＋sin(30°＋α)sin30°＝－×＋×＝．
525210
6．若sinα·sinβ＝1，则cos(α－β)的值为(B)
A．0
C．±1


sinα＝－1
[解析]∵s inαsinβ＝1，∴


sinβ＝－1

B．1
D．－1



sinα＝1
或

< br>sinβ＝1


，
由cosα＋sinα＝1得cosα＝0，
∴cos(α－β)＝cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝0＋1＝1．
二、填空题
π4π4
7．已知cos(α－)＋sinα＝3，则cos(α－)的值是．
6535
π334
[解析]cos(α－)＋sinα＝cosα＋sinα＝3，
6225
134
cosα＋sinα＝，
225
π134
∴cos(α－)＝cosα＋sinα＝．
32253ππ33－4
8．已知tanθ＝－，θ∈(，π)，则cos(θ－)的值为．
42310
334
[解析]∵tanθ＝－，∴sinθ＝，cosθ＝－，
455
πππ
∴cos(θ－)＝cosθcos＋sinθsin
333
413333－4
＝－×＋×＝．
525210
三、解答题
3π3π12π
9．已知α、β∈(，π)，sin(α＋β)＝－，sin(β－)＝，求c os(α＋)
454134
的值．
22

邴原少孤，数岁时， 过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤， 二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相 教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。
3π3π12
[解析]∵α、β ∈(，π)，sin(α＋β)＝－，sin(β－)＝，
45413
∴α＋β∈(
cos(β－
3πππ3π
，2π)，β－∈(，)，∴cos(α＋β)＝
2424
1－
12
13
2
3
1－－
5
2
4
＝，
5
π
)＝－
4
＝－
5ππ
，∴cos (α＋)＝cos[(α＋β)－(β－)]＝
1344
ππ4531256
cos( α＋β)·cos(β－)＋sin(α＋β)sin(β－)＝×(－)＋(－)×＝－．
4451 351365
π

4π3π

10．已知sin

α＋

＝，且<α<，求cosα的值．
4

544
< br>π

4π3π

[解析]∵sin

α＋

＝，且<α<，
4

544

ππ
∴<α＋<π．
24
π

∴cos

α＋

＝－
4
3

4

2
1－

＝－．
5
5

π

π

∴cosα＝cos

α＋

－


4

4< br>

π

π
π

π

＝cos

α＋

cos＋sin

α＋

sin
4

4

44

32422
＝－×＋×＝．
525210
B级 素养提升
一、选择题
ππ
1．若sin(＋θ)<0，且cos(－θ)>0，则θ是( B )
22
A．第一象限角
C．第三象限角
B．第二象限角
D．第四象限角
[解析] 因为cosθ<0，sinθ>0，∴θ是第二象限角．
2．若
31
sin
x
＋cos
x
＝4－
m
，则实数
m
的取值范围是( A )
22
B．－5≤
m
≤5
D．－3≤
m
≤3
A．3≤
m
≤5
C．3<
m
<5
[解析] ∵
3131
sin
x
＋cos
x
＝sin
x
＋cos
x

2222
πππ
＝cos
x
cos ＋sin
x
sin＝cos(
x
－)＝4－
m
，
333

邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者 易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳 !”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》 。
π
∴cos(
x
－)＝4－
m
，∴|4－
m|≤1，解得3≤
m
≤5．
3
5π

π
< br>3π
3．已知sin

＋α

＝，<α<，则cosα的值是 ( A )
6

6

53
3－43
A．
10
23－3
C．
5
π5πππ
[解析]∵<α<，∴<＋α<π．
3626
4－33
B．
10
3－23
D．
5< br>
π

∴cos

＋α

＝－
< br>6

2

π
1－sin

＋α
< br>6

＝－
4
．

5


π

π

∴cosα＝cos


＋α

－



6


6

π

π

π

π
＝cos

＋ α

cos＋sin

＋α

sin
66

6

6

43313－43
＝－×＋×＝．
525210
43
4．已知sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝，则cos(α－ β)的值为(D)
55
9
A．
25
1
C．
2
16
B．
25
1
D．－
2

4

2

3

222
[解析] 由已知，得(s inα＋sinβ)＋(cosα＋cosβ)＝

＋

＝1，

5

5

所以2＋2(cosαcosβ＋sinαsinβ )＝1，
即2＋2cos(α－β)＝1．
1
所以cos(α－β)＝－．
2
二、填空题
5．cos(61°＋2α)cos(31°＋2α)＋sin(61 °＋2α)sin(31°＋2α)＝
[解析] 原式＝cos[(61°＋2α)－(31°＋2α)]
＝cos30°＝
3
．
2
3
．
2
π

3

6．已知c os

α－

＝cosα，则tanα＝．
3

3


邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤 ，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲 书可耳!”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《 论语》。
π

ππ

[解析]cos

α－

＝cosαcos＋sinαsin
3

33

13
＝cosα＋sinα＝cosα，
22
∴
31sinα33
sinα＝cosα，∴＝，即tanα＝．
22cosα33
三、解答题
7．已知：cos(2α－β)＝－
＋β)．
ππππ
[解析] 因为<α<，0<β<，所以<2α－β<π．
4244
因为cos(2α－β)＝－
2π
，所以<2α－β<π．
22
22πππ
，sin(α－2β)＝，且<α<，0<β<，求cos(α
22 424
所以sin(2α－β)＝
2
．
2
πππππ
因为<α<，0<β<，所以－<α－2β<，
42442
因为sin(α－2β)＝
2π
，所以0<α－2β<，
22
2
．
2
所以cos(α－2β)＝
所以cos(α＋ β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]
＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)·sin(α－2β)
＝－
2222
×＋×＝0．
2222
π
8．已知函数f
(
x
)＝
A
sin(
x
＋φ)(
A
>0,0<φ<π，
x
∈R)的最大值是1，其图象经过点
M
(，< br>3
1
)．
2
(1)求
f
(
x
)的解析式；
π312
(2)已知α、β∈(0，)，且
f
(α)＝，
f
(β)＝，
2513
求
f
(α－β)的值．
π1π
[解析] (1) 由题意，知
A
＝1，则
f
(
x
)＝sin(
x＋φ)．将点
M
(，)代入，得sin(＋
323
1π5ππ
φ )＝.而0<φ<π，∴＋φ＝π，∴φ＝，故
f
(
x
)＝sin(
x
＋)＝cos
x
．
23622

邴原少孤，数岁时 ，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤 ，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒 相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。
312
(2)由题意，有co sα＝，cosβ＝．
513
π
∵α、β∈(0，)，
2
∴si nα＝1－
3
5
2
4
＝，sinβ＝
5
1－
12
13
2
＝
5
，
13
3124556
∴
f
(α－β)＝cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝．
51351365
C级 能力拔高
若cos(α－β)＝
( C )
π
A．
6
3π
C．
4
ππ
[解析]∵0<α<，0<β<，α<β，
22
π
∴－<α－β<0．
2
又cos(α－β)＝
5
，
5
2
510
，cos2α＝，且α、β均为锐角，α<β，则α＋β的值为
510
π
B．
4
5π
D．
6
∴sin(α－β)＝－1－cosα－β
25
＝－．
5
又∵0<2α<π，cos2α＝
10
，
10
310
2
∴sin2α＝1－cos2α＝．
10
∴ cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β) ＝
105310252
×＋×(－)＝－．
1051052
3π
又0<α＋β<π，故α＋β＝．
4